第五章 模擬實驗
5.2 競爭風險資料之估計量比較
Peng & Fine estimator： 料完全的遺失。我們提出的加權方法在很多情形下表現比 Peng and Fine (2006)
提出的方法更好。然而我們的方法在競爭風險架構下利用C的完整資訊，在半競
爭風險架構下假設 A 與 B 獨立，所以評比未必公平。然而因論文時間有限，無法 進一步討論放寬現有假設下的權數估計方法。
比較 Peng and Fine 的競爭風險與半競爭風險兩種估計方法，於未截切架 構下，標準差比值與，均方差(Mean square error)比值分別為：
∈[0.85,1.02]
表示半競爭風險資料在截切架構下對函數估計有明顯幫助。接著，觀察加權法之 兩種方法，資料未受限截切時，標準差比值與均方差比值如下：
∈[0.92,1.02]
SCR CR
SD
SD ∈[0.84,1.05]
SCR CR
MSE
MSE ，
然而受截切條件下，各比值為：
∈[1.28,3.39]
SCR CR
SD
SD ∈[1.25,7.37]
SCR CR
MSE
MSE ，
這與 Peng and Fine 兩估計量所呈現的結果ㄧ致，半競爭風險資料於資料受截 切時可有效的提供資訊，使得函數估計更為準確。
分析ㄧ：競爭風險 (未截切，未設限) )
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000465 (0.009189)
0.000085
-0.000465 (0.009189)
0.000085 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.000451 (0.012180)
0.000149
-0.000451 (0.012180)
0.000149 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000959 (0.014373)
0.000208
-0.000959 (0.014373)
0.000208
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000464 (0.015416)
0.000138
-0.000464 (0.015416)
0.000138 表 5-1： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000349 (0.008961)
0.000080
-0.000349 (0.008961)
0.000080
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.000138 (0.012483)
0.000156
-0.000138 (0.012483)
0.000156 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000553 (0.014476)
0.000210
-0.000553 (0.014476)
0.000210 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000012 (0.015584)
0.000243
-0.000012 (0.015584)
0.000243 表 5-2： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000279 (0.008981)
0.000081
-0.000279 (0.008981)
0.000081
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.000088 (0.012718)
0.000162
-0.000088 (0.012718)
0.000162 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000600 (0.014765)
0.000218
-0.000600 (0.014765)
0.000218 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000074 (0.015631)
0.000244
-0.000074 (0.015631)
0.000244 表 5-3： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000098 (0.009112) 0.000083
-0.000098 (0.009112)
0.000083 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000035 (0.012778)
0.000163
0.000035 (0.012778)
0.000163 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000163 (0.014380)
0.000207
-0.000163 (0.014380)
0.000207
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000261 (0.015303)
0.000234
0.000261 (0.015303)
0.000234 表 5-4： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000154 (0.009415)
0.000089
-0.000154 (0.009415)
0.000089
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000053 (0.012545)
0.000157
0.000053 (0.012545)
0.000157 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000102 (0.014504)
0.000210
0.000102 (0.014504)
0.000210 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000485 (0.015135)
0.000229
0.000485 (0.015135)
0.000229 表 5-5： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
分析二：競爭風險 (未截切，右設限) )
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000417 (0.009320)
0.000087
-0.000417 (0.009323)
0.000087 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.000312 (0.012550)
0.000158
-0.000312 (0.012556)
0.000158 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000839 (0.014960)
0.000225
-0.000848 (0.014929)
0.000224
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000538 (0.016872)
0.000225
-0.000525 (0.016703)
0.000279 表 5-6： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000344 (0.009039)
0.000082
-0.000345 (0.009042)
0.000082
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.000073 (0.012690)
0.000161
-0.000078 (0.012689)
0.000161 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000457 (0.015000)
0.000225
-0.000464 (0.014960)
0.000224 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000203 (0.016841)
0.000284
-0.000195 (0.016694)
0.000279 表 5-7： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000300 (0.009034)
0.000082
-0.000301 (0.009034)
0.000082 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.000078 (0.012880)
0.000166
-0.000806 (0.012882)
0.000167 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000467 (0.015064)
0.000227
-0.000481 (0.015049)
0.000227
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000124 (0.016382)
0.000268
-0.000149 (0.016327)
0.000267 表 5-8： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000110 (0.009215)
0.000085
-0.000112 (0.009212)
0.000085
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000030 (0.012980)
0.000168
0.000019 (0.012978)
0.000168 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000033 (0.014839)
0.000220
0.000031 (0.014817)
0.000220 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000277 (0.015937)
0.000254
0.000258 (0.015865)
0.000252 表 5-9： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000174 (0.009483)
0.000090
-0.000174 (0.009483)
0.000090 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000094 (0.012698)
0.000161
0.000074 (0.012704)
0.000161 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000274 (0.014804)
0.000219
0.000244 (0.014797)
0.000219
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000516 (0.015595)
0.000243
0.000466 (0.015496)
0.000240 表 5-10： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C X ≥ A =
分析三：競爭風險 (左截切，未設限) )
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000040 (0.056008)
0.003137
0.001688 (0.068942)
0.004756
0.2
Average bias (Std) MSE
0.001241 (0.053213)
0.002833
0.002763 (0.064060)
0.004111 0.3
Average bias (Std) MSE
0.001315 (0.049128)
0.002415
0.002642 (0.058195)
0.003394 0.4
Average bias (Std) MSE
0.002392 (0.046183)
0.002139
0.003506 (0.053321)
0.002855 表 5-11： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 0.61
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.001512 (0.058636)
0.003440
-0.000569 (0.065185)
0.004249 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.001167 (0.056316)
0.003173
-0.000338 (0.061749)
0.003813 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000525 (0.052616)
0.002769
0.000192 (0.057087)
0.003259
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000907 (0.048661)
0.002369
0.001521 (0.052216)
0.002729 表 5-12： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 0.56
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.002920 (0.059188)
0.003512
-0.001960 (0.065690)
0.004319
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.002378 (0.056733)
0.003224
-0.001557 (0.062146)
0.003865 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.001848 (0.052950)
0.002807
-0.001130 (0.057411)
0.003297 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000399 (0.049392)
0.002440
0.000223 (0.052911)
0.002800 表 5-13： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 0.52
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.003423 (0.059756)
0.003582
-0.001550 (0.072105)
0.005202 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.001568 (0.058270)
0.003398
0.000085 (0.068393)
0.004678 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.001267 (0.054822)
0.003007
0.000190 (0.063137)
0.003986
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000071 (0.050962)
0.002597
0.001313 (0.057575)
0.003317 表 5-14： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 0.48
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.004830 (0.059042)
0.003509
-0.003565 (0.065582)
0.004314
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.002931 (0.058407)
0.003420
-0.002066 (0.063656)
0.004056 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.001671 (0.055772)
0.003113
-0.000944 (0.060018)
0.003603 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000486 (0.052454)
0.002752
0.000146 (0.055777)
0.003111 表 5-15： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 0.45
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C X ≥ A =
分析四：競爭風險 (左截切，右設限) )
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000111 (0.056112)
0.003149
0.001634 (0.069038)
0.004769
0.2
Average bias (Std) MSE
0.001484 (0.053348)
0.002848
0.003015 (0.064179)
0.004128 0.3
Average bias (Std) MSE
0.001606 (0.049324)
0.002435
0.002943 (0.058384)
0.003417 0.4
Average bias (Std) MSE
0.002678 (0.046610)
0.002180
0.003774 (0.053669)
0.002895 表 5-16： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 0.61
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.79
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.79
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.001559 (0.058770)
0.003456
-0.000613 (0.065293)
0.004264
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.001018 (0.056458)
0.003189
-0.000197 (0.061880)
0.003829 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.000355 (0.052848)
0.002793
0.000386 (0.057310)
0.003285 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000937 (0.048912)
0.002393
0.001581 (0.052482)
0.002757 表 5-17： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 0.56
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.78
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.78
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.002949 (0.059097)
0.003501
-0.001993 (0.065606)
0.004308 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.002385 (0.056709)
0.003222
-0.001582 (0.062130)
0.003863 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.001731 (0.052895)
0.002801
-0.001002 (0.057373)
0.003293
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000450 (0.049420)
0.002443
0.000156 (0.052977)
0.002807 表 5-18： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 0.52
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.78
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.78
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.003441 (0.059650)
0.003570
-0.001577 (0.072017)
0.005189
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.001542 (0.058268)
0.003398
0.000086 (0.068402)
0.004679 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.001070 (0.054886)
0.003014
0.000368 (0.063207)
0.003995 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000204 (0.051001)
0.002601
0.001425 (0.057615)
0.003322 表 5-19： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 0.48
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.78
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.78
|
Pr(Y <C X ≥ A =
)
1(t
F Weighting Naïve
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.004892 (0.058869)
0.003489
-0.003929 (0.065432)
0.004297 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.003043 (0.058363)
0.003415
-0.002193 (0.063627)
0.004053 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.001663 (0.055822)
0.003119
-0.000931 (0.060076)
0.003610
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.000475 (0.052331)
0.002739
0.000201 (0.055692)
0.003102 表 5-20： ˆ ( )
1 t
FW 與 ˆ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 0.45
Pr(X ≥ A = ， ~ ) 0.79
|
Pr(X <C X ≥ A = ， ~ ) 0.79
|
Pr(Y <C X ≥ A =
分析五：半競爭風險 (未截切，未設限) )
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000289 (0.010012)
0.000100
0.000289 (0.010012)
0.000100
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000549 (0.013581)
0.000185
0.000549 (0.013581)
0.000185 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000626 (0.015108)
0.000229
0.000626 (0.015108)
0.000229 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000487 (0.015961)
0.000255
0.000487 (0.015961)
0.000250 表 5-21：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000235 (0.009602)
0.000092
0.000235 (0.009602)
0.000092 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000235 (0.012967)
0.000168
0.000235 (0.012967)
0.000168 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000721 (0.014833)
0.000221
0.000721 (0.014833)
0.000221
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000334 (0.015883)
0.000252
0.000334 (0.015883)
0.000252 表 5-22：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000246 (0.009401)
0.000088
0.000246 (0.009401)
0.000088
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000521 (0.012734)
0.000162
0.000521 (0.012734)
0.000162 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000852 (0.014779)
0.000219
0.000852 (0.014779)
0.000219 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000212 (0.015574)
0.000243
0.000212 (0.015574)
0.000243 表 5-23：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000148 (0.009255)
0.000086
0.000148 (0.009255)
0.000086 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000524 (0.012692)
0.000161
0.000524 (0.012692)
0.000161 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000409 (0.014504)
0.000211
0.000409 (0.014504)
0.000211
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000375 (0.015567)
0.000242
0.000375 (0.015567)
0.000242 表 5-24：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000134 (0.009236)
0.000085
0.000134 (0.009236)
0.000085
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000203 (0.012869)
0.000166
0.000203 (0.012869)
0.000166 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000275 (0.014500)
0.000210
0.000275 (0.014500)
0.000210 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000029 (0.015848)
0.000251
0.000029 (0.015848)
0.000251 表 5-25：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
分析六：競爭風險 (未截切，右設限) )
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000309 (0.010030)
0.000101
0.000328 (0.010090)
0.000102 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000645 (0.013676)
0.000187
0.000651 (0.013790)
0.000191 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000811 (0.015571)
0.000243
0.000832 (0.015571)
0.000243
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000779 (0.017019)
0.000290
0.000738 (0.016976)
0.000289 表 5-26：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000257 (0.009649)
0.000093
0.000293 (0.009855)
0.000097
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000377 (0.013028)
0.000170
0.000416 (0.013196)
0.000174 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000918 (0.015265)
0.000234
0.000945 (0.015314)
0.000235 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000391 (0.016897)
0.000286
0.000391 (0.017094)
0.000292 表 5-27：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000307 (0.009393)
0.000088
0.000314 (0.009750)
0.000095 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000631 (0.012754)
0.000163
0.000701 (0.012920)
0.000167 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000935 (0.015053)
0.000227
0.000982 (0.015588)
0.000244
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000234 (0.016201)
0.000263
0.000431 (0.016925)
0.000287 表 5-28：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000151 (0.009246)
0.000086
0.000167 (0.010029)
0.000101
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000589 (0.012683)
0.000161
0.000559 (0.013646)
0.000187 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000453 (0.014846)
0.000221
0.000788 (0.016011)
0.000257 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000350 (0.016588)
0.000275
0.000707 (0.017887)
0.000320 表 5-29：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000148 (0.009264)
0.000086
0.000333 (0.010958)
0.000120 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000279 (0.012947)
0.000168
0.000821 (0.014916)
0.000223 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000252 (0.014699)
0.000216
0.000810 (0.017474)
0.000306
0.4
Average bias (Std) MSE
0.000110 (0.016584)
0.000275
0.000351 (0.019358)
0.000370 表 5-30：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 1.0
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
分析七：半競爭風險 (左截切，未設限) )
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000054 (0.032866)
0.001080
-0.000336 (0.033192)
0.001102
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000238 (0.034752)
0.001208
-0.000453 (0.036357)
0.001322 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000652 (0.035125)
0.001234
-0.000321 (0.038727)
0.001500 0.4
Average bias (Std) MSE
0.000724 (0.035919)
0.001291
-0.000514 (0.042045)
0.001768 表 5-31：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000407 (0.027806)
0.000773
-0.000035 (0.028170)
0.000794 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000600 (0.030617)
0.000938
-0.000146 (0.032386)
0.001049 0.3
Average bias (Std) MSE
0.001623 (0.032503)
0.001059
0.000604 (0.036363)
0.001323
0.4
Average bias (Std) MSE
0.001461 (0.035060)
0.001231
0.000154 (0.041316)
0.001707 表 5-32：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000723 (0.022174)
0.000492
0.000390 (0.022767)
0.000518
0.2
Average bias (Std) MSE
0.001013 (0.026535)
0.000705
0.000389 (0.028670)
0.000822 0.3
Average bias (Std) MSE
0.001829 (0.029964)
0.000901
0.000918 (0.034196)
0.001170 0.4
Average bias (Std) MSE
0.001443 (0.033955)
0.001155
0.000231 (0.040433)
0.001635 表 5-33：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
0.000073 (0.019529)
0.000381
-0.000242 (0.020221)
0.000409 0.2
Average bias (Std) MSE
0.000640 (0.024962)
0.000624
0.000038 (0.027193)
0.000739 0.3
Average bias (Std) MSE
0.000899 (0.028856)
0.000833
-0.000008 (0.033211)
0.001103
0.4
Average bias (Std) MSE
0.001110 (0.033568)
0.001128
-0.000093 (0.040102)
0.001608 表 5-34：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000730 (0.017426)
0.000304
-0.000103 (0.018588)
0.000346
0.2
Average bias (Std) MSE
0.000656 (0.022669)
0.000514
-0.000163 (0.025828)
0.000667 0.3
Average bias (Std) MSE
0.001036 (0.027717)
0.000769
-0.000161 (0.032403)
0.001050 0.4
Average bias (Std) MSE
0.001955 (0.032549)
0.001063
-0.000344 (0.040067)
0.001610 表 5-35：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 1.0
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
分析八：半競爭風險 (左截切，右設限) )
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.005828 (0.031319)
0.001015
-0.000283 (0.033405)
0.001116 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.012955 (0.033347)
0.001280
-0.000396 (0.036730)
0.001349 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.019889 (0.034000)
0.001552
-0.000200 (0.039143)
0.001532
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.025923 (0.034982)
0.001896
-0.000415 (0.042376)
0.001796 表 5-36：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 9
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.004162 (0.027053)
0.000749
-0.000065 (0.028326)
0.000802
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.009673 (0.030015)
0.000994
-0.000074 (0.032606)
0.001063 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.015080 (0.032100)
0.001258
0.000714 (0.036648)
0.001344 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.021368 (0.034724)
0.001662
0.000209 (0.041676)
0.001737 表 5-37：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 7
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.002657 (0.021624)
0.000475
0.000404 (0.022981)
0.000528 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.006470 (0.025788)
0.000707
0.000489 (0.028819)
0.000831 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.011097 (0.029132)
0.000850
0.000926 (0.034520)
0.001192
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.017411 (0.033082)
0.001398
0.000236 (0.040899)
0.001673 表 5-38：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 5
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.81
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.001933 (0.019367)
0.000379
-0.000277 (0.020517)
0.000421
0.2
Average bias (Std) MSE
-0.004701 (0.024612)
0.000628
0.000079 (0.027556)
0.000759 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.008923 (0.028489)
0.000891
0.000113 (0.033692)
0.001135 0.4
Average bias (Std) MSE
-0.014449 (0.033138)
0.001307
0.000134 (0.040767)
0.001662 表 5-39：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 3
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.83
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
)
1(t
F Weighting Peng & Fine
0.1
Average bias (Std) MSE
-0.000680 (0.018046)
0.000326
-0.000198 (0.018998)
0.000361 0.2
Average bias (Std) MSE
-0.003090 (0.023614)
0.000567
0.000120 (0.026668)
0.000711 0.3
Average bias (Std) MSE
-0.006762 (0.027940)
0.000826
-0.000105 (0.033415)
0.001117
0.4
Average bias (Std) MSE
-0.011978 (0.033187)
0.001105
-0.000329 (0.041131)
0.001690 表 5-40：~ ( )
1 t
FW 與 ~ ( )
1 t
FPF 之比較 1
.
=0
τ ， ~ ) 0.63
Pr(Y ≥ A = ， ~ ) 0.85
|
Pr(X <C Y ≥ A = ， ~ ) 0.80
|
Pr(Y <C Y ≥ A =
第六章 結論
論文的原始目標是研究痴呆症 dementia 發病年齡的機率分佈。一般而言這 是一種老年才會發作的疾病。為了減少抽樣的成本，往往只截取某些歲數以上的 個體進入樣本中，也造成資料的截切。此外除了外生的設限原因 (個體失聯或是 研究結束)會造成發病年齡未能完整被記錄，“死亡＂亦是發病事件的競爭風 險，因為有一部份的個體終其一生都不會發病。我們以“半競爭風險與截切＂的 架構分析這樣的資料型態，並把目標鎖定於“累積發生函數＂的估計。
原以為我們是第一個嘗試分析“半競爭風險與截切＂資料的研究團體，在論 文的進行過程卻發現 Peng & Fine (2006) 亦從事類似的研究，我們在網路上 先取得他們的論文的草稿進行比較，發現他們是以“分解法＂的技巧做為推論的 基礎。我們的方法將 Chen et al. (2006) 的論文予以延伸，以“加權法＂的技 巧提出新的估計量，並透過模擬實驗比較這兩種不同估計方法之優劣。值得一提 的是我們所提出權重的估計法使用了比 Peng & Fine (2006) 論文更強的條件 (可以完整觀測到C或是A⊥ )，或許因此我們的估計量在許多模擬中表現得更B 穩定。因為論文時間有限，無法繼續投入精力去推導更具一般性的估計方法，若 未來將論文投稿勢必要對權數估計問題做進一步分析與改進。
經過基本運算推導，發現在沒有截切且沒有外來設限的情況下，半競爭風險 與競爭風險資料對估計累積發生函數會得到相同的無母數估計式。當加入設限的 條件後，模擬實驗的結果顯示半競爭風險估計量與競爭風險估計量表現各有好 壞，不分軒輊；但在左截切右設限的條件下，半競爭風險資料的確對估計有所幫 助。
雖然我們希望建立了方法論後可以藉此分析 Cache 資料，但由於所獲得之 資料並未包含任何死亡的資訊，使得立即做資料分析的目標無法達成。原因之一 是我們間接取得經其他學者整理過的資料，而非原始資料。可能分析這筆資料的 學者當時並不需要死亡的資訊，以致我們無法繼續利用。我們打算未來由原始資
料的擁有者處再尋求獲得更完整記錄資料。此外，Cache data 仍包含親屬間的 資料，在我們的研究中只限於 proband 資料的分析，未來可以往家族關聯性與 遺傳的方向做更進一步的探討。
參考文獻
1. Chang, S. H.(2000). A Two-Sample Comparison for Multiple Ordered Event Data. Biometrics, 56, 183-189.
2. Chang, S. H. and Tzeng, S.J.(2006) Nonparametric estimation of Sojourn time distributions for truncated serial event data – A weight-adjusted approach.
3. Chen, C.H. , Chang, W.H. and Wang, W.(2006). Estimation of the cumulative incidence function for multiple events data.
4. Day, R., Bryant, J. and Lefkopoulou, M. (1997). Adaptation of Bivariate Frailty Models for Prediction , with Application to Biological Markers as Prognostic Indicators. Biometrika, 84,45-56.
5. Fine, J. P. , Jiang, H. and Chappell, R. (2001). On Semi-Competing Risks Data. Biometrika, 88,4,907-919.
6. Jiang, H. Fine, J and Chappell, R. (2004). Semiparametric methods for semi-competing risks problem with censoring and truncation
7. Kaplan, E.L. and Meier, P. (1958) Nonparametric estimation from
incomplete observations. Journal of the American Statistical Association.
53,457-481
8. Klein, J. P. and Moeschberger, M. L. (2002)Survival analysis techniques for censored and truncated data. 2nd
9. Lai, T. L. and Ying, Z.(1991) Estimating a distribution function with truncated and censored data. Annals of Statistics ,19 , 417-442
10. Lin, D. Y., Robins, J. M. and Wei, L. J. (1996). Comparing Two Failure Time Distribution in The Presence of Dependent Censoring. Biometrika,
83,2,381-393
11. Lynden-Bell, D. (1971). A method of allowing for known observational selection in small samples applied to 3CR quasars. Monthly Notices Roy.
Astronom. Soc. 155, 95-188
12. Peng, L. and Fine, J. P. (2006). Nonparametric estimation with left truncated semi-competing risks data. 93,2,367-383
13. Wang, W. (2003). Estimating the Association Parameter for Copula Models under Dependent Censoring. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 65, 257-273.