節：對 electron reservoir 的微擾理論

令一總密度矩陣χ：由系統與 reservoir 各自的密度矩陣所組成，而它的運動

方程為： 以對應到古典的 Liouville equation，而 J. von Neumann 又將 Liouville equation 推廣 到量子力學系統上[6]，也就是(2.5.1)式，因此又被稱為 Liouville-von Neumann equation。 度矩陣可以近似為對總密度矩陣的 reservoir 分量取 trace，亦可稱為 reduced density matrix。這是量子統計中對 reservoir 的處理方法。

因此，系統的密度矩陣的運動方程即可得出：

布函數： nk =Tr R c cR( ₀ k^† k)，n1k =Tr R d dR( 0 k^† k)，n2k =Tr R d dR( 0 k^† k)。因為 source 為

2.6 節：對 electron reservoir 能譜的分析

2.6.1 節：馬可夫效應的分析 ( effect of Markovian coupling )

Γ 為 source decay rate。而運動方程中與 source 相關的項為： L

2.6.2 節：非馬可夫效應的分析 ( effect of non-Markovian coupling )

在此討論非馬可夫效應是爲了應付非理想狀態的 drain 的偵測器。因為非理想 Lorentz 形式的能譜分布做為偵測器的能譜分布(Lorentz 分布與能帶的拓寬(band broadening)有關)。

† †

† † † 由於先前已對 reservoir(不論是 electron 的或 photon 的)的能態取過 trace，因此在此 只要對量子點能態取 trace 即可得到期望值。

2.8 節：Laplace transform 和 inverse Laplace transform

Laplace transform 可以將與 convolution integral 相關的微分方程簡化為純粹的 代數運算：

( ) ( ( )) 0 ^zt ( )

n z =Laplace n t =

∫

^∞dte⁻ n t (2.8.1) 因此就上述的四條聯立微分方程作 Laplace transform 之後，在解四組聯立四元一 次方程式，最後再做 inverse Laplace transform：

( ) 1 ( )

第三章：結果與討論

率(decay rate)，則平均衰減時間就會得到：

0

( ) 1

( )

d e t

T dt t dt

∞ −Γ

= − =

∫

Γ^{，因此符合衰}

減時間的定義。但此系統的衰減率未必是一簡單的常數，因此我利用上述的定義 來計算較複雜的平均衰減時間，以便用它來探討非平衡態且非含源(no source)系統 的傳輸性質。

若是再進一步討論的話，平均衰減時間可以寫成激發態機率在 Laplace 轉換下 在 0 的極限：

0 _ex( ) lim0 0 ^zt _ex( ) lim0 ( _ex( ))

z z

T ^∞dtn t ^∞dte⁻ n t Laplace n t

→ →

=

∫

=

∫

= (3.2.2)

3.3 節：在不同的情形下非馬可夫效應的分析與討論

在此，我就 Lorentz 能譜的性質：帶寬和能帶峰值與待測能階的能量差來分別 討論穩態電流與平均衰減時間的變化。以下的作圖的單位為：電流為無量綱 (dimentionless)；平均衰減時間T 為能量的倒數( 1

ΓL )；能帶寬σ，峰值 u 為能量(Γ )。 _L 我要討論的系統主要分成兩大部份：

3.3.1 節：含電源的部份

可以類比於 Fujisawa 的實驗，在此討論的物理量為穩態電流，偵測器量測量 子點基態的穩態電流，此處又分成三個狀況：

1.1.電子自電源躍遷到量子點激發態，再由激發態自發性發射到基態；

示意圖：

在不同的能帶峰值下，電流對能帶寬的變化：

圖 3.1

很明顯的，峰值在基態能量時 (Peak energy = 1)，與其他四者不同：峰值 在基態能量時，因為能譜分布的最大值與基態能量相同，因此電流隨能帶寬的

增加而遞減： 1

I ^∝σ+C；其他四者的共同趨勢為：在能帶寬較小時，趨勢為：

I C

σ

∝σ

+ ，之後，當帶寬遠大於峰值與基態能量間的能量差時，其趨勢就與

峰值在基態能量的情形下相同： 1

I^∝σ +C 。因此，結論是：當峰值偏離基態 能量的程度小於帶寬時，帶寬的增加會削減因能帶峰值偏離基態能量的效應而

1 2

drain (detector) source

2 _L/ I eΓ h

σ

加速電流的衰減；當峰值與基態能量一致時，帶寬的增加會相對地增加峰值與 基態能量的偏離程度而破壞共振穿隧的情況。

在不同的能帶寬的情形下，電流隨能帶峰值變化的情形：

圖 3.2

不論能帶寬為何，穩態電流對 Lorentz 能譜峰值的變化都是以量子點基態能量 為中心的 Lorentz 分布。

穩態電流的解析解：

1 21

21 1 21

( ) 2

( )

L

L L

I t Γ Γ Γ

→ ∞ =

Γ Γ + Γ Γ + Γ ， ₁ ¹_{2 2} ( 1)

W u

σ

ε σ

Γ ≡ − + (3.3.1)

而得到上述圖形的參數為： _{1 1k}² 1

k

W =

∑

V = ^{，Γ = ，L 1} Γ = 。以上的物理量^{21 1} 皆為能量單位。

2 _L/ I eΓ h

u

1.2.電子自電源躍遷到量子點激發態，再受到外加電磁場影響與基態形成 Rabi 震盪以及自發性放射的影響；

示意圖：

在不同的能帶峰值下，電流對能帶寬的變化：

圖 3.3

上圖為在 Lorentz 分布能量峰值在量子點基態能量附近時，穩態電流隨能

1 2

E. M.

wave

source Drain

(detector)

2 _L/ I eΓ h

σ

帶寬變化的分布圖。此圖的分析與 1.1 情況的電流對能帶寬作圖的分析是相同

物理量皆為能量單位。

1.3.電子自電源躍遷到量子點激發態，除了自發性放射到基態以及與基態形成 Rabi 震盪外，偵測器偶合到兩量子點能態；

示意圖：

在外加電磁場以及自發性發射的影響下，偵測器的 Lorentz 能帶偶合到兩量子 點能階，探討不同性質下的 Lorentz 分布能譜對電流的影響。

在不同的能帶峰值下，電流隨半能帶寬的變化：

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075

Peak energy = 10 Peak energy = 11 Peak energy = 12 Peak energy = 13

圖 3.5

E. M.

wave source

1

2 ^drain

(detector)

2 _L/ I eΓ h

σ

上圖為在 Lorentz 分布能量峰值在量子點基態能量附近時，穩態電流隨能帶寬 變化的分布圖。電流在不同的 Lorentz 峰值，在寬能帶近似 wild-band approximation 下，強度與帶寬成反比；而四者的相對強度與峰值偏離基態能量的程度成反比。

而上述圖形的相關參數為： _{1 1k} ² 1

k

W =

∑

V = ^{， 2 2k 2 1}

k

W =

∑

V = ^{，ε1= ，1 ε2 =10，}

L 1

Γ = ，Γ = 。以上的物理量皆為能量單位。 ₂₁ 1 3.3.2 節：不含電源的部份

純粹討論非平衡態電子自量子點激發態演化至偵測器的情形，因此偵測器量 測量子點激發態，而討論的物理量為平均衰減時間，此處又分成三個狀況：

2.1.電子自量子點激發態自發性放射到基態；

示意圖：

在不同的能帶峰值下，平均衰減時間對半能帶寬的變化

圖 3.7

1 2

drain (detector)

σ

( _L/ ) T Γ h

Lorentz 峰值對準激發態能量的曲線與其餘四者不同：對準的曲線因為能量與 激發態相同，因此產生共振穿隧，因此在帶寬為 0 時，平均衰減時間為 0，也就是 電子不斷的由激發態流出，不會停留在激發態；其他四者則因不同程度的偏離激 發態能量，因此在帶寬為 0 時，由於能量不同，電子無法穿隧到偵測器的能階，

因此平均衰減時間的貢獻只來自自發性放射，也就是電子停留在激發態而無法躍 遷出去。隨著能帶寬越大，衰減率越小，則平均衰減時間越長。

在不同的半能帶寬下，平均衰減時間隨能帶峰值的變化：

圖 3.8

平均衰減時間在 Lorentz 峰值在激發態能量時為最低值 (Peak energy = 10)，以 此為中心向周圍遞增。若是將平均衰減時間對應到與此對應的穩態電流即可發 現：平均衰減時間對 Lorentz 峰值的變化恰為穩態電流對 Lorentz 峰值的變化的反 比。

平均衰減時間的解析解：

( _L/ ) T Γ h

u

與未加 Rabi 震盪的情形比較：Rabi 震盪使得自發性發射的效果消失，因此當

而上述圖形的相關係數為： _{2 2k} ² 1

k

W =

∑

V = ^{，ε2 =10。以上的物理量皆為能} 量單位。

2.3.電子自量子點激發態受到了自發性放射以及 Rabi 震盪的影響外，偵測器 由僅耦合到激發態至偶合到基態與激發態；

示意圖：

在不同的能帶峰值下，平均衰減時間隨半能帶寬的變化：

drain (detector)

E. M. 1

wave

2

( _L/ ) T Γ h

σ

圖 3.11

隨著能帶寬的增加，平均衰減時間與半能帶寬成正比，恰與穩態電流對半能 帶寬的變化成反比。

在不同的能帶寬下，平均衰減時間隨 Lorentz 峰值的變化：

圖 3.12

由於 Lorentz 能譜偶合到量子點的激發態與基態，使得衰減率(decay rate)在兩 能態的中間值為最大，因此平均衰減時間為最小。其趨勢為以此為中心，向兩側 以反 Lorentz 分布的形狀展開。

平均衰減係數的解析解：

2

1 2 1

2

1 2 1 2 1 21 2

( ) 2

2( ) ( ) 2 (2 2 ) S S

T S S

γ γ

+ + Γ

= Γ + Γ + + Γ Γ + Γ (3.3.6) ( _L/ )

T Γ h

u

1 2

2

₁ W¹

第四章：總結

1. 穩態電流與平均衰減時間同樣可檢驗非馬可夫效應，但實驗上穩帶電流是較 為可行的。

2. 穩態電流與平均衰減時間的性質，表現在能譜分布的能帶寬與能譜峰值和待 測能階的偏離程度的趨勢上，兩者恰是互為倒數的性質。這可由兩者的物理量來 比較，就可以很清楚的明白：電流可視為能量單位，與時間單位恰為倒數關係。

例如：在第二類情況下，穩態電流對能帶峰值的分布為 Lorentz 分布；而平均衰減 時間對能帶峰值的分布恰為 Lorentz 函數的倒數的分布。

3. 就一個有能帶分布的非馬可夫效應的偵測器而言，他的性質可以用一單能階 量子點再加上馬可夫效應的偵測器來類比，這可以參考 Gurvitz 的論文(3)。因此整 體就可以用一個雙能階的量子點接上一單能階的量子點，再接上馬可夫效應的偵 測器。

4. Fujisawa 實驗中，左右量子點的 Fermi level 各自可類比為模型中量子點的激 發態能階與基態能階，因此可以類比到 Fujisawa 實驗中的自發性發射的情形(激發 態能量永遠高於基態能量)。而自發性發射率(spontaneous emission rate)的大小可以 類比於 T. Brandes 的論文[2]中模型所得到的非彈性穿隧率 (inelastic tunneling rate) ：與聲子的密度能譜以及兩能態的能量差與耦合常數的強度有關。藉著自發 性 發 射 率 又 可 以 得 到 非 彈 性 耦 合 的 電 流 (current of inelastic coupling) ：

( ) 2 2 2 ( )

in c

I t→ ∞ ∼ eγ = e Tπ ρ ε ， ( )ρ ε 為在能階差是ε 的情況下的聲子密度，T 為兩_c 能階的耦合常數，相當於模型中 Rabi 震盪的耦合常數。但是，我的模型卻是外加 單頻電磁場以及量子點與光子場耦合，兩者並非同一個玻色子場；Fujisawa 的實 驗卻是同一個玻色子場造成，即聲子場造成的。不過卻可以以此模型來模擬非馬

可夫效應在 Fujisawa 實驗中可能出現的影響。

5. 關於 Rabi 震盪對穩態電流與對衰減時間的影響，主要決定在 Rabi 的強度γ 與 偵測器的量測強度W ，₁ W 間的角力：若是 Rabi 強度遠大於偵測器強度的話，會₂ 造成電子更為侷限在量子點中；反之，若是 Rabi 強度遠小於偵測器強度的話，則 會回到上面所討論的自發性放射的情形。自發性放射率Γ 與 Rabi 震盪的強度₂₁ γ 關 係到電子侷限在量子點的強度；而W ，₁ W 等偵測器的強度則關係到電流的強度，₂ 兩者相互拉距而影響到電流。

參考論文：

[1]. T. Fujisawa etc., ’Spontaneous Emission Spectrum in Double Quantum Dot Devices’, Science, Vol.282, No.5390, 932-935, 1998.

[2]. Tobias Brandes, ‘Coherent and collective quantum optical effects in mesoscopic systems’, Physics Reports, Vol.408, Issues 5-6, 315-474, March 2005.

[3]. B. Elattari, S. A. Gurvitz, ‘Influence of measurement on the lifetime and the line- width of unstable systems’, P. R. A, Vol.62, No.03212, 2000;

[4]. Scully, M. O.; Zubairy M. S., ’Quantum Optics’, Cambridge University Press, Sep.

4, 1997.

[5]. Carmichael, H., ‘An Open Systems Approach to Quantum Optics: Lectures Presented at the Universite Libre De Bruxelles October 28 to November 4, 1991’, Springer, Aug., 1993.

[6]. von Neumann, J. ‘Mathematical Foundations of Quantum Mechanics’, Princeton University press, 1996.

在文檔中 單量子點電子傳輸的非馬可夫效應 (頁 10-0)