節求直線方程式

4.2 節二元一次方程式的圖形 55

4.2.2 節求直線方程式

例題 4.2.2-1

例題 4.2.2-2

例題 4.2.2-3

例題 4.2.2-4

在4.2.1 節中，我們學過平行或垂直座標軸的直線：

若方程式的形式為^x^^k，則其圖形為垂直x 軸或平行 y 軸的直線。

若方程式的形式為^y^^h，則其圖形為平行x 軸或垂直 y 軸的直線。

反過來說，若直線垂直x 軸或平行 y 軸，則其方程式的形式為^x ^^k 若直線平行x 軸或垂直 y 軸，則其方程式的形式為^y ^^h

這個觀念可以協助我們求出平行或垂直座標軸的直線方程式。

例如想求通過⁽¹^,²⁾且平行x 軸的直線方程式。

我們知道平行x 軸的直線方程式形式是 ^y^^h，而點⁽¹^,²⁾的y 座標為2。

因此可以直接寫出直線方程式為^y^²。

圖4.2-17，^y^²的圖形

x

y

例題 4.2.2-5

求通過⁽^¹^,^²⁾且垂直y 軸的直線方程式。

詳解：

垂直y 軸的直線方程式，形式為^y^^h

) 2 , 1

(  的y 座標為－2

可將直線方程式寫為：^y^^²

圖4.2-18

【練習】4.2.2-5

求通過⁽³^,^²⁾且平行y 軸的直線方程式。

y

x y

x

我們知道座標平面上任兩點，一定可以找到通過此兩點的直線，但是三點就不一定了。

若是三點在同一條直線上，我們稱為三點共線。

如圖4.2-19(a)，三點共線，但在圖 4.2-19(b)中，三點就沒有共線了。

圖4.2-19(a) 圖4.2-19(b)

如何決定三點是否共線呢？我們只要隨意拿兩點，求得通過此兩點的直線方程式，然後將第三點代入這個方程式，如能滿足此方程式，則三點共線，如不滿足，就不共線。

例題 4.2.2-6

座標平面上有三點A⁽¹^,⁵⁾、B⁽⁰^,³⁾、C⁽^²^,^¹⁾，請判斷此三點是否共線。

詳解：

判斷三點是否共線：先找兩點求出直線方程式，再看第三點是否在直線上。

我們先求出通過A⁽¹^,⁵⁾、B⁽⁰^,³⁾兩點的直線

設直線方程式為^y^^ax^^b，然後分別將A⁽¹^,⁵⁾、B⁽⁰^,³⁾兩點代入：

代入⁽¹^,⁵⁾：⁵^^a^^b 化簡得^a^{ b}^⁵ 代入⁽⁰^,³⁾：³^^b 化簡得^b^³

x y

x

y

寫成聯立方程式：

例題 4.2.2-7

【練習】4.2.2-7

5 ) ( 4 ) 1 2

( c   c  5 4 1 2c  c

6 2c

3 c

因此本題三點共線的直線方程式為^y^{ x}⁴ ^⁵，c 之值為3。

【練習】4.2.2-8

已知座標平面上三點A⁽³^,⁴⁾、B⁽^¹^,^⁴⁾、C⁽^^k^,^^k^¹⁾，在同一直線上，試求：

(1)此直線方程式 (2)k 之值

4.2.3 節二元一次聯立方程式的圖解

例題 4.2.3-2

例題 4.2.3-3

由上面三個例題可以知道，兩條直線方程式在直角座標上的圖形有交於一點、平行、重

(1) 若兩條直線交於一點，則直線的交點就是聯立方程式的解。

例題 4.2.3-4

將^x^³代入，得^y ^¹，圖形通過⁽³^,¹⁾

【練習】4.2.3-6

判斷二元一次聯立方程式

















10 2

10 2 5

y x

x 解的種類，並在座標平面上畫出圖形。

x

y

4.2.4 節直線方程式的移動

例題 4.2.4-1

例題 4.2.4-2

例題 4.2.4-3

找出在座標平面上與直線方程式^y^⁴平行，且通過點⁽¹^,³⁾的直線方程式。

詳解：

與^y^⁴平行的直線，可以設成^y^^k

因為通過點⁽¹^,³⁾，因此將⁽¹^,³⁾代入可使等式成立。

將⁽¹^,³⁾代入^y^^k：

k ) 3 (

3 k

得直線方程式為^y^³

圖4.2-31

【練習】4.2.4-3

找出在座標平面上與直線方程式x4平行，且通過點⁽²^,³⁾的直線方程式。

y

x

4 y

3 y

x

y

例題 4.2.4-4

從前面的題目中，我們已經瞭解了如何找出平行的直線方程式，接下來便可以正式做直線移動的題目。

※本書中我們僅討論水平與垂直的移動。

我們先用圖形來看看直線的移動，例如有直線方程式

^y

^

^x

，我們將此直線往上移動2 個單位，如圖4.2-33。因為圖形不會旋轉，所以移動後的直線仍與原直線平行。

圖4.2-33

往上移動2 個單位的直線方程式要如何求出來呢？我們可以先設法找到直線上任一點，

接著就能用前面學過的平行直線方程式觀念來求出。

將

^y

^

^x

往上移動 2 單位後的直線

x y



x y

↑

我們隨意找一個

^y

^

^x

上的點，例如⁽¹^,¹⁾。

因為直線是往上移動2 單位，所以點⁽¹^,¹⁾往上移動2 單位，也會在移動後的直線上。

) 1 , 1

( 往上移動2 單位即 y 座標加 2，也就是⁽¹^,³⁾。

於是我們所要求的直線就可以寫成是：與

^y

^

^x

平行且通過⁽¹^,³⁾的直線。

設平行的直線方程式為^y^^x^^k，將⁽¹^,³⁾代入：

k

 )(1 ) 3 (

k

 1 3

k 2

2 k

得到此直線方程式為^y^{ x}^²

也就是直線方程式

^y

^

^x

往上移動2 單位後，得到的直線方程式為^y^{ x}^²

例題 4.2.4-5 (向上移動的直線方程式)

例題 4.2.4-6 (向下移動的直線方程式)

設平行的直線方程式為^y^{ 2}^x^^k

在直角座標平面上，若將直線方程式^y^^²^x^⁴的圖形，向左移動2 個單位長，則

4.2 節習題

習題 4.2-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式²^x^{ y}^⁴的解，請完成下表，並在座標平面上標出各數對的位置。

習題 4.2-2

A⁽¹^,³⁾、B⁽²^,⁰⁾、C⁽³^,²⁾、D⁽⁰^,^⁶⁾、E^(²^,¹²⁾、F⁽⁷₃^,¹⁾

在座標平面上各點中，會落在直線³^x^{ y}^⁶上的有（　　　　　　　）。

x 0 1 2

y －2 －4

習題 4.2-3

(1)畫出^x^{ y}^²的圖形。

(2)畫出³^x^{ y}² ^¹的圖形。

(3)畫出³^x^{ y}² ^^⁶的圖形。

習題 4.2-4

(1)求通過⁽⁰^,⁰⁾、⁽^²^,^²⁾兩點的直線方程式。

(2)求通過⁽⁰^,²⁾、⁽⁶^,^²⁾兩點的直線方程式。

(3)求通過⁽¹^,³⁾、⁽^¹^,^¹⁾兩點的直線方程式。

(4)求通過⁽^⁴^,^³⁾、⁽²^,^¹⁾兩點的直線方程式。

習題 4.2-5

(1)若直線方程式^mx^{ y}^⁴通過點⁽²^,^⁴⁾，試求m 的值。

(2)若直線方程式²^x^{ y}⁵ ^^¹³通過點^(a^,³⁾、⁽^⁴^,^b⁾，試求a、b 的值。

習題 4.2-6

已知P⁽³^,⁴⁾、Q⁽⁰^,^²⁾、R^(³^,³⁾為座標平面上的三點，請分別求出直線PQ、直線 QR、直線 PR 的方程式。

習題 4.2-7

(1)求通過⁽⁰^,⁰⁾且平行x 軸的直線方程式。

(2)求通過⁽¹^,²⁾且垂直x 軸的直線方程式。

(3)求通過⁽²^,³⁾且平行y 軸的直線方程式。

(4)求通過⁽^⁴^,^³⁾且垂直y 軸的直線方程式。

習題 4.2-8

直線L 的方程式為³^x^{ y}⁵ ^^¹⁵，試求：

(1)L 與 x 軸的交點座標。

(2)L 與 y 軸的交點座標。

(3)L 與兩軸圍成的三角形面積。

(4)L 不通過哪個象限？

習題 4.2-9

直線M 的方程式為²^x^{ y}³ ^¹²，試求：

(2)M 與 y 軸的交點座標。

(3)M 與兩軸圍成的三角形面積。

(4)M 不通過哪個象限？

習題 4.2-10

(1)²^x^{ y}³ ^⁶不通過第幾象限？ (2)²^x^{ y}³ ^⁶不通過第幾象限？

(3)^²^x^³^y^⁶不通過第幾象限？ (4)^²^x^³^y^⁶不通過第幾象限？

(5)若 a＞0、b＞0，則^ax^{ by}^⁶不通過第幾象限？

(6)若 a＞0、b＜0，則^ax^{ by}^⁶不通過第幾象限？

(7)若 a＜0、b＞0，則^ax^{ by}^⁶不通過第幾象限？

(8)若 a＜0、b＜0，則^ax^{ by}^⁶不通過第幾象限？

習題 4.2-11

(1)座標平面上，若直線方程式³^x^{ 7}^y^^k通過原點，試求k 之值。

(2)座標平面上，若直線方程式^²^x^³^y^^k^¹通過原點，試求k 之值。

(3)座標平面上，若直線方程式³^x^⁽^m^¹⁾^y^ⁿ^¹通過原點與⁽²^,³⁾，試求m、n 之值。

習題 4.2-12

(1)座標平面上有三點⁽³^,³⁾、⁽⁰^,⁰⁾、⁽^²^,^²⁾請判斷此三點是否共線。

(2)座標平面上有三點⁽¹^,⁴⁾、^(¹^,¹⁾、⁽^²^,^¹⁾請判斷此三點是否共線。

(3)座標平面上有三點^(²^,⁴⁾、^(¹^,¹⁾、⁽^k^,^⁵⁾，若此三點共線，試求k 之值。

(4)座標平面上有三點⁽⁴^,³⁾、⁽²^,⁰⁾、⁽⁰^,^k⁾，若此三點共線，試求k 之值。

習題 4.2-13

(1) 在座標平面上，判斷⁽⁰^,⁴⁾、⁽²^,³⁾、⁽⁴^,²⁾三點是否共線。若共線，試求出共線的直線方程式。

(2) 在座標平面上，判斷⁽¹^,²⁾、^(¹^,¹⁾、⁽^⁴^,⁰⁾三點是否共線。若共線，試求出共線的直線方程式。

(3) 在座標平面上，判斷⁽²^,^²⁾、⁽¹^,¹⁾、⁽⁰^,⁴⁾三點是否共線。若共線，試求出共線的直線方程式。

習題 4.2-14

(1)在座標平面上，求直線方程式^x^³^⁰與^y^⁵^⁰的交點座標。

(2)在座標平面上，求直線方程式^x^{ y}² ^⁸與³^x^{ y}^³的交點座標。

習題 4.2-15

習題 4.2-17

在直角座標平面上，有一條直線L：^y^{ x}^¹，回答下列問題：

(1)將 L 向上移動 2 單位，則移動後的直線方程式為何？

(2)接著再將 L 向右移動 2 單位，則移動後的直線方程式為何？

(3)接著再將 L 向下移動 4 單位，則移動後的直線方程式為何？

(4)接著再將 L 向左移動 3 單位，則移動後的直線方程式為何？

習題 4.2-18

在直角座標平面上，有一條直線L：^y ^{ x}² ^³，回答下列問題：

(1)將 L 向上移動 2 單位，則移動後的直線方程式為何？

(2)接著再將 L 向右移動 2 單位，則移動後的直線方程式為何？

(3)接著再將 L 向下移動 4 單位，則移動後的直線方程式為何？

(4)接著再將 L 向左移動 3 單位，則移動後的直線方程式為何？

習題 4.2-19

在直角座標平面上，有一條直線L：²^x^{ y}³ ^⁶，回答下列問題：

(1)將 L 向上移動 2 單位，則移動後的直線方程式為何？

(2)接著再將 L 向右移動 2 單位，則移動後的直線方程式為何？

(3)接著再將 L 向下移動 4 單位，則移動後的直線方程式為何？

(4)接著再將 L 向左移動 3 單位，則移動後的直線方程式為何？

4.3 節直角座標的應用題與綜合題

例題 4.3-1

如圖4.3-1，從學校出發，往東走 3 公里，

再往北走2 公里後可到達郵局；從學校往西走3 公里，再往北走 3 公里可到達火車站；

從學校往西走5 公里，再往南走 4 公里可到達書店。若定義學校座標為原點⁽⁰^,⁰⁾，郵局座標為⁽³^,²⁾，向東為x 軸正向，向北為 y 軸正向，則火車站與書店座標如何表示？

圖4.3-1 詳解：

火車站座標為原點⁽⁰^,⁰⁾，郵局座標為⁽³^,²⁾，且從學校到郵局需往東走3 公里，往北走 2 公里也就是座標軸1 單位代表 1 公里。

往東為正，則往西為負。

往北為正，則往南為負。

學校到火車站需往西走3 公里，往北走 3 公里，因此座標為^(³^,³⁾。學校到書店需往西走5 公里，往南走 4 公里，因此座標為⁽^⁵^,^⁴⁾。

圖4.3-2 答：火車站座標為^(³^,³⁾；書店座標為⁽^⁵^,^⁴⁾。

例題 4.3-2

例題 4.3-3

往東走3 公里可到達公路：

往東3 公里即為 x 座標加 3，因此往東 3 公里後的座標為⁽³^,⁰⁾ 往東3 公里後到達公路，因此點⁽³^,⁰⁾在此公路上。

往西1 公里，再往北 2 公里可到達公路：

往西1 公里即為 x 座標減 1，因此往西 1 公里後的座標為^(¹^,⁰⁾ 往北2 公里即為 y 座標加 2，因此往北 2 公里後的座標為^(¹^,²⁾

往西1 公里，再往北 2 公里可到達公路，因此點^(¹^,²⁾在此公路上。

點⁽³^,⁰⁾與點^(¹^,²⁾都在此直線公路上，我們利用此兩點求出直線方程式：

設直線方程式為^y^^ax^^b

代入⁽³^,⁰⁾得：⁰^{ 3}^a^^b，化簡為^b ^^^3a^...(¹⁾ 代入^(¹^,²⁾得：²^^^a^^b，化簡為^^a^^b^²^...(²⁾ 將(1)代入(2)，解得^a^^¹₂，

將 2

1



a 代入(1)，解得^b^ ₂³ 得直線方程式為

2 3 1 2



 x

題目問從學校出發，往北走多少公里後可到達公路。

也就是x 座標不變，只移動 y 座標來到達直線上。

原點的x 座標為0，我們將^x^⁰代入

2 3 21 



 x

2 ) 3 0 2 (

1 





y ，解得 ¹^.⁵

23 

 y

因此⁽⁰^,³⁾在直線上，從原點出發，往上走1.5 單位會到達直線。

回到地圖上，也就是從學校出發，往北走1.5 公里可到達公路。

圖4.3-6

答：從學校出發，往北走1.5 公里後可到達公路。

x

y

例題 4.3-5

例題 4.3-6

例題 4.3-8

4.3 節習題

習題 4.3-1

如圖4.3-7，從學校出發，往東走 3 公里，

再往南走2 公里後可到達學校；從學校往西走5 公里，可到達百貨公司；從百貨公司往西走1 公里，再往北走 4 公里可到達游泳池。

若定義火車站座標為原點⁽⁰^,⁰⁾，學校座標為

) 2 , 3

(  ，向東為x 軸正向，向北為 y 軸正向，

則百貨公司與游泳池座標如何表示？

圖4.3-7

習題 4.3-2

在座標平面上，ABCD 為一長方形，A 點座標為^(⁴^,⁴⁾，C 點在第四象限，線段 AB 長度為 6 且平行 y 軸，線段 BC 長度為 9。試求：

(1)B、C、D 點座標。

(2)直線 BD 的方程式。

習題 4.3-3

座標平面上有三點A⁽¹^,³⁾、B⁽^³^,^¹⁾、C⁽⁴^,^¹⁾，試求三角形ABC 之面積。

習題 4.3-4

在座標平面上，若三點⁽^⁴^,^²⁾、⁽³^,¹⁾、⁽²^t^²^,^t⁾在同一直線上，則共線的直線方程式為何？t 之值為何？

習題 4.3-5

在座標平面上，若兩直線²^x^{ y}^²、^ax^{ y}^¹相交於x 軸上，試求此交點座標與 a 的值。

習題 4.3-6

在座標平面上，若三直線³^x^{ y}^¹、^x^{ y}² ^⁵、^ax^{ y}⁵ ^⁸相交於同一點，試求此交點座標與a 的值。

習題 4.3-7

座標平面上，已知兩直線^ax^{ 7}^y^^b與^⁵^x^^by^²⁴的交點為⁽^⁴^,^²⁾，則a＝？

習題 4.3-8

已知兩直線^mx^{ y}² ^⁷與⁶^x^{ ny} ^¹⁴互相重合，則m＝？

習題 4.3-9

在座標平面上，若兩直線^ax^{ 3}^y^^b與⁸^x^{ y}⁶ ^¹⁴無交點，則a、b 的條件為何?

習題 4.3-10

已知兩直線²^x^{ y}³ ^⁵與⁴^x^{ my}^¹²相交於一點，則m 的條件為何?

第四章綜合習題

習題 1：

寫出下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上？

座標 ⁽²^,⁰⁾ ⁽³^,²⁾ ^(³^,⁷⁾ ⁽⁶^,^⁵⁾ 位置

座標 ⁽^²²^,^⁴⁾ ⁽⁰^,^⁵⁾ ⁽⁷^,⁶⁾ ^(²^,⁰⁾ 位置

習題 2：

座標平面上，有一人從⁽²^,⁴⁾出發，向南走5 單位，然後向西走 3 單位，再向北走 6 單位，最後到達 L 點。請問 L 點座標為何？(東為 x 軸正向，北為 y 軸正向)

習題 3：

若^P^{( a}³^, ⁾在第一象限，且P 與 x 軸的距離為5，試求 a 之值。

習題 4：

若^Q⁽^a^,^b⁾在y 軸的負向上，且 Q 與原點的距離為5，試求 a、b 之值。

習題 5：

座標平面上有四點：P⁽³^,²⁾、Q^(³^,²⁾、R⁽^³^,^²⁾、S⁽³^,^²⁾

(A)P 與 Q (B)P 與 R (C)P 與 S (D)Q 與 R (E)Q 與 S (F)R 與 S 請用代號A～F 回答下列問題：(複選)

(1)有哪幾組對稱於 x 軸？（　　　　　　　） (2)有哪幾組對稱於 y 軸？（　　　　　　　） (3)有哪幾組對稱於原點？（　　　　　　　）

習題 6：

若座標平面上A⁽^a^¹^,²^b^¹⁾、B⁽²^a^{ b}²^, ^²⁾兩點表示同一點，試求A 點座標。

習題 7：

若座標平面上P⁽²^a^²^,²^b^¹⁾、Q⁽³^b^⁵^,^a^⁸⁾兩點對稱於x 軸，試求P 點座標。

習題 8：

下表中的x、y 是二元一次方程式⁵^x^{ y}^¹⁶的解，請完成下表。

x 0 1 2 3 4

y 0 11

習題 9：

黑兔颱風在座標平面上，以等速直線前進。今日清晨 3 時，颱風眼在⁽³^,⁶⁾的位置，

在文檔中代數第四章目錄 (頁 71-152)

節 求直線方程式

4.2 節 二元一次方程式的圖形 55

4.2.2 節 求直線方程式

x

y

y

x y

x

x y

x

y

4.2.3 節 二元一次聯立方程式的圖解

x

y

4.2.4 節 直線方程式的移動

y

x

x

y

y

x

y

x

x y

x y

↑

y

x

y

x

y

x

4.2 節 習題

4.3 節 直角座標的應用題與綜合題

x

y

4.3 節 習題

第四章綜合習題

4.2 節二元一次方程式的圖形 55

4.2.2 節求直線方程式

4.2.3 節二元一次聯立方程式的圖解

4.2.4 節直線方程式的移動

^y

^x

^y

^x

^y

^x

^y

^x

^y

^x

4.2 節習題

4.3 節直角座標的應用題與綜合題

4.3 節習題