3.6 以 ANOVA 為基礎的檢定
3.6.3 結合 Brown-Forsythe 檢定與 O’Brien 檢定
3.6.3 結合 Brown-Forsythe 檢定與 O’Brien 檢定
Ramsey (1994) 提出一個結合 Brown-Forsythe 檢定和 O’Brien 檢定的方法，
簡稱 BFO 檢定，因為 Brown-Forsythe 檢定較適用高狹峰分佈，而 O’Brien 檢 定較適用於低闊峰分佈，所以若能先估計峰度係數 (kurtosis)，了解母體的分布
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第四章 模擬分析與討論
4.1 模擬設定
在 本 章 我 們 採 用 蒙 地 卡 羅 模 擬 方 法，探 討 Moses rank-like 檢 定 (簡 稱 WMM)、Modified Moses rank-like 檢 定 (簡 稱 WMM2)、Savage 檢 定 (簡 稱 SV)，以 及 Siegel-Tukey 檢 定 (簡 稱 ST)、Conover squared-rank 檢 定 (簡 稱 CSR)，Brown-Forsythe 檢定 (簡稱 BF)、O’Brien 檢定 (簡稱 OB) 與 BFO 檢 定，這八種檢定方法在不同母體分配下，其檢定力的優劣以及型一誤差的大小，
考慮的母體分配包括常態分配、t 分配、均勻分配、卡方分配、雙指數分配、貝 他分配以及雙峰分配，分佈型態的比較如表 4.1 所示。其中雙峰分配為一混合 模型 (mixture model)，這裡利用兩常態分配合成且採用相等的權重，其機率密 度函數為
f (x) = 0.5f1(x) + 0.5f2(x)
其中 f1(x), f2(x)分別為平均數 -5,5，標準差皆為 2 的常態分配。
模擬的方法為從同一個母體分配中隨機抽取兩組樣本 {U1,j}nj=11 ，{U2,j}nj=12 ， 樣本數分別為 n1 與 n2，位置參數的差異並不會影響到檢定變異數，但有些學 者卻認為位置的差異對於檢定變異數有所影響，應該將位置參數的差異也加入 考慮 (參考 [13])，所以我們將第二組樣本加上 4σ 作為位置參數的差異，因此考
‧
10 double exponential 0 3 11 Beta(0.5,0.5) 0 -1.5 12 Beta(1,5) 1.18 1.2 13 Beta(5,1) -1.18 1.2
14 雙峰分配
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H0 的次數，當 k = 1 時表示 H0 為真，兩母體變異數相等，計算 10000 次實 驗中拒絕 H0 的比例即為型一誤差率; 當 k = √
2,√
3, 2 時表示 H0 為偽，計算 10000 次實驗中拒絕 H0 的比例即為檢定力。在重複作 10000 次的實驗中，想要 了解其型一誤差率 α 是否滿足我們所設定的 0.05，計算標準誤 (standard error) SE =√
(0.05)(0.95)/10000 = 0.002179，即在 α = 0.05 的水準下，其 α 的 95%
信賴區間在 α± 2√
(0.05)(0.95)/10000 = (0.0457, 0.0543)，若型一誤差率大於數 值 0.0543，表示此方法無法控制住型一誤差率。
4.2 模擬結果與分析
本節我們探討兩組樣本數相同的情形 (n1, n2) = (5, 5), (7, 7), (10, 10) 以及 兩組樣本數不同的情形 (n1, n2) = (5, 7), (5, 10), (7, 13)，在不同分配之下，比較 ST、CSR、BF、OB、BFO、WMM、SV、WMM2 八種檢定方法之型一誤差 率，以及給定參數值 k =√
2,√
3, 2 的條件下其檢定力的表現，其結果整理在表 4.2 至表 4.11。
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表 4.2: n1 = n2 = 5 時，比較各檢定方法在不同分配下之型一誤差率
Population ST CSR BF OB BFO WMM SV WMM2 1 .0012 .0697* .0158 .0317 .0163 .0000 .0000 .0257 2 .0013 .2242* .0171 .0256 .0174 .0000 .0000 .0441 3 .0012 .0822* .0150 .0290 .0155 .0000 .0000 .0298 4 .0006 .0798* .0156 .0291 .0166 .0000 .0000 .0293 5 .0007 .0735* .0154 .0300 .0159 .0000 .0000 .0256 6 .0005 .0691* .0130 .0309 .0131 .0000 .0000 .0290 7 .0000 .0743* .0097 .0438 .0109 .0000 .0000 .0172 8 .0011 .1184* .0181 .0474 .0189 .0000 .0000 .0307 9 .0003 .0926* .0156 .0411 .0161 .0000 .0000 .0272 10 .0004 .0862* .0173 .0314 .0177 .0000 .0000 .0206 11 .0005 .0802* .0101 .0504 .0156 .0000 .0000 .0159 12 .0009 .1158* .0196 .0536 .0212 .0000 .0000 .0286 13 .0000 .1122* .0199 .0552* .0215 .0000 .0000 .0288 14 .0025 .0730* .0113 .0476 .0140 .0000 .0000 .0031
* 在顯著水準 α = 0.05 下，超過 α 的 95% 信賴區間上界 0.0543 的數值
表 4.2 為 (n1, n2) = (5, 5) 時，各檢定方法在不同分配下之型一誤差率，可 知在樣本數只有 5 時，因為 WMM 檢定與 SV 檢定方法需將樣本數折半使用，
使得樣本數過少無法找到在 α = 0.05 水準下的臨界值，造成無法拒絕的情 形，若使用 WMM2 檢定作修正，在樣本數只有 5 的情況下，利用模擬的臨界 值可以改善無法拒絕的情形，其中 WMM2 在小樣本時的臨界值表於附錄 A，
WMM2 對於型一誤差率的控制有穩健的表現，但在雙峰分配下其型一誤差則過 於保守。CSR 檢定在我們考慮的各種分配下皆不能控制住型一誤差率。
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表 4.3: n1 = n2 = 7 時，比較各檢定方法在不同分配下之型一誤差率
Population ST CSR BF OB BFO WMM SV WMM2 1 .0177 .0628* .0251 .0394 .0255 .0515 .0515 .0375 2 .0280 .2273* .0189 .0244 .0189 .0534 .0534 .0571*
3 .0182 .0729* .0246 .0359 .0249 .0511 .0511 .0405 4 .0194 .0683* .0269 .0358 .0270 .0503 .0503 .0410 5 .0184 .0613* .0221 .0368 .0228 .0483 .0483 .0386 6 .0176 .0605* .0235 .0349 .0238 .0505 .0505 .0362 7 .0176 .0565* .0148 .0399 .0181 .0490 .0490 .0281 8 .0330 .1155* .0308 .0523 .0317 .0502 .0502 .0393 9 .0246 .0911* .0268 .0515 .0281 .0496 .0496 .0410 10 .0219 .0744* .0335 .0386 .0337 .0503 .0503 .0358 11 .0148 .0635* .0122 .0460 .0214 .0482 .0482 .0240 12 .0337 .1036* .0285 .0543 .0303 .0478 .0478 .0415 13 .0343 .1092* .0328 .0580* .0346 .0499 .0499 .0398 14 .0144 .0658* .0129 .0412 .0207 .0352 .0352 .0045
* 在顯著水準 α = 0.05 下，超過 α 的 95% 信賴區間上界 0.0543 的數值
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表 4.4: n1 = n2 = 10 時，比較各檢定方法在不同分配下之型一誤差率
Population ST CSR BF OB BFO WMM SV 1 .0349 .0552* .0371 .0403 .0371 .0463 .0463 2 .0497 .2458* .0268 .0213 .0268 .0482 .0474 3 .0397 .0659* .0399 .0365 .0399 .0490 .0520 4 .0393 .0644* .0415 .0376 .0414 .0486 .0458 5 .0413 .0630* .0450 .0422 .0450 .0466 .0438 6 .0371 .0563* .0404 .0422 .0405 .0441 .0444 7 .0353 .0591* .0362 .0459 .0370 .0468 .0472 8 .0728* .1250* .0484 .0583* .0488 .0480 .0490 9 .0572* .0918* .0456 .0521 .0460 .0507 .0489 10 .0446 .0703* .0471 .0416 .0471 .0503 .0497 11 .0482 .0649* .0323 .0418 .0381 .0484 .0510 12 .0744* .1112* .0487 .0580* .0491 .0469 .0462 13 .0725* .1112* .0494 .0607* .0499 .0465 .0451 14 .0516 .0653* .0309 .0425 .0366 .0361 .0336
* 在顯著水準 α = 0.05 下，超過 α 的 95% 信賴區間上界 0.0543 的數值
表 4.3 與表 4.4 為 (n1, n2) = (7, 7), (10, 10) 時，各檢定方法在不同分配下之 型一誤差率，當樣本數增加到 7 與 10 時，WMM 與 SV 檢定已經沒有找不到 臨界值的問題存在，能將型一誤差控制在 0.0543 的限制以下，且最接近我們所 設定的顯著水準 0.05，與修正後的 WMM2 一樣表現穩健。其中特別注意的是 WMM 與 SV 的檢定統計量雖然非一對一的關係，但在樣本數為 7 時其 level 0.05 拒絕域恰好相同，因此在使用同一筆模擬資料所計算出的拒絕率亦相同。
BF 與 BFO 檢定之型一誤差率與其他檢定方法相比較較為保守，在任何分配下 皆沒有超出上界的情形，能良好的控制住型一誤差率，當樣本數到增加到 10
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時，其型一誤差率的控制更能接近我們所設定的值，另外由表 4.4 可知 OB 檢 定在有偏的分配下，其型一誤差率 α 較容易超過上界 0.0543。
表 4.5: 不同樣本數下 n1 = 5, n2 = 7時，比較各檢定方法在不同分配下之型一 誤差率
Population ST CSR BF OB BFO WMM SV WMM2 1 .0185 .0769* .0250 .0288 .0259 .0000 .0000 .0379 2 .0234 .2447* .0137 .0122 .0137 .0000 .0000 .0490 3 .0196 .0880* .0244 .0244 .0252 .0000 .0000 .0377 4 .0183 .0768* .0239 .0225 .0242 .0000 .0000 .0363 5 .0181 .0731* .0203 .0219 .0208 .0000 .0000 .0330 6 .0192 .0731* .0248 .0254 .0251 .0000 .0000 .0339 7 .0199 .0828* .0246 .0443 .0278 .0000 .0000 .0204 8 .0345 .1350* .0295 .0382 .0305 .0000 .0000 .0380 9 .0262 .1084* .0268 .0349 .0277 .0000 .0000 .0305 10 .0206 .0878* .0252 .0220 .0255 .0000 .0000 .0218 11 .0218 .0877* .0238 .0565* .0320 .0000 .0000 .0211 12 .0359 .1317* .0316 .0471 .0330 .0000 .0000 .0340 13 .0267 .1304* .0347 .0452 .0364 .0000 .0000 .0344 14 .0184 .0842* .0214 .0520 .0271 .0000 .0000 .0047
* 在顯著水準 α = 0.05 下，超過 α 的 95% 信賴區間上界 0.0543 的數值
接下來考慮兩組樣本數為不同的情形，表 4.5 為 (n1, n2) = (5, 7) 兩組樣本 數不同時，各檢定方法在不同分配下之型一誤差率，可以得知 WMM 以及 SV 依然存在無法拒絕的情形，而其他檢定方法除了 CSR 之外皆能夠控制住型一誤 差，另外 OB 檢定在 beta 分配中有超出上界的情形。
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表 4.6: 不同樣本數下 n1 = 5, n2 = 10 時，比較各檢定方法在不同分配下之型一誤 差率
Population ST CSR BF OB BFO WMM SV WMM2 1 .0623* .0841* .0453 .0227 .0455 .0456 .0456 .0389 2 .0665* .2472* .0137 .0041 .0138 .0482 .0482 .0639*
3 .0645* .0882* .0399 .0151 .0399 .0464 .0464 .0466 4 .0609* .0835* .0403 .0164 .0404 .0474 .0474 .0477 5 .0620* .0851* .0460 .0205 .0461 .0489 .0489 .0395 6 .0642* .0832* .0483 .0234 .0485 .0491 .0491 .0391 7 .0744* .0980* .0602* .0480 .0597* .0487 .0487 .0309 8 .0951* .1488* .0472 .0296 .0473 .0503 .0503 .0446 9 .0798* .1169* .0537 .0312 .0541 .0476 .0476 .0429 10 .0604* .0857* .0375 .0122 .0376 .0342 .0342 .0267 11 .0932* .1100* .0650* .0660* .0676* .0504 .0504 .0263 12 .1013* .1447* .0552* .0378 .0556* .0471 .0471 .0436 13 .0989* .1427* .0545* .0407 .0547* .0491 .0491 .0415 14 .0997* .1063* .0726* .0702* .0734* .0313 .0313 .0038
* 在顯著水準 α = 0.05 下，超過 α 的 95% 信賴區間上界 0.0543 的數值
表 4.6 為 (n1, n2) = (5, 10) 兩組樣本數不同時，各檢定方法在不同分配下之型一 誤差率，由表 4.6 可知隨著兩組樣本的樣本數相差更多時，其 ST 與 CSR 檢定 在任何分配下皆不能控制住型一誤差率，而 BF 與 BFO 檢定在 uniform 分配以 及 beta 分配下，皆無法將型一誤差控制住，OB 則是在 beta (機率密度函數為 U 型) 分配的情形控制不佳，總結來說在兩組樣本數為 (n1, n2) = (5, 10) 的情形 下只有 WMM 與 SV 在所有不同的分配下依然能夠穩定的控制型一誤差率。
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表 4.7: 不同樣本數下 n1 = 7, n2 = 13 時，比較各檢定方法在不同分配下之型一 誤差率
Population ST CSR BF OB BFO WMM SV WMM2 1 .0493 .0703* .0413 .0322 .0417 .0481 .0481 .0473 2 .0506 .2459* .0112 .0041 .0112 .0444 .0444 .0665*
3 .0462 .0758* .0333 .0184 .0334 .0474 .0474 .0508 4 .0526 .0725* .0350 .0207 .0350 .0447 .0447 .0538 5 .0510 .0715* .0384 .0235 .0387 .0498 .0498 .0470 6 .0496 .0763* .0410 .0303 .0413 .0528 .0528 .0430 7 .0495 .0780* .0420 .0491 .0455 .0476 .0476 .0323 8 .0838* .1423* .0438 .0384 .0451 .0485 .0485 .0472 9 .0606* .0986* .0411 .0334 .0415 .0475 .0475 .0431 10 .0525 .0757* .0377 .0203 .0378 .0371 .0371 .0366 11 .0669* .0911* .0403 .0589* .0510 .0491 .0491 .0295 12 .0879* .1267* .0472 .0434 .0483 .0437 .0437 .0464 13 .0884* .1311* .0466 .0417 .0473 .0476 .0476 .0481 14 .0585* .0963* .0344 .0517 .0465 .0293 .0293 .0052
* 在顯著水準 α = 0.05 下，超過 α 的 95% 信賴區間上界 0.0543 的數值
表 4.7 為 (n1, n2) = (7, 13) 兩組樣本數不同時，各檢定方法在不同分配下之型一 誤差率，由表 4.7 可知當樣本數在增加一點時，除了 ST 與 CSR 檢定仍不能控 制住型一誤差率外，其餘方法皆有穩健的表現，而 OB 檢定在 beta (機率密度 函數為 U 型) 分配中有超出上界的情形，WMM2 在柯西分配的情況下也有超出 上界的情形。
在比較檢定力前必須先確保其檢定方法能夠控制住型一誤差率，由於 CSR 無論在樣本數為多少的情況下皆無法控制住型一誤差率，而使用 WMM 與 SV
‧
Population ST OB BFO WMM WMM2 1 .0615 .1223 .0889 .1028 .0996 2 .0601 .0427 .0495 .0818 .1001 3 .0619 .0967 .0889 .0994 .1054 4 .0645 .0975 .0880 .0989 .1074 5 .0608 .1094 .0876 .1063 .1016 6 .0630 .1208 .0925 .1060 .1039 7 .0771 .1987 .1030 .1122 .0892 8 .0907 .1330 .0916 .0981 .0967 9 .0763 .1311 .0900 .0980 .0983 10 .0634 .0896 .0901 .0858 .0839 11 .0800 .2367 .1112 .1036 .0802 12 .0943 .1452 .0992 .0952 .0911 13 .0899 .1386 .0978 .0884 .0932 14 .0792 .2628 .1064 .0746 .0286 Max .0943 .2628 .1112 .1122 .1074
* 顯著水準 α = 0.05 OB 在低闊峰 (platykurtic) 的分配下具有較好的檢定力，但不同於以往的結果
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是在高狹峰的分配下，OB 仍有不錯的檢定力，而 BFO 檢定雖然先作了峰度檢 定決定選擇 BF 或 OB，在大部分的情況下仍會選擇 BF 檢定導致其檢定力在分 配為低闊峰時的表現並沒有如 OB 檢定好。在所有的檢定方法中由於 ST 對型 一誤差率的控制過於保守，所以檢定力在所有方法中偏低。
表 4.9: n1 = n2 = 7 時，比較各檢定方法在不同分配 下之檢定力，其中 σ2/σ1 =√
3
Population ST OB BFO WMM WMM2 1 .1144 .2176 .1793 .1517 .1635 2 .0902 .0626 .0755 .1179 .1431 3 .1008 .1469 .1505 .1431 .1626 4 .1106 .1644 .1585 .1464 .1677 5 .1154 .1897 .1670 .1493 .1656 6 .1154 .2033 .1684 .1507 .1629 7 .1382 .3367 .1883 .1524 .1469 8 .1435 .1856 .1512 .1351 .1488 9 .1255 .1960 .1572 .1337 .1522 10 .0996 .1378 .1443 .1167 .1298 11 .1510 .4151 .2076 .1479 .1289 12 .1446 .2097 .1550 .1316 .1478 13 .1401 .2086 .1536 .1343 .1450 14 .1399 .4448 .1945 .1068 .0583 Max .1510 .4448 .2076 .1524 .1677
* 顯著水準 α = 0.05
‧
Population ST OB BFO WMM WMM2 1 .1638 .2823 .2458 .1983 .2209 2 .1091 .0677 .0865 .1239 .1738 3 .1521 .2005 .2154 .1794 .2158 4 .1542 .2162 .2204 .1869 .2112 5 .1534 .2573 .2368 .1857 .2206 6 .1634 .2757 .2439 .1924 .2097 7 .1965 .4468 .2822 .1909 .2058 8 .1805 .2365 .1982 .1552 .1859 9 .1704 .2635 .2244 .1740 .2040 10 .1361 .1960 .2023 .1452 .1668 11 .2133 .5391 .3033 .1739 .1742 12 .1977 .2671 .2111 .1635 .1893 13 .1939 .2718 .2174 .1642 .1914 14 .1898 .5701 .2763 .1348 .0971 Max .2133 .5701 .3033 .1983 .2209
* 顯著水準 α = 0.05
‧
Population OB BFO WMM WMM2 1 .2088 .2876 .1616 .2341 2 .0148 .0494 .1167 .1844 3 .1047 .2084 .1553 .2200 4 .1321 .2310 .1607 .2301 5 .1673 .2574 .1593 .2223 6 .1879 .2677 .1585 .2361 7 .4424 .3808 .1664 .2130 8 .1434 .2019 .1429 .2018 9 .1800 .2401 .1517 .2104 10 .0900 .1906 .1136 .1431 11 .5906 .4564 .1500 .1828 12 .1917 .2316 .1430 .1933 13 .1908 .2368 .1462 .1951 14 .6148 .4368 .1022 .0587 Max .6148 .4564 .1664 .2341* 顯著水準 α = 0.05
‧ 國
立 政 治 大 學
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
表 4.11 為樣本數 (n1, n2) = (7, 13) 時，給定 σ2/σ1 =√
3 下，OB、BFO、
WMM、WMM2 四種檢定方法在不同分配下之檢定力，當樣本數不同時，在大 部分的分配中，BFO 的檢定力與其他檢定方法相比具有相當的優勢，但在低闊 峰的分配中以 OB 的檢定力較好。在雙峰分配下 OB 檢定具有很好的檢定力但 在雙指數分配下卻是這四個檢定方法中最小的。WMM 與 WMM2 在不同分配 中其檢定力的表現並沒有很明顯的差異，且 WMM2 的檢定力在大部份的情形 下皆高於 WMM，但在雙峰分配的情況下由於型一誤差非常保守導致於其檢定 力也相對很小。
我們現在考慮結合 WMM2 與 BFO 兩種檢定 (簡稱 MBFO)，WMM2 在大 部分的分配中表現穩健，但是在雙峰分配的情形下表現非常保守，在柯西分配 時又會過度膨脹，BFO 檢定則是在柯西分配的情形下有較低的檢定力，當樣本 數小且兩組樣本數不同 (n1, n2) = (5, 10)時，在有較多極端值的分配下比較無法 控制住型一誤差，所以我們使用多重檢定，同時使用 BFO 與 WMM2 檢定作為 評斷是否拒絕 H0 的依據，為了將型一誤差仍然控制在顯著水準 α = 0.05，我 們採用 Bonferroni 作校正，因此 BFO 與 WMM2 個別採用顯著水準 0.025，兩 個檢定中只要有一個拒絕則拒絕 H0 的假設。
當樣本數 (n1, n2) = (5, 5) 取顯著水準為 0.025 時，WMM2 檢定有無法拒 絕的情形，所以在樣本數只有 5 的情況下我們不考慮使用 MBFO，考慮樣本數 (n1, n2) = (7, 7), (5, 7), (5, 10), (7, 13) 時 MBFO 之型一誤差率。
圖 4.1 至圖 4.4 為 BFO,WMM2,MBFO 在不同分配下的型一誤差率，由圖 可發現 MBFO 在 BFO 與 WMM2 間取一個平衡，改善了在某些特別的分配 中無法控制型一誤差的情形，尤其是在柯西分配有明顯的效果，在樣本數為 (n1, n2) = (5, 10) 時原本在 BFO 以及 WMM2 皆不能控制住型一誤差，應用 MBFO 改善了型一誤差率的控制。
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Type 1 error rate
BFO
Type 1 error rate
BFO
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Type 1 error rate
BFO
Type 1 error rate
BFO
Type 1 error rate
BFO
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‧ 國
立 政 治 大 學
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
第五章 結論與建議
由第四章的模擬結果我們可以發現利用 Moses rank-like (WMM) 檢定除了 在樣本數極小的情況下有無法拒絕的情形，當樣本數提升到 7 時在不同的分配 下，不論是對於型一誤差的控制或檢定力都有穩健的表現，且求出的型一誤差 率都非常符合設定的顯著值。我們採用 WMM2 檢定在小樣本時作修正也確實 改善了 WMM 無法拒絕的情形，若從兩尺度參數的比例來比較修正與否的檢 定力大小，發現當兩尺度參數的比例不大時不管使用 WMM 或 WMM2 並沒有 明顯的差異，當兩尺度參數的比例越來越大時，WMM2 的檢定力有明顯大於 WMM 的趨勢。在樣本數不同的情形下，其檢定力的表現以 WMM2 檢定的表 現較好，WMM2 除了在尋找模擬的臨界值較費時外，是一種偵測變異的穩健檢 定方法。
Savage 檢定與 WMM 檢定採用不同的評分函數，雖然 Savage 檢定統計量 有較多的可能值，但在小樣本的情況下並無明顯的差異，所以對於使用何種評 分函數都沒有太大的差別，這裡以方便使用作為選取的原則，其他秩檢定方法 Siegel-Tukey 檢定與 Conover Squared Rank 檢定，Conover Squared Rank 檢定 在所有我們考慮的分配中皆無法將型一誤差控制住，而 Siegel-Tukey 檢定在樣 本數相同時型一誤差率過於保守造成檢定力跟其他方法相比居於劣勢，在樣本
Savage 檢定與 WMM 檢定採用不同的評分函數，雖然 Savage 檢定統計量 有較多的可能值，但在小樣本的情況下並無明顯的差異，所以對於使用何種評 分函數都沒有太大的差別，這裡以方便使用作為選取的原則，其他秩檢定方法 Siegel-Tukey 檢定與 Conover Squared Rank 檢定，Conover Squared Rank 檢定 在所有我們考慮的分配中皆無法將型一誤差控制住，而 Siegel-Tukey 檢定在樣 本數相同時型一誤差率過於保守造成檢定力跟其他方法相比居於劣勢，在樣本