結果與討論 - 中華大學

4-1 網格測試

在二維流場數值模擬中，所採用之流線方向為 100.0(cm)，跨流線方向為 10.0(cm)。格點數為 523*83，即流線方向之格點數為 523(

  x 0.18

)，跨流線方向為 83( )。如附錄(一)所示，在格點選取上，先以格點數 343*43 測試發現，格點數過少無法模擬出流場中渦漩情形。再以較高之格點數 743*103 測試，其結果顯示與523*83 之格點數並無太大差異，為節省計算時間故使用 523*83 之格點數。而進一步分析則發現，存在一相關的參考值，使得若將格點大小乘以一值 K，則初始動量厚度亦增為現值之 K 倍，亦即在此系統內，所有的長度尺度將成為現值的K 倍，但我們所模擬之基本頻率值，將減少成為現值的 1/K 倍。

因此所得到的計算結果亦可模擬當流場長度為任意長度時的結果。本次模擬討論數值如表（4-1）所示。

0.12

 

y

藉由瞬間之流場圖形，我們能初步了解剪切混合層的發展情形。為了確定程式之穩定性，先與韋立興[17]之數值模擬做一測試比較，分析其應力結果與之相符，如附錄(二)。

4-2 數值模擬結果

兩個速度不同下的混合剪切流，在分離板尾端離開板面，在初始狀況下基本上為藉由具線性增幅的Kelvin-Helmoltz 不穩定性機制產生二度空間微小擾動量，使分離板尾端下游的翼展渦漩捲起，這時主要是兩度空間性質，這種主要受兩度空間性所控制的大捲浪能傳送流體的質量及動量。

翼展方向渦漩



_z其數學示表示方法為 _z

V U

x y



^ ^

  （3-19）

圖（4-1）至圖（4-4）即為次音速流場在相同密度比值為0.64，而速度比值為0.55但主流場(U1=0.8M，U1=0.5M)於速度不同狀況下，自然性剪切混合層的瞬間等密度及等渦漩線圖，由圖中可觀察到，流場之渦漩厚度會隨著對流馬赫數增加而降低。

從圖（4-5）至圖（4-10）為一系列超音速流場在不同密度比值不同速度比值之狀況下，自然性剪切混合層的瞬間渦漩場其成對作用之情形。圖（4-11）至圖（4-18）為一系列在密度比值 0.64、1.55 速度比值 0.35、0.57 不同時間下的渦漩變化圖。圖中觀察得知幾個特徵現象﹔這些圖清楚的顯現了兩個鄰近渦漩核之中心所作的連線，與水平面成 135 度時，成對現象開始發生，而此連線與水平面成45 度時，表示這兩個鄰近渦漩已完成捲入（Catch Up）過程。根據文獻，

成對現象的發生，應是抑制剪切混合層呈現三度空間性發展的主要原因。在經過兩鄰近渦漩間相互吞沒及混合的交互作用之後，一個新成形的大渦漩，以一定速度向下游行進，而此速度為兩自由流的平均速度。紊流場中的大尺度渦漩主導了流場的物理性質。這種渦漩的融混合併過程，相關的研究中發現成對的渦漩核心會產生小尺度的擾動。由圖（4-19）至圖（4-24）的二度空間超音速流場密度圖也可以觀察出，不論對時間或空間而言，均為隨機發生，而且有不斷重複的物理現象。而這種渦漩的融混合併過，認為是剪切混合層線性生長的原因。在兩鄰近渦漩間的空間間隔及渦漩的尺寸大小隨著流線方向的增長而增大。而鄰近渦漩間的平均空間間隔近似於0.3x，此結果與實驗分析相符[18,19]。

由這些圖亦可以發現，剪切混合層的中心線，朝速度值較低之流動流體的方向偏移，這證實了由速度值較高的一方進入混合區域中的流體粒子，要比由速度較低的一方進入混合區域中的流體粒子為多。一般而言，最大的渦漩無法進入混合層中，因此取而代之的是小尺度的渦漩，且渦漩產生擾動且合併之後，流場的

頻率會上升，能量被帶到低速流的區域中。

圖（4-25）至圖（4-27）比較相同密度比值等於1.55，不同速度比值下分別為 0.8、0.43及0.57之自然剪切混合層其等密度線圖。觀察發現速度比值越大，則剪切混合層動量厚度增長率越小，其達到完全發展區域所需之距離亦越長。此結果亦可由圖（4-28）至圖（4-30）之等渦漩圖中觀察到。

剪切混合層的成長率，同時受到速度比值及密度比值兩者的影響。固定速度比值等於0.35，將密度比值分別選定為1、0.5及0.64三者來分析，不同密度比值下之等密度及等渦漩線圖的情形做一比較，如圖（4-31）至圖（4-36），當構成混合流的兩流體具有相同動量時，其剪切混合層之成長率將最大，就物理觀點而言，是十分合理的。

當討論剪切混合層其局部厚度的成長時我們知道，低速度比的空間性成長率較高速度比為快，而混合層的成長率主要係受渦漩的混合以及自由流流體粒子其被捲入混合層的數量所控制。

圖（4-37）為在不同之速度比值下，剪切混合層其無因次局部厚度

 

_c^'/ ^'與對流馬赫數Mc的關係，在此先定義對流馬赫數的關係式為

1 2

1 2 2 1

1 2

c c

U U U U

M c c

U c U c

U c c

 

 

 



（4-1）

M 的最早定義源自於Papamoschou在他的超音速混合層研究中所討論到

的，基本上是考慮可壓縮性在超音速流場下之影響，他同時發現到在超音速情況下對流馬赫數與渦漩厚度呈現反比關係，同時翼展渦漩帶狀區域內的鞍點

（Saddle Point）上兩流體全壓相同。選擇

M 討論的另一項原因是因為在紊流場

_c 中除了紊流的成長率與對流馬赫數存在著函數關係之外，對流馬赫數的增減也與

紊流強度有關，一般而言，若對流馬赫數增加則紊流強度下降。

對無因次平均流線方向速度



_u( , )

x y

定義為

1 2

( , )

u U x y U U



 ^

 （4-2）

則在一平均流線方向速度

u x y 可表示成一數學關係式如下：

( , )

( , ) _u( , ) 2

u x y



 x y

 

U U

（4-3）

令

y

_0.99 為

u

0.99  

U U

₂ 之情形下之跨流線方向位置，而

y

_0.01 為 0.01 2

u

  U U  之情形下之跨流線方向位置。剪切混合層其局部厚度

 (x)定義如下﹕

0.99 0.01

( )

x y y



  （4-4）

利用此一關係式，將使在分離板下游之每一流線方向位置x其剪切混合層厚度能被求得。

定義一相似座標



，其關係式如下；

y x x







（4-5）

將其與無因次平均流線方向速度作一關係圖，如圖（4-38）至圖（4-41）分別為

對不同對流馬赫數結果。分析顯示，剪切混合層在完全發展區域中，具自我相似性，在流場下游處的自我相似性比流場上游處好，這是因為在流場中間區域不穩定性較強。觀察這些平均流線速度曲線圖的外形，它們並非完全對稱，此點與前樹脂等渦漩線圖所表現之現象符合。亦即，剪切混合成侵入低速區域較多。而速度比值越大，平均流線速度曲線的外形將越窄。

圖 (4-42)為超音速情況下之等壓力及等密度線圖，兩流體速度分別為1.91馬赫及1.36馬赫，對流馬赫數為0.45。(A)圖為密度圖，(B)圖均為相同的壓力圖。

圖(A)中顏色較深的區域為低密度區，而高密度區則介於兩渦漩的帶狀區域。這驗證了Papamoschou 說明了帶狀區內全壓相同且壓力值高因此密度較大。觀察 (B)圖時，同樣的顏色較深的區域為低壓區，帶狀區域內為高壓區，一般而言，

渦漩所在位置為低壓區及低密度區，此外，流場內並無震波現象發生[20]，可能與渦漩所在位置、速度大小、速度比及密度比值有關。

在完全發展(Fully Developed)區域中，對平均流線方向速度及均方根速度擾動等流體力學上之變數而言，我們利用統計方法分析。圖（4-43）至圖（4-46）

為對

u

^'² 、

v

^'²與

u v 繪製其外形輪廓。

^{' '}

u

^'²與

v

^'² 為雷諾正向應力(Reynolds Normal Stress)，

u v 為雷諾剪應力(Reynolds Shear Stress)，依時間平均(Time Average)的

^{' '} 形式可分別表示如下：

2 ' 0^T(

u U

)

dt

u T





 （4-6）

2 ' 0^T(

v V

)

dt

v T





 （4-7）

' ' 0^T(

u U v V dt

)( )

u v T

 





_（4-8）

其中T為一統計時間，U 為在此統計時間內對時間作平均之流線方向速度，V 為在此統計時間內對時間作平均之跨流線方向速度。

在數值模擬中，我們求得結果真正所使用的是相似平均(Ensemble Average) 的關係，即

' 1

( )

N n n

u U

u N









（4-9）

' 1

( )

N n n

v V

v N









（4-10）

' ' 1

( )(

n n

u U v V

u v N



 





⁾

（4-11）

其中N為數值模擬中的疊代次數，統計時間

T   N t

，因為每一個時間間隔其值甚小且幾乎相等，故利用近似平均的方法所求之值，在理論上應與由時間平均法所得之結果差異不大。

 t

兩流體之混合情況良好，特別是渦漩成對的情況下渦漩排成一列往下流對流時，由於擾動的影響，使靜止的流體變的較活躍，而使其周圍流場之流線方向速度的活動性增加了並且捲入渦漩之中，造成流線方向速度擾動

u 其分佈曲線較

^'² 獨特的峰波現象。

在

u v ' '

此一雷諾主剪應力的情形中，如同紊流動能(Turbulent Kinetic Energy) 生負值，混合層中，雷諾剪應力存在負值，當渦漩其成對作用受到抑制時，負值的雷諾剪應力出現，同時，負的雷諾剪應力代表著動量傳輸是逆向梯度，這時能量將由微擾區域進入平均主流場區域，若是正的雷諾剪應力表示能量由平均流場進入擾動區域。

由圖（4-43）至圖（4-46）中的流線方向與跨流線方向的速度擾動圖中，發現流場中的自我相似特性較差。此外，在流線方向速度擾動圖中，發現到越往流場下游則速度擾動值越低。Samimy 在超音速實驗中發現流場位置在完全發展區時，則流線方向最大紊流強度比起非完全發展區的最大強度會下降。此外，超音速與次音速在紊流強度方面也會有所不同。這是因為超音速流廠調減下的可壓縮性(Compressibility)所造成。

在文檔中中華大學 (頁 47-54)