結語

第二章 理論

本章節將介紹此次實驗所運用的相關理論，而本實驗膨脹測試法 所使用的加壓系統與光學測量系統，分別對應著不同相關的理論：加 壓系統所對應的是膨脹方程式理論，而光學測量系統所對應的是電子 光斑影像干涉術與相移術的理論。在 2.1 節先簡略介紹量測膜片機械 性質的相關技術，並由當中選用膨脹測試法作為本實驗的研究方式，

而 2.2 節至 2.4 節則進一步說明本實驗之膨脹測試法中的相關理論。

在 2.2 節介紹的是膨脹測試法中膨脹方程式的修正歷程，其中 2.2.1 節介紹最早由 Beams[17]所提出之未考慮邊緣效應的膨脹方程 式；2.2.2 節則介紹 Timoshenko[20]的最小能量法所推導之受均勻負載 圓板的大變形近似方程式；2.2.3 節再介紹由 Lin[21]利用最小能量法 所推導之薄膜(Thin Film)膨脹方程式。

2.3 節所介紹的是膨脹測試法中電子光斑影像干涉術的理論，而 其又分作面內(In-plane)量測與面外(Out-of-plane)量測的理論，此節與 本實驗所介紹和使用的是面外(Out-of-plane)量測。

2.4 節則說明本實驗之膨脹測試法中，相移術應用在電子光斑影 像干涉術的方式與理論。

2.1 量測膜片機械性質的技術

對於微米級、奈米級膜片的研究正被廣泛地討論著，因此有許多 測 量 膜 片 機 械 性 質 的 方 法 被 提 出 。 在 此 將 介 紹 奈 米 壓 痕 法 (Nanoindentation Test)、微懸臂樑測試(Micro Cantilever Beam Test)、

微拉伸試驗(Micro Tensile Test)與膨脹測試法(Bugle Test) [16]。

2.1.1 奈米壓痕法(Nanoindentation Test)

主要是利用奈米壓痕試驗機，將僅數個奈米大小的壓頭尖端壓入 薄膜試片，使其產生永久變形的壓痕，而奈米壓頭同時也會產生彈性 與塑性變形，藉由位移與負載的關係求出膜片的機械性質。

圖 2.1 奈米壓痕局部特寫

由於奈米壓痕法較為精確且應用廣泛，所以當施加較小的負載，

可使得薄膜產生彈性變形；施加變動的負載，可量測連續性的剛性；

壓頭對薄膜施加負載時，可量測壓頭和薄膜之間的摩擦力，找出薄膜 的摩擦係數，也可量測薄膜的硬度。主要的缺點在於奈米壓痕機施加

淺壓痕時，形狀函數容易發散難收斂，且奈米壓痕機儀器昂貴。

2.1.2 微懸臂樑測試(Micro Cantilever Beam Test)

微懸臂樑是利用微製程技術所製作出的，如圖 2.2 所示。利用聲 波、磁力場、靜電力負載或是壓電式換能器等方式可驅動微懸臂樑，

使其產生週期性運動，再使用光學測量方法，量測微懸臂樑的動態響 應；而計算出來的共振頻率配合幾何尺寸，可求得微懸臂樑試片的機 械性質。這種利用振動獲得膜片機械性質的方法，具有高靈敏度和高 解析度的優點，但是會因為激發方式的不同，除了造成實驗結果的差 異外，還可能因為空氣耦合效應和空氣阻尼效應等因素，使得薄膜產 生溫度而影響實驗結果。

此外，懸臂樑除了應用振動，還可利用可移動式探針在懸臂樑試 片的自由端施加負載，然後量測不同負載下試片的位移量，找出試片 產生塑性變形時所需要的負載，而產生斷裂時的負載，則可求出試片 的降伏強度和破裂強度，此方法稱為彎曲測試法。但此方法容易因為 試片表面不夠平滑，使得探針所施加的負載不均勻，影響實驗的結 果。因此亦可使用 AFM 或奈米壓痕機，利用奈米級壓頭對微懸臂樑 施加集中力負載，量測位移與負載的關係找出膜片機械性質。

圖 2.2 微懸臂樑

2.1.3 微拉伸試驗(Micro Tensile Test)

以傳統拉伸試驗的原理為基礎，而設計出可拉伸毫米級甚至奈米 級膜片的特殊微拉伸試驗機。利用微拉伸試驗機對毫米級或奈米級試 片施加均勻的軸向負載，可直接量測到薄膜試片的應力與應變關係 圖，得到試片的機械性質。

雖然微拉伸試驗的理論解析完整，並可以直接地量測出膜片的機 械性質，但是試片機械性質容易受到製程影響，所以試片製作不容 易；而且試片的夾具不容易穩定，在夾具固定時，試片上所造成的預 應力和摩擦力將會影響實驗結果，更可能因為夾具的偏斜，使得試片 所受到的負載並非是完全的單軸向拉力。

2.3 微拉伸試驗

2.1.4 膨脹測試法(Bugle Test)

膨脹測試法，過去因為懸浮薄膜的製程繁複，而且精度不夠使得 此方法發展有限。但隨著微製程技術的進步，方形的甚至是圓形的懸 浮薄膜，都比過去更容易被製作出來且具有一定水準的精確度。膨脹 測試法主要的量測方法是對懸浮的薄膜試片施加均勻的壓力負載，使 其產生膨脹鼓起的面外變形，再藉由具有光學全域性、非接觸性和高 精度等優點的干涉儀就可測量出薄膜的出平面位移量。經由測量出來 的位移量和施加的氣壓壓力兩者間的關係，可求出薄膜的雙軸函數和 殘留應力；若波松比已知，則可求出薄膜的楊氏模數。

2.2 膨脹方程式之修正歷程

此節將介紹膨脹測試法(Bugle Test)中所使用的膨脹方程式，並把 其修正的過程及各個膨脹方程式中的理論推導做詳細的敘述。

2.2.1 Beams 之膨脹方程式

Beams[17]是最早開始提出膨脹測試法來測量膜片的機械性質。當 圓形膜片受一均勻面壓力時，會均勻且對稱的膨脹。Beams[17]將膜 片膨脹後的幾何形狀假設為一空心薄球殼之一部份（如圖 2.5 所 示），並考慮膜片內部為等雙軸應力(Equi-biaxial stress)σ 與等雙軸應 變(Equi-biaxial strain)ε_r =ε_θ。

圖 2.5 膜片受均勻面壓力而膨脹，形狀假設為球殼的一部分

圖 2.6 膜片受均勻面壓力的情形

由圖 2.6 得知均勻面壓力(P)與膜片內力(F)的關係，考慮出平面方向

（Z 軸方向）合力等於零，可寫出力平衡方程式為：

0

2 − sin =

∑

^Fz =^{Pπa F θ (2-1)}

而公式(2-1)又可寫成：

R t a a a

P⋅π ² =σ⋅2π ⋅ ⋅ (2-2)

其中 P 為均勻面壓力，a 為膜片半徑，σ 為等雙軸應力，t 為膜片厚 度，R 為膨脹後膜片外型的曲率半徑。

因此由公式(2-1)可以解得應力(σ)與壓力(P)的關係：

t PR

= 2

σ (2-3)

由圖 2.6 可以利用畢氏定理(Pythagorean Theorem)，得到膜片的半 徑(a)與膨脹高度(h)之間的關係式：

(

R−h

)

² +a² =R² ∴

2 2

2 h

h

R = a + (2-4)

又因為膜片膨脹後的高度相對於膜片的半徑而言非常小(a>>h)，所以 可將公式(2-4)改寫成：

h R a

2

2

≈ (2-5)

將公式(2-5)代入公式(2-3)中可得到：

ht

再將公式(2-8)與公式(2-5)依序代入公式(2-12)解得：

2

將公式(2-6)和(2-13)代入公式(2-14)可整理得：

4

雖然 Beams[17]最初設定膜片是線彈性材料，但實際上壓力和膜片變 形之間的關係是非線性的。原因是膜片之應變被控制在出平面方向的

然後將公式(2-6)和公式(2-16)代入公式(2-14)可解得膨脹方程式為：

4

Beams[17]依據球殼理論所推導的膨脹方程式中，是將膜片設定為 一懸浮薄膜，而其所承受的是均勻面壓力並因此均勻對稱地膨脹，且 膜片的應力應變都是等雙軸(Equi-Biaxial)的型態，當中並未考慮懸浮 薄膜邊緣的效應。

圖 2.7 膨脹懸浮膜片的邊緣效應

但事實上懸浮薄膜受壓膨脹時，其邊緣處會受到基材的限制。因 此靠近邊緣部份的薄膜沒有橫向應變，所以懸浮薄膜在靠近中心部份 的應變為等雙軸應變(ε_r =ε_θ)，而靠近在邊緣附近的應變為平面應變 (Plane Strain)(ε_θ =0)(如圖 2-7 所示)，其中等雙軸應變與平面應變的模 數分別為1−ν

E 和 ₂

1−ν E 。

因為 Beams[17]依照球殼理論使用等雙軸膜數，沒考慮膜片邊緣 的效應，所以 Beams[17]所推導的膨脹方程式高估了懸浮薄膜的強 度，而使其最後計算出的膜片強度會高於實際數值[19]。

2.2.2 Timoshenko 之受均勻負載圓板的大變形近似方程式

Timoshenko[20]曾討論一個邊緣被夾緊(Clamped Edges)的圓形板 材 (Circular Plate) ， 其 受 到 均 勻 分 布 的 負 載 所 產 生 的 變 形 。 Timoshenko[20]利用最小能量法來考量，當圓板受均勻負載後變形達 到穩定狀態時，總應變能(Total Strain Energy)會是最小值，並借此來 計算圓板中心的位移高度。

而 Timoshenko[20]滿足邊界條件，設定邊緣被固定且受均佈負載的圓 形板材，其在線彈性變形範圍內的形狀變形函數為：

2 2

1 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

= a

h r

w (2-18)

其中 h 為高度的位移，當 r = 0 時，此高度等於圓形板材中心的膨脹 高度，a 為半徑。公式(2-18)考慮到彎矩的影響而且在小位移情況下 這個形狀函數是適合的。

徑度方向的位移函數可表示為：

(

−

) (

1 + 2 + 3 ² +^...

)

=r r a C C r C r

u (2-19)

其中，C₁、C₂、C₃為任意常數，公式(2-19)在圓形板材的中心位置r =0

與圓形板材邊緣位置r =a的徑向位移(u)等於零，滿足邊界條件。

徑向應變(Radial strain)與切線方向應變(Circumferential Strain)可表示

為：

依據虎克定律(Hooke’s Law)，可將每單位長度在徑向方向的總力 (N_r)與每單位長度在圓周切線方向的總力(N_θ)改寫為：

∫ ∫

其中第一部份為彎矩(Bending)所造成的應變能(V_Bending )，公式中的

(

²

)

3

1 12 −ν

= Et

D ，第二部份為圓形板材中間部分延伸(Stretching)所造成的

應變能(V_Stretching)。

因此，圓形板材的總應變能可表示成：

Stretching

Bending V

V

V = + (2-25)

接著將公式(2-22)、(2-23)代入公式(2-24)，並整理得到總應變能：

( )

^{r dr}

0047764 .

材的總應變能取一階偏微分等於零：

將公式(2-18)代入公式(2-30)，可展開成：

∫

^⎜⎜_⎝^{⎛ − ⎟⎟}_⎠^⎞

2.2.3 Lin 之膨脹方程式

本 實 驗 所 使 用 的 是 Lin[21] 的 膨 脹 方 程 式 。 當 初 Lin 依 照 Timoshenko[20]的理論，也使用最小能量法與虛功原理分析受壓力的 圓形懸浮膜片，並將其分成兩種型態的單層模型來討論：薄膜片模型 與厚膜片模型。

而藉由膜片變形來分析其機械性質的方式中，Lin 做了幾項假設：

第一，膜片是受到一個均勻面壓力而產生變形。

第二，當膜片變形時，膜片的邊緣是沒有位移的；也就是說膜片與基 材的黏接處沒有剝離現象。

第三，所有膜片在製造方式上所產生的殘留應力為定值，並均勻地遍 佈在膜片中。

第四，膜片變形是在線彈性範圍內。

2.2.3.1 薄膜片模型之膨脹方程式

Lin 將厚度與長度之比例為 0.01 以下的定義為薄膜片模型。在此 設定下，變形薄膜片的彎矩能是被忽略的。

Lin 假定半徑為 a 的圓形膜片，其邊緣被固定住並被施加一個均 勻負載(P)之壓力的狀況下，膜片變形表面的形狀用半球函數來表示 為：

) ( )

(R² r² R h

w= − − − (2-33)

其中 w 是膜片垂直方向的變形函數，R 是變形膜片的曲率半徑，r 是 膜片中心至邊緣的位置函數，h 是膜片中心的位移高度。

圖 2.9 圓形薄膜片模型

上式以泰勒級數展開成：

) ( 8 ...)

1 2

( ₄

4 2 2

h R R

r R R r

w= − − − − (2-34)

取第一個括號裡前兩項並將公式(2-4)代入上式得：

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

2

1 a h r

w (2-35)

而從膜片中心至邊緣，即徑度方向的位移函數可表示 為：

(

−

) (

1+ 2 + 3 ² +^...

)

=r a r k k r k r

u (2-36)

其中，k₁、k₂、k₃等為任意常數，公式(2-36)在膜片的中心位置和邊

緣的徑向位移(u)等於零，滿足邊界條件。而將公式(2-36)簡化成：

由於受均勻壓力而變形的薄膜片忽略彎矩應變能，所以受一均勻 壓力的膜片總應變能(V)等於薄膜延伸應變能(V_Stretching)(Strain Energy of Stretching)：

⁼

_∫ (

⁺

)

^{⋅ ⋅ ⋅}

將公式(2-42)到公式(2-41)代入公式(2-44)中，則總應變能可改寫為：

⁼ ₋

∫ (

^{+ +}

)

^{⋅ ⋅ +}

∫ (

⁺

)

^{⋅ ⋅}

0

將公式(2-54)代入公式(2-53)可得：

2

將 V 代入公式(2-55)，即可得到均勻面壓力(P)與薄膜片中心的位移高

將 V 代入公式(2-55)，即可得到均勻面壓力(P)與薄膜片中心的位移高

在文檔中 液晶顯示器光學膜片之機械性質量測 (頁 26-83)