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IV. 結 語
相 信 大 家 現 在 對 於 矩 陣 與 圖 像 處 理 之 間 的 關 係 會 有 更 深 入 的 認 識 。 正 如 上 文 所 提 及 的 ， 現 今 科 技 發 達 ， 我 們 可 以 假 手 電 腦 自 動 化 完 成 有 關 工 作 ， 這 樣 我 們 為 什 麼 要 學 數 學 呢 ？ 為 何 不 假 手 於 一 部 超 級 電 腦 呢 ？ 試 想 想 ， 當 我 們 解 決 這 條 二 次 方 程 ︰
0 252 78
6x2− x+ = 時 ， 我 們 知 道 可 以 這 樣 求 解 ：
6 6 2
252 6 4 78 78 2
× =
−
= ± ( )( )
x 或7
但 究 竟 是 誰 找 出 答 案 呢 ？ 電 腦、紙 筆、抑 或 是 我 們 的 腦 袋 呢 ？ 當 然 是 我 們 的 腦 袋 ， 試 問 沒 有 我 們 利 用 數 學 先 把 問 題 解 決 ， 再 將 對 應 的 規 則 系 統 轉 化 成 電 腦 程 式 ， 電 腦 又 怎 樣 懂 得 為 我 們 解 決 這 條 二 次 方 程 呢 ？
上 文 曾 經 提 及 圖 像 蘊 藏 着 豐 富 的 內 容 ， 我 們 要 用 相 當 多 的 記 憶 體 才 能 把 它 儲 存 起 來 ， 因 此 我 們 在 計 算 一 幅 圖 像 A 的 逆 矩 陣 時 ， 若 果 只 利 用 高 中 時 所 學 的 數 學 和 家 中 那 部 1GHz 的 個 人 電 腦，我 們 需 要 100 年 的 時 間 才 能 把 A−1計 算 出 來，即 使 我 們 使 用 全 球 現 時 最 快 的 超 級 電 腦 ， 仍 需 要 數 個 月 才 能 完 成 。 雖 然 科 技 日 新 月 異，但 根 據 摩 斯 定 理12，以 電 腦 硬 件 每 十 八 個
12 摩斯定理 (摩斯定律) (Moore’s Law)
此定律是由英特爾(Intel)其中一創始人戈登·摩爾(Gordon Moore)提出的。摩斯 定律說明：集成電路上可容納的電晶體數目，約每18 個月便會增加一倍，性 能也將提升一倍，而價格下降一半；後來 ，這一定律揭示了信息技術進步的 速度，並經常以十八個月作為檢討及修訂高科技產業發展速度的時限。
月 增 長 一 倍 的 速 度 來 計 算，我 們 可 以 在 2050 年 用 1 秒 的 時 間 把 A−1計 算 出 來，但 這 確 是 一 件 很 遙 遠 的 事 情 啊 ！ 幸 好，若 我 們 學 好 數 學 ， 便 懂 得 利 用 數 學 開 發 一 些 更 快 的 規 則 系 統 來 計 算 A−1。
由 此 可 見 ， 數 學 的 發 展 對 人 類 的 貢 獻 良 多 ， 大 家 可 能 會 問 經 過 這 麼 多 年 的 發 展 ， 還 有 什 麼 數 學 問 題 有 待 我 們 去 解 決 呢 ？ 其 實，現 今 的 社 會 訊 息 萬 變，而 大 自 然 的 奧 秘 更 是 千 變 萬 化 ， 有 很 多 不 同 的 問 題 等 待 着 我 們 利 用 數 學 來 解 決 ， 例 如 ： 上 文 我 們 曾 經 利 用 過 中 位 數 濾 子 來 去 噪 ， 但 大 家 有 否 留 意 到 經 過 兩 次 中 位 數 濾 子 去 噪 後 ， 雖 然 圖 像 上 大 部 分 的 雜 訊 都 已 經 被 去 掉 了 ， 但 是 圖 像 變 得 有 點 模 糊 ， 如 遠 處 的 高 樓 大 廈 已 經 變 得 有 點 朦 朧 （ 下 頁 左 圖 ） 。 這 時 ， 我 們 需 要 其 他 數 學 工 具 來 修 復 這 幅 模 糊 影 像 ， 使 其 變 得 較 為 清 晰 （ 下 頁 右 圖 ） 。
故 此 我 們 在 研 發 新 的 除 噪 方 法 時 ， 需 要 平 衡 除 噪 與 模 糊 之 間 的 利 弊。最 近，我 們 研 發 出 二 階 段 法13，結 合 了 適 應 性 中 位 數 濾 子14和 變 分 法15的 新 除 噪 方 法 ， 使 修 復 出 來 的 影 像 不 會 變 得 模 糊 不 清，想 對 我 們 的 方 法 作 進 一 步 的 了 解，歡 迎 參 閱 (with C.W. Ho and M. Nikolova) Salt-and-Pepper Noise Removal by
13 二階段法 (Two-Phase Method)
14 適應性中位數濾子 (Adaptive Median Filter)
15 變分法 (Variational Method)
‧18‧
Median-type Noise Detectors and Detail-preserving Regularization, IEEE Transactions Image Processing, 14 (2005), pp. 1479-1485。
其 他 應 用 的 例 子 還 有 很 多 ， 研 究 範 疇 包 括 ： 透 過 圖 像 處 理[5]
去 除 圖 像 上 的 文 字 或 花 紋 。
在 天 文 學 上 ， 使 用 紅 外 線 攝 像 機 所 拍 下 的 搖 曳 不 清 天 文 圖 像
（ 下 左 圖 ） ， 也 可 以 透 過 解 決 矩 陣 方 程[6]， 修 復 成 有 用 的 天 文 數 據 。
在 日 常 生 活 中 ， 相 信 大 家 都 會 察 覺 到 時 下 的 數 碼 相 機 越 來 越 纖 薄 ， 但 大 家 有 否 想 到 為 什 麼 不 需 要 使 用 長 焦 距 的 鏡 片 ， 也 可 以 拍 攝 出 高 解 像 度 的 圖 像 呢 ？ 其 概 念[7] 是 利 用 多 個 細 小 的 鏡 片 ， 像 複 眼 般 ， 而 並 非 只 用 單 一 鏡 片 來 拍 攝 影 像 ， 然 後 將 拍 攝 下 來 的 圖 像 ， 透 過 圖 像 處 理 ， 重 整 成 一 幅 高 解 像 度 的 圖 像 。
超 薄 的 圖 像 訊 息 收 錄 卡
以 下 為 另 一 實 例[8]， 左 面 是 其 中 一 幅 利 用 細 小 鏡 頭 拍 攝 下 來 的 低 解 像 度 圖 片 ， 而 右 面 則 是 一 幅 經 圖 像 處 理 重 整 後 的 高 解 像 度 圖 像 。
最 後 ， 為 大 家 介 紹 的 研 究 是 如 何 提 高 錄 像 的 品 質 ， 我 們 抽 取 錄 像 中 的 一 幅 圖 像 為 例 （ 下 左 圖 ） ， 可 見 經 過 圖 像 處 理 後 ， 書 脊 上 模 糊 不 清 的 文 字 變 得 清 晰 。
修 復 前
修 復 後
‧20‧
我 們 知 道 錄 像 是 由 多 幅 連 續 拍 攝 的 圖 像 所 組 成 ， 以 每 秒30張 圖 像 的 速 度 錄 下 ， 讓 我 們 看 起 來 是 一 個 個 連 貫 的 畫 面 。 但 我 們 若 要 看 清 楚 畫 面 上 某 本 書 書 脊 上 的 文 字 時 ， 會 發 現 圖 像 可 能 有 點 模 糊 不 清 ， 現 在 我 們 想 看 清 楚 畫 面 上 那 本 黃 色 書 書 脊 上 的 數 字 是 多 少 ， 該 怎 麼 辦 ？ 這 時 我 們 可 先 選 定 出 一 格 參 考 圖 像 ， 再 連 同 往 後 數 格 圖 像 ， 透 過 一 些 數 學 工 具 ， 如 雙 線 性 插 值 或 最 近 研 發 的Tight Frame Method [9]等 ， 使 圖 像 變 得 清 晰 。
參 考 圖 像
讓 我 們 看 看 經 修 復 後 的 圖 像 ， 現 在 大 家 能 夠 清 楚 地 看 見 書 脊 上 的 數 字 。
時 間
時間
雙 線 性 插 值 Tight Frame Method
相 信 現 在 大 家 對 數 學 與 圖 像 處 理 之 間 的 微 妙 關 係 有 了 一 定 程 度 的 認 識 ， 若 果 大 家 想 對 相 關 的 研 究 作 進 一 步 的 了 解 ， 歡 迎 大 家 瀏 覽 本 人 的 網 頁 ：http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ 。 大 家 也 可 以 在 搜 尋 引 擎 中 ， 輸 入 ’Raymond Chan’， 查 詢 本 人 的 網 址 。
‧22‧
參考文獻／出處：
[1] Image from HKEDCITY (Nov 2006).
[2] Map downloaded from Google Maps.
[3] R. Chan, M.K. Ng and R.J. Plemmons, Generalization of Strang's Preconditioner with Applications to Toeplitz Least Squares Problems, Numerical Linear Algebra Applications 3 (1996), pp.45-64.
[4] Amey Dilip Purandare, http://www.geocities.com/ee00224/btp2.html.
[5] R. Chan, L.X. Shen and Z.W. Shen, A Framelet-Based Approach for Image Inpainting, CUHK Math. Dept. Research Report #2005-04.
[6] R. Chan, L.X. Shen and Z.W. Shen, Restoring Chopped and Nodded Images by Tight Frames, Proceedings to the SPIE Symposium on Advanced Signal Processing: Algorithms, Architectures, and Implementations, Volume 5205, pp. 310-319, San Diego CA, August 2003, Ed: F. Luk.
[7] Y. Kitamura, R. Shogenji, K. Yamada, et al., Reconstruction of a high-resolution image on a compound-eye image-capturing system, Applied Optics 43 (2004), pp.1719-1727.
[8] Image of Barbara.
[9] R. Chan, Z. Shen and T. Xia, Resolution Enhancement for Video Clips: Tight Frame Approach, Proceedings of IEEE International Conference on Advanced Video and Signal-Based Surveillance, pp.
406-410, Como, Italy, Sept. 2005.
數 學 百 子 櫃 系 列 作 者
（ 一 ） 漫 談 數 學 學 與 教 － 新 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分 張 家 麟 、 黃 毅 英 、 韓 藝 詩
（ 二 ） 漫 談 數 學 學 與 教 － 新 高 中 數 學 課 程 延 伸 部 分 單 元 一
（ 即 將 出 版 ）
韓 藝 詩 、 黃 毅 英 、 張 家 麟
（ 三 ） 漫 談 數 學 學 與 教 － 新 高 中 數 學 課 程 延 伸 部 分 單 元 二
（ 即 將 出 版 ）
黃 毅 英 、 張 家 麟 、 韓 藝 詩
（ 四 ） 談 天 說 地 話 數 學 梁 子 傑
（ 五 ） 數 學 的 應 用 ： 圖 像 處 理 － 矩 陣 世 紀 陳 漢 夫
（ 六 ） 數 學 的 應 用 ： 投 資 組 合 及 市 場 效 率 楊 良 河
（ 七 ） 數 學 的 應 用 ： 基 因 及 蛋 白 的 分 析
（ 即 將 出 版 ）
徐 國 榮