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7. 結論
當求最大概似估計有困難時，使用最大擬概似估計是一種替代的方案，我們 對二元指數族中的一些常見例子，探討其參數之最大概似估計與最大擬概似估計 間的異同。在卜瓦松-二項分配、三項分配與二元常態分配的情況下，推導參數 的 MLE 與 MPLE，發現它們皆是相同的。一般來說，MPLE 的推導較 MLE 來得 困難許多。對一般的二元指數族，我們也推導出參數的擬概似方程式。
至於
2 2
列聯表的部分，我們考慮三種情況，在各種情況下分別去推導 MLE與 MPLE，當中兩種情況(5.1 節與 5.2 節)的 MLE 與 MPLE 是相同的，而第三種 情況(亦即方格內參數分別為
1、2
2、
2，見 5.3 節)下，因為擬概似方程式較 為複雜，無法以公式呈現出 MPLE (除非樣本觀察值與對應方格內參數成比例)，故 針 對此第 三 種情況 ， 設計程 式 以模擬 觀 察值的 方 式求出
(
1,
2)
的 MLE ˆ )ˆ,
(
1
2 與 MPLE ~ )~,
(
1
2 ，並分別計算出 MLE 與 MPLE 的 MSE。當固定
1(
1 在 0.1 至 0.4)，
2在允許範圍內 )3 0 1
(
2
1 由小變大的情形下，觀察發現 ˆ )ˆ ,
(
1
2 的均方差MSE((
ˆ1,
ˆ2))與 ~ )~,
(
1
2 的均方差 ~ ))~, ((
MSE
1
2 皆會先變大再 變小，且在
2
0.16附近時，MSE((
ˆ1,
ˆ2))與 ~ ))~, ((
MSE
1
2 同時有極大值發生。而固定
1(
1在 0.5 至 0.9)，
2在允許範圍內 ) 3 0 1(
2
1 由小變大的情形下，觀察發現(
ˆ1 ,
ˆ2)的均方差MSE((
ˆ1,
ˆ2))與 ~ )~,
(
1
2 的均方差 ~ ))~, ((
MSE
1
2 皆慢慢變大。雖然無法求出 ~ )
~,
(
1
2 的公式解，以致於無法直接解釋上述 ~ ))~, ((
MSE
1
2 的變化行為，然而透過分析
ˆ2的變異數，我們可以解釋上述MSE((
ˆ1,
ˆ2))的變 化行為。透過分別建立(
ˆ1,
ˆ2)和 ~ )~,
(
1
2 的信賴區間，我們進一步發現兩者並無‧ 國
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交集，故 MLE 與 MPLE 之間存在差異，但 MLE、MPLE 與真正參數值的相對誤
差皆很小，進一步顯示這兩者與真正參數值皆很接近，故前述 ~ ))
~, ((
MSE
1
2 與 ˆ ))ˆ, ((
MSE
1
2 有相同變化行為是合理的。根據本研究之理論推導與模擬分析，以 MPLE 來取代 MLE 是合理可行的。
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參考文獻
Arnold, B. C. and Press, S. J. (1989). “Compatible Conditional Distributions.”
Journal of the American Statistical Association 84(405): 152-156.
Arnold, B. C. and Strauss, D. (1991). “Pseudolikelihood Estimation: Some Examples.”
Journal of the Indian Journal of Statistics 53(2): 233-243.
Bickel, P. J. and Doksum, K. A. (1977). “Mathematical Statistics：basic ideas and selected topics.” San Francisco: Holden-Day.
Strauss, D. and Ikeda. M. (1990). “Pseudolikelihood Estimation for Social Networks.”
Journal of the American Association 85(409):204-212.
郭名展(2014)，
2 2
列聯表模型下 MLE 與 MPLE 之比較，國立政治大學應用數 學系碩士論文。‧ 國
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附錄 附表
附錄 1
MPLEmethod.m 程式碼 第一部分：
clc clear all syms x y
W=eval(['load(''D:\asd100.mat'')']);
data = W.data;
clear W aaa=0;
for b1=88:97 b1
for b2=1:(98-b1) disp(b2)
for b3=1:(99-b1-b2) b4=100-b1-b2-b3;
eq1=4*b2*x^3 - 2*b2*x^2 - 2*b3*x^2 - 2*b2*x^4 + 4*b3*x^3 - 2*b3*x^4 + 4*b1*y^2 - 20*b1*y^3 + 24*b1*y^4 - 23*b1*x*y^2 - 6*b1*x^2*y + 38*b1*x*y^3 + 3*b1*x^3*y + 15*b2*x*y^2 + 16*b2*x^2*y - 18*b2*x*y^3 - 13*b2*x^3*y + 18*b3*x*y^2 + 17*b3*x^2*y - 18*b3*x*y^3 - 13*b3*x^3*y + 6*b4*x*y^2 + 3*b4*x^2*y - 10*b4*x*y^3 - 3*b4*x^3*y + 19*b1*x^2*y^2 - 27*b2*x^2*y^2 - 27*b3*x^2*y^2 - 11*b4*x^2*y^2 + 3*b1*x*y - 3*b2*x*y - 4*b3*x*y;
eq2=4*b2*x^3 - 2*b2*x^2 - 2*b3*x^2 - 2*b2*x^4 + 4*b3*x^3 - 2*b3*x^4 + 4*b1*y^2 - 16*b1*y^3 + 12*b1*y^4 - 20*b1*x*y^2 - 6*b1*x^2*y + 25*b1*x*y^3 + 3*b1*x^3*y + 9*b2*x*y^2 + 13*b2*x^2*y - 9*b2*x*y^3 - 11*b2*x^3*y + 12*b3*x*y^2 + 14*b3*x^2*y - 9*b3*x*y^3 - 11*b3*x^3*y + 3*b4*x*y^2 + 3*b4*x^2*y - 5*b4*x*y^3 - 3*b4*x^3*y + 16*b1*x^2*y^2 - 18*b2*x^2*y^2 - 18*b3*x^2*y^2 - 8*b4*x^2*y^2 + 3*b1*x*y - 2*b2*x*y - 3*b3*x*y;
[xi,yi]=solve(eq1,eq2);
U=eval([xi,yi]);
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for m=1:size(U,1)
if U(m,1)>0 && U(m,2)>0 && (U(m,1)+3*U(m,2))<1 aaa=m;
end end
data(b1,b2,b3,:)=U(aaa,:);
end end
eval(['save(''D:\asd100.mat'',''data'')']);
end
eval(['save(''D:\asd100.mat'',''data'')']);
第二部分：
clc clear all tic;
format long syms x y
WW=eval(['load(''D:\asd100.mat'')']);
totali = 3000000;
totalj = 1; *(totalj的選擇要使s+0.03totalj<1) totalb = 100;
s=0.2; *(s的選擇為0.1~0.9) bi=zeros(totali,4);
H=zeros(totali,2);
for j=1:totalj tj=0.01*j;
j
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for i=1:totali disp(i)
bi(i,:)=histc(randsample(1:4,totalb,'true',[s,2*tj,tj,1-s-3*tj]),1:4);
while bi(i,1)*bi(i,2)*bi(i,3)*bi(i,4)==0
bi(i,:)=histc(randsample(1:4,totalb,'true',[s,2*tj,tj,1-s-3*tj]),1:4);
end end
b1=bi(:,1);
b2=bi(:,2);
b3=bi(:,3);
b4=bi(:,4);
for i=1:totali disp(i)
H(i,:)=WW.data(b1(i),b2(i),b3(i),:);
end
LH=[bi(:,1)/totalb,(bi(:,2)+bi(:,3))/(3*totalb)];
Mj=mean(H);
Vj=var(H);
LMj=mean(LH);
LVj=var(LH);
Pmean(j,:)=[Mj];
Pvar(j,:)=[Vj];
Lmean(j,:)=[LMj];
Lvar(j,:)=[LVj];
PR=(H(:,1)-s)'*(H(:,1)-s)/totali;
PSj=(H(:,2)-tj)'*(H(:,2)-tj)/totali;
LR=(LH(:,1)-s)'*(LH(:,1)-s)/totali;
LSj=(LH(:,2)-tj)'*(LH(:,2)-tj)/totali;
PRSj=PR+PSj;
Pmse(j,:)=[PR PSj];
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Pmsesum(j,:)=[PRSj];
LRSj=LR+LSj;
Lmse(j,:)=[LR LSj];
Lmsesum(j,:)=[LRSj];
kj(j,:)=[tj];
end Pmean Pvar Lmean Lvar Pmse Pmsesum Lmse Lmsesum toc
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附表 2
MPLEmethod.m 各項計算數據
附表 2.1：
1 0 . 1
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
4)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
4)
0.1 0.01 8.91509566667924 3.2558344444480 9.24067911112 0.1 0.06 9.00009000001279 16.3620288888839 10.63629288890 0.1 0.11 8.99208066667941 24.5553148148148 11.44761214816 0.1 0.16 8.99031300001273 27.7455611111101 11.76486911112 0.1 0.21 8.99888100001281 25.8995488888884 11.58883588890 0.1 0.26 9.00231400001278 19.0773988888872 10.91005388890 0.1 0.29 8.98934800001273 12.2856011111024 10.21790811112 註：MSE((
ˆ1,
ˆ2))
MSE(
ˆ1)
MSE(
ˆ2)附表 2.2：
1 0 . 2
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.2 0.01 1.586237800001 3.2583785185000 1.618821585186 0.2 0.05 1.598698833335 14.0496837037000 1.739195670372 0.2 0.09 1.598720333335 21.9115559259000 1.817835892594 0.2 0.13 1.599289933335 26.4682655556000 1.863972588890 0.2 0.16 1.600043500001 27.7181966667000 1.877225466668 0.2 0.21 1.599773733335 25.9016225926000 1.858789959260 0.2 0.26 1.594331133335 18.8006111111000 1.782337244446‧ 國
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附表 2.3：
1 0 . 3
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.3 0.01 2.081933166667 3.2599655556000 2.114532822223 0.3 0.05 2.096991000001 14.0360807407000 2.237351807408 0.3 0.09 2.102963933334 21.8991411111000 2.321955344445 0.3 0.13 2.097753200001 26.3922618519000 2.361675818519 0.3 0.16 2.100266566667 27.7438318519000 2.377704885186 0.3 0.19 2.098436733334 27.2097325926000 2.370534059260 0.3 0.23 2.088468266667 23.6335748148000 2.324804014815附表 2.4：
1 0 . 4
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.4 0.01 2.382212500000 3.2598462963000 2.414810962963 0.4 0.04 2.396330433334 11.5098003704000 2.511428437037 0.4 0.07 2.398909100000 18.3925733333000 2.582834833334 0.4 0.10 2.397380866667 23.3372192593000 2.630753059260 0.4 0.13 2.399225133334 26.4371125926000 2.663596259260 0.4 0.16 2.400891633334 27.7388466667000 2.678280100000 0.4 0.19 2.391032966667 27.0819600000000 2.661852566667‧ 國
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附表 2.5：
1 0 . 5
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.5 0.01 2.479935200000 3.2582851852000 2.512518051852 0.5 0.03 2.484678700000 8.7196244444000 2.571874944445 0.5 0.06 2.497233900000 16.3535259259000 2.660769159260 0.5 0.08 2.497331600000 20.2500985185000 2.699832585186 0.5 0.11 2.502226433334 24.5938566667000 2.748165000000 0.5 0.13 2.501112833334 26.4621392593000 2.765734225926 0.5 0.16 2.486750366667 27.5900051852000 2.762650418519附表 2.6：
1 0 . 6
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.6 0.01 2.373588100000 3.2541603704000 2.414407237037 0.6 0.03 2.388877266667 8.7357125926000 2.470379359260 0.6 0.05 2.397494800000 14.0559107407000 2.538819707408 0.6 0.07 2.399894333334 18.4005266667000 2.586072766667 0.6 0.09 2.396979266667 21.9147800000000 2.617974033334 0.6 0.11 2.392567100000 24.5705681481000 2.642346681482 0.6 0.13 2.396979266667 26.2743988889000 2.648121388889‧ 國
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- 8 -
附表 2.7：
1 0 . 7
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.7 0.01 2.085406900001 3.2568777778000 2.117975677778 0.7 0.02 2.069186333334 5.7494744444000 2.126681077778 0.7 0.03 2.078182200001 8.7352518518000 2.165534718519 0.7 0.05 2.093025866667 14.0386674074000 2.233412540741 0.7 0.07 2.099482866667 18.3926407407000 2.283409274075 0.7 0.08 2.098890700001 20.2951274074000 2.301841974075 0.7 0.09 2.080105833334 21.8270548148000 2.298376381482附表 2.8：
1 0 . 8
，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
3)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
3)
0.8 0.01 1.590652200001 3.2647429630000 1.623299629631 0.8 0.02 1.561348233335 5.7581240741000 1.618929474075 0.8 0.03 1.572956133335 8.7295018518000 1.660251151853 0.8 0.04 1.580343166668 11.5066311111000 1.695409477779 0.8 0.05 1.582002200001 14.0536592593000 1.722538792594 0.8 0.06 1.569800100001 16.2828640741000 1.732628740742附表 2.9：
1
0.9，
2取不同值時 MLE 之均方差
1
2 MSE(
ˆ1)( 10
4)
MSE(
ˆ2)( 10
5)
MSE((
ˆ1,
ˆ2))( 10
4)
0.9 0.01 8.13348400001302 3.2607662962998 8.45956062964301 0.9 0.02 8.41088833334493 5.7344640740702 8.98433474075195 0.9 0.03 8.76780033334594 8.6455251851729 9.63235285186323‧ 國
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附表 2.10：
1 0 . 1
，
2取不同值時 MPLE 之均方差註： ~ )
( MSE
~) ( MSE
~ ))
~, ((
MSE
1
2
1
2附表 2.11：
1
0.2，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.2 0.01 1.593914754859 3.2735502751000 1.626650257610 0.2 0.05 1.604012985802 14.0716841437000 1.744729827239 0.2 0.09 1.605115236086 22.0275116001000 1.825390352087 0.2 0.13 1.606027387027 26.7103562850000 1.873130949877 0.2 0.16 1.607160136460 28.0497953210000 1.887658089670 0.2 0.21 1.608501005427 26.2942958311000 1.871443963738 0.2 0.26 1.608089241521 19.0252701015000 1.798341942536
1
2 MSE(
~1) (
104) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
104) 0.1 0.01 8.95428535562282 3.2698567867714 9.28127103430 0.1 0.06 9.05898285030772 16.3928529631726 10.69826814662 0.1 0.11 9.04810721930568 24.6979456359901 11.51790178290 0.1 0.16 9.04257228694369 28.0220296909965 11.84477525604 0.1 0.21 9.05082776934705 26.2642497687732 11.67725274622 0.1 0.26 9.06059780949660 19.3610865283204 10.99670646233 0.1 0.29 9.05826875804457 12.4326245925811 10.30153121730‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
- 10 -
附表 2.12：
1 0 . 3
，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.3 0.01 2.091197095263 3.2755493052000 2.123952588315 0.3 0.05 2.100432315331 14.0602388128000 2.241034703459 0.3 0.09 2.107119405646 22.0221553939000 2.327340959585 0.3 0.13 2.103157324515 26.6489032508000 2.369646357023 0.3 0.16 2.106998815359 28.0776615697000 2.387775431056 0.3 0.19 2.107993041585 27.5759060722000 2.383752102307 0.3 0.23 2.105971507738 23.8854041708000 2.344825549446附表 2.13：
1 0 . 4
，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.4 0.01 2.391757684694 3.2756355075000 2.424514039768 0.4 0.04 2.398250499374 11.5184721042000 2.513435220415 0.4 0.07 2.400622062333 18.4612316592000 2.585234378924 0.4 0.10 2.399602587237 23.4927725617000 2.634530312855 0.4 0.13 2.402701965772 26.6758878726000 2.669460844497 0.4 0.16 2.407806409211 28.0330507839000 2.688136917051 0.4 0.19 2.404290104161 27.3274530396000 2.677564634557‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
附表 2.14：
1 0 . 5
，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.5 0.01 2.488809846473 3.2739993201000 2.521549839674 0.5 0.03 2.487936024398 8.7195521915000 2.575131546313 0.5 0.06 2.497994379904 16.3991376647000 2.661985756551 0.5 0.08 2.498008637893 20.3447613339000 2.701456251232 0.5 0.11 2.503608814592 24.7622241090000 2.751231055682 0.5 0.13 2.504630011769 26.6714287297000 2.771344299066 0.5 0.16 2.497287197533 27.7773590862000 2.775060788396附表 2.15：
1 0 . 6
，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.6 0.01 2.389200183742 3.2698871311000 2.421899055053 0.6 0.03 2.387738681477 8.7354420546000 2.475093102024 0.6 0.05 2.400149834727 14.0793519664000 2.540943354391 0.6 0.07 2.402773246402 18.4625804533000 2.587399050935 0.6 0.09 2.399233676317 22.0138168882000 2.619371845199 0.6 0.11 2.398377603488 24.6951878532000 2.645329482020 0.6 0.13 2.392464692399 26.3968477121000 2.656433169520‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
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- 12 -
附表 2.16：
1 0 . 7
，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.7 0.01 2.090321087941 3.2725949866000 2.123047037806 0.7 0.02 2.076917268285 5.7524635089000 2.134441903375 0.7 0.03 2.085135841038 8.7345091295000 2.172480932333 0.7 0.05 2.096161358723 14.0561347507000 2.236722706231 0.7 0.07 2.100231777933 18.4389113677000 2.284620891611 0.7 0.08 2.099369726662 20.3525794536000 2.302895521198 0.7 0.09 2.081518916513 21.8904362649000 2.300423279162附表 2.17：
1 0 . 8
，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1)(
103) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
103) 0.8 0.01 1.592106024595 3.2799065889000 1.624905090484 0.8 0.02 1.569830978602 5.7606403500000 1.627437382102 0.8 0.03 1.581236071994 8.7265984628000 1.668502056622 0.8 0.04 1.585786079167 11.5081055791000 1.700867134958 0.8 0.05 1.584375986618 14.0642775371000 1.725018761989 0.8 0.06 1.570706348727 16.3017797048000 1.733724145775附表 2.18：
1
0.9，
2取不同值時 MPLE 之均方差
1
2 MSE(
~1) (
104) ~ ) (MSE
2 (
105) ~ ))~, ((
MSE
1
2 (
104) 0.9 0.01 8.19986889362316 3.2742151260503 8.52729040622819 0.9 0.02 8.46934693457774 5.7345584967944 9.04280278425717 0.9 0.03 8.80822798732940 8.6403748374197 9.67226547107137‧ 國
立 政 治 大 學
‧
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附表 2.19：
1
0.1，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1013) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.1 0.01 84414072.6841960 2.4116945215601 3.2558344444480 0.1 0.06 12977.6061032 16.3619045668130 16.3620288888839 0.1 0.11 207.3284408 24.5553209266114 24.5553148148148 0.1 0.16 2468.7392725 27.7455456722833 27.7455611111101 0.1 0.21 145.7542828 25.8995560645872 25.8995488888884 0.1 0.26 2.0450473 19.0774052275038 19.0773988888872 0.1 0.29 2158583.2195520 12.2640193669513 12.2856011111024 註：MSE ( ˆ
2) Bias
2( ˆ
2) Var ( ˆ
2)
附表 2.20：
1
0.2，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1012) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.2 0.01 8439257.40192536 2.4144535832000 3.2583785185000 0.2 0.05 7467.64828457 14.0489416219000 14.0496837037000 0.2 0.09 55.66818162 21.9115576631000 21.9115559259000 0.2 0.13 2.51398630 26.4682741267000 26.4682655556000 0.2 0.16 25.32326049 27.7182033738000 27.7181966667000 0.2 0.21 29.05210156 25.9016283212000 25.9016225926000 0.2 0.26 667728.67524378 18.7338444882000 18.8006111111000‧ 國
立 政 治 大 學
‧
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- 14 -
附表 2.21：
1
0.3，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1011) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.3 0.01 846761.500726647 2.4132048592000 3.2599655556000 0.3 0.05 960.400004802 14.0351250192000 14.0360807407000 0.3 0.09 2.032006206 21.8991463788000 21.8991411111000 0.3 0.13 6.020035626 26.3922646293000 26.3922618519000 0.3 0.16 9.357337791 27.7438317423000 27.7438318519000 0.3 0.19 1.174204446 27.2097404884000 27.2097325926000 0.3 0.23 180472.355973674 23.4531102765000 23.6335748148000附表 2.22：
1
0.4，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1013) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.4 0.01 84619254.5961657 2.4136545549000 3.2598462963000 0.4 0.04 455068.4463944 11.5052535211000 11.5098003704000 0.4 0.07 446.2240269 18.3925750019000 18.3925733333000 0.4 0.10 1.3120504 23.3372270250000 23.3372192593000 0.4 0.13 158.4039976 26.4371198209000 26.4371125926000 0.4 0.16 21.5763457 27.7388556972000 27.7388466667000 0.4 0.19 888556.6085239 27.0730834583000 27.0819600000000‧ 國
立 政 治 大 學
‧
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附表 2.23：
1
0.5，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1011) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.5 0.01 846050.983523118 2.4122350058000 3.2582851852000 0.5 0.03 25690.931229251 8.6939364112000 8.7196244444000 0.5 0.06 224.760276257 16.3533066167000 16.3535259259000 0.5 0.08 9.765831944 20.2500955026000 20.2500985185000 0.5 0.11 5.730490055 24.5938591342000 24.5938566667000 0.5 0.13 1.186419776 26.4621468936000 26.4621392593000 0.5 0.16 25734.878068789 27.5642794953000 27.5900051852000附表 2.24：
1
0.6，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1012) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.6 0.01 84483300.1943724 2.4093281716000 3.2541603704000 0.6 0.02 2639424.8748817 8.7093212469000 8.7357125926000 0.6 0.03 93868.1092287 14.0549767446000 14.0559107407000 0.6 0.05 1105.7691284 18.4005217426000 18.4005266667000 0.6 0.07 13.4118728 21.9147859638000 21.9147800000000 0.6 0.08 9.3092787 24.5705754076000 24.5705681481000 0.6 0.09 566030.5224593 26.2178045758000 26.2743988889000‧ 國
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‧
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附表 2.25：
1
0.7，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
1014) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.7 0.01 843560390.267033 2.4133181920000 3.2568777778000 0.7 0.02 144467311.877083 5.6050090009000 5.7494744444000 0.7 0.03 25700844.157668 8.7095539108000 8.7352518518000 0.7 0.05 905331.110400 14.0377667556000 14.0386674074000 0.7 0.07 2.022710 18.3926468694000 18.3926407407000 0.7 0.08 58.777804 20.2951341137000 20.2951274074000 0.7 0.09 2171824.433910 21.8248902654000 21.8270548148000附表 2.26：
1
0.8，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
109) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.8 0.01 8481.05121514333 2.4166386470000 3.2647429630000 0.8 0.02 1459.85195279737 5.6121407496000 5.7581240741000 0.8 0.03 251.31394412610 8.7043733589000 8.7295018518000 0.8 0.04 46.35217633776 11.5019997273000 11.5066311111000 0.8 0.05 4.69895020178 14.0531940487000 14.0536592593000 0.8 0.06 27.72706014921 16.2800967948000 16.2828640741000附表 2.27：
1 0 . 9
，
2取不同值時
ˆ2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ˆ
2)
(
107) Var(
ˆ2) (
105) MSE(
ˆ2)(
105) 0.9 0.01 84.6148589232915 2.4146185119100 3.2607662962998 0.9 0.02 14.1414643002900 5.5930512955003 5.7344640740702 0.9 0.03 1.1204937985569 8.6343231251684 8.6455251851729‧ 國
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附表 2.28：
1
0.1，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1012) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.1 0.01 8561651.42541896 2.4136924488079 3.2698567867714 0.1 0.06 1565.67298015 16.3927018600933 16.3928529631726 0.1 0.11 1.43318346 24.6979537253204 24.6979456359901 0.1 0.16 288.56506485 28.0220101751573 28.0220296909965 0.1 0.21 85.75901355 26.2642499476159 26.2642497687732 0.1 0.26 769.81480561 19.3610160005133 19.3610865283204 0.1 0.29 240699.82123141 12.4085587466275 12.4326245925811註：
~ )
( Var
~ ) ( Bias
~ ) (
MSE
2
2
2
2附表 2.29：
1
0.2，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1012) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.2 0.01 8565450.82983585 2.4170059978000 3.2735502751000 0.2 0.05 8926.44328691 14.0707961897000 14.0716841437000 0.2 0.09 237.96954371 22.0274951456000 22.0275116001000 0.2 0.13 22.09038967 26.7103629794000 26.7103562850000 0.2 0.16 5.56084771 28.0498041149000 28.0497953210000 0.2 0.21 75.16273456 26.2942970796000 26.2942958311000 0.2 0.26 698104.73964510 18.9554659459000 19.0252701015000‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
- 18 -
附表 2.30：
1
0.3，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1013) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.3 0.01 85958700.2971047 2.4159631075000 3.2755493052000 0.3 0.05 113873.3886210 14.0591047653000 14.0602388128000 0.3 0.09 1388.0249558 22.0221488543000 22.0221553939000 0.3 0.13 1.0084144 26.6489121237000 26.6489032508000 0.3 0.16 1202.1249683 28.0776589077000 28.0776615697000 0.3 0.19 1221.9598268 27.5759030446000 27.5759060722000 0.3 0.23 18315025.4898625 23.7022618167000 23.8854041708000附表 2.31：
1
0.4，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1013) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.4 0.01 85912286.4918442 2.4165134481000 3.2756355075000 0.4 0.04 509058.4619345 11.5133853573000 11.5184721042000 0.4 0.07 1875.4774482 18.4612190582000 18.4612316592000 0.4 0.10 632.7356939 23.4927740653000 23.4927725617000 0.4 0.13 27.5465615 26.6758964890000 26.6758878726000 0.4 0.16 5.1909330 28.0330600764000 28.0330507839000 0.4 0.19 920466.6341181 27.3182574794000 27.3274530396000‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
附表 2.32：
1
0.5，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1011) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.5 0.01 858948.737457003 2.4150513877000 3.2739993201000 0.5 0.03 27419.964830658 8.6921351241000 8.7195521915000 0.5 0.06 301.570190676 16.3988415608000 16.3991376647000 0.5 0.08 31.586622328 20.3447365288000 20.3447613339000 0.5 0.11 17.483031670 24.7622148800000 24.7622241090000 0.5 0.13 2.963498932 26.6714346567000 26.6714287297000 0.5 0.16 25814.704496136 27.7515536322000 27.7773590862000附表 2.33：
1
0.6，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1011) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.6 0.01 857706.119634666 2.4121818155000 3.2698871311000 0.6 0.03 28127.428371521 8.7073175287000 8.7354420546000 0.6 0.05 1116.940626332 14.0782397185000 14.0793519664000 0.6 0.07 27.377393327 18.4625592301000 18.4625804533000 0.6 0.09 6.560035536 22.0138176661000 22.0138168882000 0.6 0.11 1.061224461 24.6951950237000 24.6951878532000 0.6 0.13 56383.678833024 26.3404728134000 26.3968477121000‧ 國
立 政 治 大 學
‧
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l C h engchi U ni ve rs it y
附表 2.34：
1
0.7，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
1013) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.7 0.01 85636376.2099816 2.4162320299000 3.2725949866000 0.7 0.02 14957849.6191414 5.6028868804000 5.7524635089000 0.7 0.03 2733996.3694693 8.7071720682000 8.7345091295000 0.7 0.05 103332.9347085 14.0551061064000 14.0561347507000 0.7 0.07 51.5687912 18.4389169983000 18.4389113677000 0.7 0.08 9.3335860 20.3525861444000 20.3525794536000 0.7 0.09 217589.8025519 21.8882676630000 21.8904362649000附表 2.35：
1
0.8，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
109) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.8 0.01 8606.79101137401 2.4192282941000 3.2799065889000 0.8 0.02 1509.43338493023 5.6096988814000 5.7606403500000 0.8 0.03 265.68143789014 8.7000332190000 8.7265984628000 0.8 0.04 49.86178766822 11.5031232347000 11.5081055791000 0.8 0.05 5.16273873940 14.0637659511000 14.0642775371000 0.8 0.06 27.49482744725 16.2990356551000 16.3017797048000附表 2.36：
1 0 . 9
，
2取不同值時
~2之偏誤、變異數和均方差
1
2Bias
2( ~
2)
(
107) Var(
~2) (
105) ~ ) (MSE
2 (
105) 0.9 0.01 85.7771191615827 2.4164447399269 3.2742151260503 0.9 0.02 14.5393518763121 5.5891668410841 5.7345584967944 0.9 0.03 1.1812876752063 8.6285648368567 8.6403748374197‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
附表 2.37：
1 0 . 1
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.1 0.01 0.099103350000038 0.012905410000055 0.098469570446259 0.012926029976849 0.1 0.06 0.100008546666680 0.060036024444622 0.100023938079091 0.060039568585774 0.1 0.11 0.100007266666678 0.109995446666707 0.100044971337943 0.109998802843594 0.1 0.16 0.100017403333348 0.159984287777775 0.100058506446175 0.159983012797027 0.1 0.21 0.100025743333349 0.210003817777924 0.100066452570307 0.209990739383738 0.1 0.26 0.100003373333348 0.260000452221990 0.100046037251526 0.259972254463321 0.1 0.29 0.099882226666689 0.289535394444765 0.099932734366184 0.289509388319308
附表 2.38：
1 0 . 2
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.2 0.01 0.198208940000487 0.012905040000056 0.197688267726407 0.012926679147060 0.2 0.05 0.199925096667115 0.050086415555802 0.199890725913453 0.050094479856514 0.2 0.09 0.199945580000450 0.090007461111286 0.199946457331123 0.090015426261495 0.2 0.13 0.199982020000444 0.129998414444481 0.199992077580765 0.130004700041454 0.2 0.16 0.200006803333781 0.159994967777778 0.200017869205981 0.159997641855027 0.2 0.21 0.199988560000435 0.210005390000145 0.199992077580765 0.209991330355569 0.2 0.26 0.199391840000458 0.259182853333089 0.199425075357521 0.259164473375861
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
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- 22 -
附表 2.39：
1 0 . 3
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.3 0.01 0.297316216666989 0.012909916666722 0.296957805368736 0.012931871421074 0.3 0.05 0.299890360000335 0.050098000000245 0.299860509821669 0.050106711474838 0.3 0.09 0.299991240000331 0.090004507777951 0.299984376897801 0.090011781447092 0.3 0.13 0.300023293333683 0.129992241111145 0.300012945112016 0.129999682444589 0.3 0.16 0.299986483333677 0.160009673333340 0.299974520285629 0.160010964145969 0.3 0.19 0.300031713333663 0.189996573333331 0.300019627935904 0.189988945770824 0.3 0.23 0.298253273333667 0.228656600000098 0.298264495055546 0.228646669830017
附表 2.40：
1 0 . 4
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.4 0.01 0.396448463333233 0.012908938888945 0.396264100770390 0.012931079775302 0.4 0.04 0.399686496666524 0.040213323333556 0.399655603750571 0.040225623239480 0.4 0.07 0.400000043333186 0.070006680000201 0.399989483066257 0.070013694807221 0.4 0.10 0.400016326666540 0.100000362222368 0.400000685405959 0.100007954468517 0.4 0.13 0.399999359999867 0.129996020000030 0.399973773237835 0.130001659715683 0.4 0.16 0.399984783333185 0.160001468888891 0.399950714045984 0.160000720481296 0.4 0.19 0.399397849999879 0.189701913333320 0.399379796851952 0.189696608069633
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
附表 2.41：
1 0 . 5
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.5 0.01 0.495484986666444 0.012908695555611 0.495478427461470 0.012930782723876 0.5 0.03 0.499131516666630 0.030506862222199 0.499134412600126 0.030523640762648 0.5 0.06 0.499924636666661 0.060047408889067 0.499918115082155 0.060054915406825 0.5 0.08 0.500024313333339 0.080009882222394 0.500008677911117 0.080017772625672 0.5 0.11 0.500004870000017 0.110007570000036 0.499971526027698 0.110013222341574 0.5 0.13 0.500002203333323 0.130003444444478 0.499957553022627 0.130005443802836 0.5 0.16 0.498472503333250 0.159492704444443 0.498442085573238 0.159491918269408
附表 2.42：
1 0 . 6
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.6 0.01 0.594629796666681 0.012906601111167 0.594800465725245 0.012928662014700 0.6 0.03 0.599049309999976 0.030513753333311 0.599112280093052 0.030530352980302 0.6 0.05 0.599792559999956 0.050096885555801 0.599801325626953 0.050105685411781 0.6 0.07 0.599972209999976 0.070010515555755 0.599956507655529 0.070016546115353 0.6 0.09 0.599967389999961 0.090003662222396 0.599931030179950 0.090008099404630 0.6 0.11 0.599954173333327 0.109996948888926 0.599903927755977 0.109996742355973 0.6 0.13 0.596487853333319 0.129247650000027 0.596452585506251 0.129249109336634
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
附表 2.43：
1 0 . 7
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.7 0.01 0.693729376664542 0.012904411111167 0.694073134484923 0.012926369358266 0.7 0.02 0.697301666664362 0.021201945555660 0.697522598202423 0.021223022878737 0.7 0.03 0.698818193330994 0.030506959999977 0.698932616129174 0.030522876311327 0.7 0.05 0.699756033330973 0.050095148889137 0.699762325646112 0.050101652808475 0.7 0.07 0.699965773330943 0.069999857777981 0.699927403115664 0.070002270876289 0.7 0.08 0.699876876664291 0.080000766666835 0.699825409060744 0.080000966104858 0.7 0.09 0.698933723330987 0.089852628889062 0.698882842056348 0.089852490745188
附表 2.44：
1 0 . 8
，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.8 0.01 0.792813066674123 0.012912224444500 0.793312490250174 0.012933733289066 0.8 0.02 0.796926643340882 0.021208243333438 0.797230872835383 0.021228589998710 0.8 0.03 0.798678200007552 0.030501312222199 0.798813170324436 0.030515442953090 0.8 0.04 0.799380130007512 0.040215295555778 0.799409072597553 0.040223297531711 0.8 0.05 0.799509880007522 0.050068548889136 0.799478645649801 0.050071852200658 0.8 0.06 0.797435730007538 0.059833485555734 0.797385466188259 0.059834184357049
附表 2.45：
1
0.9，
2取不同值時 MLE 與 MPLE 之平均數
1
2 Mean(
ˆ1) Mean(
ˆ2) Mean ~)(
1 Mean ~ ) (
20.9 0.01 0.891865413328949 0.012908863333388 0.892437347076238 0.012928773107661 0.9 0.02 0.895887203327889 0.021189178888994 0.896137950875444 0.021205792348471 0.9 0.03 0.893229263328590 0.030334737777754 0.893247543872468 0.030343698658014