結論 - 利用等模調整器求解病態線性系統之研究

本研究所需改進之處和未來展望。

2 第二章基礎理論

2.2.1 適定性問題(Well-posed problem)

由哈達瑪(Jacques Solomon Hadamard)所提出，認為滿足物理現象之數學模型均需滿足以下特質：

• 解的存在性

• 解的唯一性

• 解的穩定性

若不滿足以上任一條件者稱之為病態問題(Ill-posed Problem)，反之，同時滿足條件者即為良置問題（Well-posed Problem）。

2.2.2 病態問題(Ill-posed Problem)

2 6.0001 8.001 x 值解是否接近真值，殘差(Residual Error)之定義：

e b Bx = −

^(2.4)

將上面例子之解假設為數值解，於下列方程加以解釋：

1 2

8 2 6 26 0

8.0001 2 6.0001 10 0.001 e

引入另一判別病態問題之方法，也就是條件數(condition number)之概念，條件數可用來度量矩陣之穩定性以及敏感度，亦可用來判定病態程度，當一矩陣條件數甚大時，判定為病態問題，反之則為良置問題，關於條件數之定義以及如何求得將在下一節中詳細介紹。

2.3 條件數(Condition Number)

由給定矩陣B之條件數來判定此矩陣是否為病態，以了解所求得之數值解是

件數，其原理為調整器可提高特徵值之極小值，代入(2.7)式中可知條件數會降低有助於改善矩陣之病態性，然而並非所有調整器都具備改善條件數之效果有些較差之調整器甚至會導致矩陣病態性的惡化。

2.4 正算、反算問題(Direct and Inverse Problem)

反算問題於科學界以及工程上越來越被關注，一般對於反算問題之了解即為

此種問題於已知的邊界條件上分成兩種，一種是任何邊界條件皆未給，另一種則

2.5 無網格法(Meshless Method)

將連續方程離散化一般多使用有限元素法，其通用性以及靈活性在工程界廣

以及Gingold 發展了一套利用拉格朗日法去模擬天體物理學問題的方法，叫做光滑粒子動力學(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)。1991 年由 Nayroles 和 Touzot 研究的擴散元素法(Diffuse Element Method, DEM)為第一個根據迦遼金法 (Galerkin Method)所發展，也是此法的發表激發大家對無網格法研究之興趣，1994 年Belytschko 改善 DEM 之問題發展出元素釋放法(Element-Free Galerkin Method, EFGM)，EFGM 可應用於許多不同類的問題，像是波傳問題、流體力學問題以

2.5.1 基本解法 (The Method of Fundamental Solutions, MFS)

基本解法於邊界值問題之數值求解於近十年受到廣泛關注，其耗費較少計算

而不同問題亦有其適當之源點設置方式，其所需仰賴研究者之嘗試或前人之努力及經驗，接下來介紹基本解法之理論推導。

根據(Fairweather and Karageorghis 1998)，考慮一邊界值問題其控制方程為：

( ) 0

2.6 共軛梯度法(Conjugate GradientMethod,CGM)

共軛梯度法最早由Hastenes 和 Stiefle 於 1952 年為求正定係數矩陣線性方程所提出，1964 年 Fletcher 和 Reeves 將此方法推廣至非線性最優化，得到求解函數極小值之共軛梯度法，亦有許多學者提出不同改良公式，像是Herstenes-Stiefel 公式，Fletcher-Reeves 公式和 Polak-Ribiere 公式。本研究將採用 Fletcher-Reeves 公式進行計算。

性做進一步改良，克服最速下降法收斂速度慢又免除牛頓法需要大量儲存空間之缺點。接下來將分別介紹牛頓法、最速下降法以及共軛梯度法之演算步驟。

2.6.1 牛頓法（Newton’s Method）

牛頓法是一簡單且廣為通用於求解代數方程之數值方法。

2.6.2 最速下降法(The Steepest Descent Method)

2.6.3 共軛梯度法之演算法(Algorithms of CGM)

由最速下降法改進之共軛梯度法其基本原理亦是建構於求解最小極值問題

α

k^{為步長，而}

p

k為搜索方向之單位向量，可以得到：

2.6.4 預處理共軛梯度法(Preconditioned CGM)

I ( )

此求解，矩陣之共軛梯度法的引入使得即便是求解繁雜或高度病態之問題，亦可以簡單求得其反矩陣，並得到問題之解。然而本論文之目的為研究不同調整器對於改善共軛梯度法迭代步數之貢獻，因此，本研究僅採用此法之觀念得

B

⁻¹，以探討條件數改進與否。

Figure 2.1(A)病態問題未加入噪音之情形 (B)病態問題加入噪音之情形

Figure 2.2 (A)良置問題未加入噪音之情形 (B)良置問題加入噪音之情形

Figure 2.3(A)無網格法與(B)有網格法比較示意

Figure 2

Figure 2.4

2.5 牛頓法對

Figure 2.6 最

牛頓法迭代過

對應不同初始猜

最速下降法迭代

過程示意圖

猜值之迭代過

代過程示意圖

過程示意

圖

Figure 2.7 共共軛梯度法迭代代過程示意圖圖

3 第三章單側等模調整器之研究

3.1 前調整器(Preconditioning CGM, PreCGM)

於基礎理論中，提過有學者發揚共軛梯度法而發展出一套預處理共軛梯度法。

3. 初始殘差

r

₀

= − b

₁

Cx

₀^，

z

= Qr

0^{，搜索方向}

p

= z

3.2 後調整器(Post-conditioning CGM, PostCGM)

接著介紹另一種單側調整器，本研究稱之為後調整器，而不同於前一節所介

x= Py (3.13)

利用後調整器進行預處理並與共軛梯度法結合之方法(稱為 PostCGM)其演算步

個問題為反算問題而Hilbert 線性問題則為唯一之正算問題。

3.3.1 柯西問題(Inverse Cauchy Problem for Laplace equation)

考慮反算柯西問題之拉普拉斯方程以及邊界問題：

利用PostCGM、PreCGM 和 CGM 求解，並且與真實解(3.31)式進行數值結果比較：

3.3.2

反向熱傳導問題(Backward Heat Conduction Problem)

考慮空間中間隔為

0 x < < 

作用於板之兩端的邊界問題，方程為：

(0, )

( )

如何選擇適當的源點亦是值得研究的地方，根據學者之研究(Hon and Li 2009)，

BHCP 採用均勻的佈設源點於兩條直線上，對於求解有良好的精確性和穩定性，

其佈設方法如Figure 3.7 所示。

藉由施加(3.33)式和(3.34)式於(3.36)式可得一線性方程組：

Bx = b

^(3.38)

其中

( , )

本身之不穩定所致。

Figure 3.11 與 Figure 3.15 為僅探討 PreCGM 和 PostCGM 之殘差和迭代步數之關係，可以看出兩者因經過不同調整器之處理而有不同之結果。利用Figure

3.3.3 Linear Hilbert Problem

找尋一個n 階之多項式函數

p x ( ) = + a

₀

a x

₁

+ +  a x

_n ⁿ最符合給定連續函數

Table 3.1 可看出條件數的增長伴隨於n之增加，即便同屬高度病態之問題，但其實解重合，Figure 3.17 顯示三種方法之數值誤差，也可發現經過預處理後所求得之解誤差皆較小，CGM 的數值誤差最高可達 0.047，而 PostCGM 之數值誤差最

加入噪音汙染導致收斂步數提高，可以由Figure 3.19 和 Figure 3.20 發現其數值解較準確，CGM 的最大數值誤差為 0.0168，PostCGM 最大數值誤差甚至不到 0.004，而 PreCGM 仍保持收斂速度最快及數值解最精確之特性，誤差最大僅 0.000168。和 CGM 之誤差差了 100 倍和 PostCGM 之結果相差 24 倍。小。Figure 3.23 可以看到其數值解已不與真實解重合了，即便其仍是三種方法中誤差最小的誤差最大值僅為0.0081，因此可知道當病態程度越高時所得之數值解值解依不同演算法分別繪製於圖上比較即為Figure 3.27、Figure 3.28 和 Figure 3.29。當噪音汙染為σ =10⁻²時，三種方法來說皆失去穩定性，所求得之數值解

problem 中藉由不同的噪音污染以及不同之n，雖然結果相差不大，但是可以發現經過預處理後所求得之結果不論是於收斂速度或是數值解的誤差上面，皆較原本CGM 所得之結果優，尤其是經由前調整器所做之預處理，求得解可靠性強，

因此，由以上之算例可以證實單側調整器確實達到改善之要求。

3.3.4 小結

3

單側等模調整器於三個算例當中皆有不錯的效果，無論是單就收斂步數，或是數值解之準確更甚是兩者皆具備，前面曾提過不同的調整器適用於不同之算例，

於本章節之算例當中，可以發現於柯西方程當中PostCGM 和 PreCGM 之結果兩者無明顯差異，而於反向熱傳導問題當中雖然兩者皆明顯優於 CGM 但是 PostCGM 同時具備最快速收斂、條件數降至最低以及數值解最精確之特性，

Hilbert problem 中則是 PreCGM 表現較佳，由於此問題為正算問題，即便其矩陣之條件數病態程度與柯西方程不相上下甚至更高，但是反算問題本身之不穩定因素導致收斂步數較正算問題高，因此於此問題之收斂步數並無明顯之差異，但所求得之解卻幾乎與正確解重合，可靠性極佳。

Table 3.1 Hilbert 矩陣不同 n 之條件數

n Condition number 5 4.7761 × 10 20 1.8458 × 10 50 1.7249 × 10 100 7.63 × 10 300 1.5893 × 10

Table 3.2 n=20 Hilbert 矩陣不同噪音汙染下三種方法之結果比較

n=20

CGM ^{後側調整器} ^{前側調整器}

10 2

σ = ⁻ 8 8 8

10 3

σ = ⁻ 6 6 5

10 4

σ = ⁻ 6 6 4

10 5

σ = ⁻ 6 5 4

Figure 3.1 n=40 Cauchy problem 數值解與真實解之比較

Figure 3.2 n=40 Cauchy Problem 三種方法之數值誤差

Figure 3.3 n=40 Cauchy Problem 三種方法之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.4 n=120 Cauchy Problem 數值解與真實解之比較

Figure 3.5 n=120 Cauchy Problem 三種方法之數值誤差比較

Figure 3.6 n=120 Cauchy Problem 三種方法之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.7 BHCP 源點佈設方式

Figure 3.8 n=31 BHCP 數值解與真實解之比較

Figure 3.9 n=31 BHCP 三種方法之數值誤差比較

Figure 3.10 n=31 BHCP 三種方法之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.11 n=31 BHCP PostCGM 與 PreCGM 之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.12 n=71 BHCP 數值解與真實解之比較

Figure 3.13 n=71 BHCP 三種方法之數值誤差比較

Figure 3.14 n=71 BHCP 三種方法之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.15 n=71 BHCP PostCGM 和 PreCGM 殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.16 n=20 Hilbert 矩陣未加入噪音汙染之數值解與真實解之比較

Figure 3.17 n=20 Hilbert 矩陣未加入噪音汙染三種方法之數值誤差比較

Figure 3.18 n=20 Hilbert 矩陣未加入噪音汙染之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.19 n=20 Hilbert 矩陣之數值解與真實解之比較

Figure 3.20 n=20 Hilbert 矩陣三種方法之數值誤差比較

Figure 3.21 n=20 Hilbert 矩陣之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.22 n=80 Hilbert 矩陣之數值解與真實解之比較

Figure 3.23 n=80 Hilbert 矩陣三種方法之數值誤差比較

Figure 3.24 n=80 Hilbert 矩陣之殘差與迭代步數關係圖

Figure 3.25 n=20 Hilbert 矩陣受噪音汙染σ=0.01 之數值解與真實解之比較

Figure 3.26 n=20 Hilbert 矩陣受噪音汙染σ=10⁻⁴之數值解與真實解之比較

Figure 3.27 n=20 Hilbert 矩陣不同噪音汙染下 CGM 之數值誤差比較

Figure 3.28 n=20 Hilbert 矩陣不同噪音汙染下 PostCGM 之數值誤差比較

Figure 3.29 n=20 Hilbert 矩陣不同噪音汙染下 PreCGM 之數值誤差比較

4 第四章雙側等模調整器之研究

連續程序：

4.1 雙邊調整器(Two-side conditioning CGM, TsCGM)

所謂雙邊調整器，也就是雙邊同時使用調整器來進行預處理，利用前調整器

4.2 前側雙邊調整器(Pre-conditioning CGM,PrCGM)

有別於前一節所介紹的雙邊調整器同時使用前後調整器來進行預處理，此法

1 1

其中

n = 2 m

，於邊界數據 b 中加入噪音汙染：

然而面對高病態亦即條件數較高之情形，就必須引入調整器之幫忙，以達到數值準確以及收斂速度快的目的。

Table 4.1 和 Figure 4.7 是同為

n = 60

^且

σ = 0.01

^{時對應不同偏移量}^D^時^CGM、

CGM 之數值準確性仍較 TsCGM 或 PrCGM 差許多，且由 Figure 4.10、Figure 4.11，

Figure 4.12、Figure 4.13、Figure 4.14 和 Figure 4.15 皆明顯地展現出調整器改善矩陣的效果是非常好的，不論是在收斂速度或是數值解之準確性上面。因此，由上面這三個不同病態程度的矩陣所求得之數值解，可以明顯的看出，面對高度病態且穩定性差之問題調整器的引入是必要的，求解反向熱傳導問題中此兩種調整器皆發揮不錯之功效，雙邊調整器於收斂速度上又較優於前側雙邊調整器，因此，

對於此問題可能採雙邊調整器的使用會較為適合。

4.3.3 Linear Hilbert Problem

找尋一個n階之多項式函數

p x ( ) = + a

₀

a x

₁

+ +  a x

_n ⁿ最符合一給定之連續函

x為多項式函數p x( )之係數，

a a

₀

, , ,

₁

 a

_n共

n + 1

^個，而

b

矩陣之組成為：

x為多項式函數p x( )之係數，

a a

₀

, , ,

₁

 a

_n共

n + 1

^個，而

b

矩陣之組成為：

在文檔中利用等模調整器求解病態線性系統之研究 (頁 16-97)

結論

2 第二章 基礎理論

2.2.1 適定性問題(Well-posed problem)

2.2.2 病態問題(Ill-posed Problem)

e b Bx = −

2.3 條件數(Condition Number)

2.4 正算、反算問題(Direct and Inverse Problem)

2.5 無網格法(Meshless Method)

2.5.1 基本解法 (The Method of Fundamental Solutions, MFS)

2.6 共軛梯度法(Conjugate GradientMethod,CGM)

2.6.1 牛頓法（Newton’s Method）

2.6.2 最速下降法(The Steepest Descent Method)

2.6.3 共軛梯度法之演算法(Algorithms of CGM)

α

p

2.6.4 預處理共軛梯度法(Preconditioned CGM)

I ( )

B

3 第三章 單側等模調整器之研究

3.1 前調整器(Preconditioning CGM, PreCGM)

r

= − b

Cx

z

= Qr

p

= z

3.2 後調整器(Post-conditioning CGM, PostCGM)

3.3.1 柯西問題(Inverse Cauchy Problem for Laplace equation)

反向熱傳導問題(Backward Heat Conduction Problem)

0 x < < 

(0, )

( )

Bx = b

( , )

3.3.3 Linear Hilbert Problem

p x ( ) = + a

a x

+ +  a x

3.3.4 小結

3

4 第四章 雙側等模調整器之研究

4.1 雙邊調整器(Two-side conditioning CGM, TsCGM)

4.2 前側雙邊調整器(Pre-conditioning CGM,PrCGM)

n = 2 m

n = 60

σ = 0.01

4.3.3 Linear Hilbert Problem

p x ( ) = + a

a x

+ +  a x

a a

, , ,

 a

n + 1

b

a a

, , ,

 a

n + 1

b

2 第二章基礎理論

3 第三章單側等模調整器之研究

4 第四章雙側等模調整器之研究