結論

第二章 架構與原理

2.1 簡介

本文章主要使用單傳輸線轉雙傳輸線來實驗傳輸零點的產生；本節將以尋常 的叉路耦合器和威爾金森功率分配器中，加入單傳輸線轉雙傳輸線的設計，利用 雙傳輸線並聯的原理，使其中兩段傳輸線分別等效電感和電容，進而實現控制傳 輸零點的實驗目標。

2.2 傳輸線的 ABCD 矩陣公式

每一段傳輸線都可以視為雙埠網路，每一個微波網路的內部皆可以定義為 ABCD 矩陣，許多問題都會方便處理，包括之後的雙傳輸線的轉換。

[ ]

^{yy2111 yy1222}

[ ]

^{yy1121 yy1222}

a b

c d

a b

c d

圖 2- 1 雙傳輸線 ABCD 矩陣

ABCD 的表示在[1]提及，以及在[14]提到導納矩陣並聯導納相加得出:

𝐴 =

^{𝐴𝑎𝐵𝑏+𝐴𝑏𝐵𝑎}

𝐵^𝑎+𝐵^𝑏 (2.1) 𝐵 = 𝐵^𝑎𝐵^𝑏

𝐵^𝑎+ 𝐵^𝑏 (2.2) 在實現單傳輸線轉雙傳輸線的時候，必須在 ABCD 矩陣時使用阻抗公式來求得設 計時需要的參數，因此阻抗和電氣長度帶入公式即可求出轉換過後的參數。

X1,Z1,θ₁

X2,Z2,θ₂

Zo,90

圖 2- 2 雙傳輸線轉換單傳輸線示意圖

由上圖可知，單傳輸線與雙傳輸線是可以互相轉換的，藉由式(2.2)配合[1]的傳輸 線 ABCD 參數轉換。

𝑍₁

𝑍₂ = −𝑡𝑎𝑛 𝜃₂

𝑡𝑎𝑛 𝜃₁ (2.3) 由式(2.3)加上[1]傳輸線 ABCD 參數可得:

𝐵 = 𝑗𝑍₁𝑠𝑖𝑛 𝜃₁∗ 𝑗𝑍₂𝑠𝑖𝑛 𝜃₂

𝑗𝑍₁𝑠𝑖𝑛 𝜃₁+ 𝑗𝑍₂𝑠𝑖𝑛 𝜃₂ (2.4) 將式子整理過後再將(式 2.4)帶入，可以得出𝑍₁的參數，𝑍_𝑂為 1/4λ傳輸線 的阻抗。

⟹𝑍_𝑂 = 𝑍₁𝑠𝑖𝑛 𝜃₁𝑍₂𝑠𝑖𝑛 𝜃₂

𝑍₁𝑠𝑖𝑛 𝜃₁+𝑍₂𝑠𝑖𝑛 𝜃₂ (2.5)

⟹ 𝑍₁ =𝑍(𝑐𝑜𝑠𝜃₂− 𝑐𝑜𝑠𝜃₁)

𝑠𝑖𝑛 𝜃₁𝑐𝑜𝑠𝜃₂ (2.6) 接著再次利用(式 2.5)，就能得出𝑍₂的參數如下:

𝑍₂ = −𝑍𝑐𝑜𝑠𝜃₂− 𝑐𝑜𝑠𝜃₁

𝑐𝑜𝑠𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ (2.7)

2.3 傳輸線的結構

每一段傳輸線都可以視為雙埠網路，每一個微波網路的內部皆可以定義為 ABCD 矩陣，利用[1]傳輸線的 ABCD 參數，本節將介紹單傳輸線轉換雙傳輸線 背後的意義，在雙傳輸線等效於電容與電感之後，在進行並聯就能使得傳輸零點 的產生，但其實要利用雙傳輸線控制傳輸零點有幾個條件，本章節將會詳細介紹 需要克服的情況。

首先我們需要知道，轉換成雙傳輸線之後，每一條傳輸線的等效模型，接著 才能探討是否每一個阻抗都能適用於模型，如果沒辦法完全等效一條傳輸線這樣 得出的電感、電容式不匹配的，這樣就沒辦法有效的去控制傳輸零點的位置。

接著我們來看雙傳輸線中任一傳輸線的 T 型[15]轉換公式:

Z₁₂

Z₁₁-Z12 Z₂₂-Z21

j* X/2 j* X/2

jβ

圖 2- 3 傳輸線 T 模型

藉由[1]ABCD 矩陣使用 Z 參數，配合[1]傳輸線參數得出公式:

𝑍₁₁= −𝑗𝑍₀𝑐𝑜𝑡 𝛽ℓ (2.8) 𝑍₁₂ = 𝑍₂₁= −𝑗𝑍₀𝑐𝑠𝑐 𝛽ℓ (2.9) 由此兩式我們可以得知每一個j^𝑋

2皆等於:

𝑍₁₁− 𝑍₁₂= 𝑗𝑍₀𝑡𝑎𝑛𝛽ℓ

2 (2.10) 𝑍₁₂= 𝑗 1

𝑍₀𝑠𝑖𝑛 𝛽ℓ (2.11)

由上述式子可知，如果要利用傳輸線等效電容電感的情況，必須消除 jβ 帶來的效

第三章 電路設計與介紹

3.1 章節介紹

在過往的實驗中，總會把傳輸零點的影響，視為阻礙實驗的因子，但假如可 以控制傳輸零點的位置，就可以將其化為助力，在本文中找了四個電路搭配上雙 傳輸線的轉換，藉由等效電容與電感的並聯，進而控制傳輸零點的位置。在此四 個電路中，除了要注意中心頻率的響應是否匹配，還有在高頻產生的零點是否為 可以控制的選項，對於功率分配器，中心頻率的功率比值也是非常重要的觀察 點。

本章節第一個電路，是傳統的分支耦合器，將其中成對的兩段傳輸線，分別 轉換為雙傳輸線的並聯，在藉由傳輸線的特性，不同的電氣長度，可以等效於電 容或電感，進而產生零點。第二個電路，則是考慮另一種傳統的電路，將不等功 率分配器搭配上傳輸線的轉換，進而實現中心頻率匹配，而在高頻也能產生理想 中的零點；第三個電路，將第二的電路在延伸，將功率比 1:3 的電路變成

1:3.5:9，進而思考帶來的影響是否會使得中心頻率無法匹配抑或是高頻零點無法 掌握；第四個電路，我們更將功率比變成 1:3.4:3.5:14，去探討越複雜的電路會不 會使功率比值和零點位址無法兼得的情況。

3.2 叉路耦合器的雙傳輸線轉換設計(Type1)

3.2.1 設計規格與設計流程

對於 Type1 電路，設計的是將環形電路的單傳輸線轉換為雙傳輸線，接 著將展示設計規格：

 操作頻率: 1.8 GHz；

 板材規格：RO4003C 介電系數：3.65

正切損耗(Loss Tangent)：0.006 板材厚度(Thickness)：1.524mm

在此我們已經設定好基本的板材參數，可以開始著手設計理想電路。

依照[1]中基本的 branch-line coupler，四段傳輸線成對稱，且長度皆為 1/4 λ，一對阻抗為⁵⁰

√2Ω，而另一對則為 50Ω，在轉換雙傳輸線中，是可以任意選擇 想要轉換的傳輸線，但必須下上對稱的結構一起轉換，抑或是左右對稱的結構一 起轉換，以本文為例，使用上下對稱的結構互相轉換的理由是，假如只單對上半 部的結構做雙傳輸線轉，在 Port1 與 Port2 的路徑是可以形成開路，但訊號流動的 過程，如果不是成對轉換，訊號從 Port1 出發依然可以藉由 Port3 與 Port4 的路徑 通過，而無法產生預期的傳輸零點位置。

這此案例中有兩種轉換的方式，一種是為上下對稱之雙傳輸線轉換，而另一 種則為左右對稱之雙傳輸線轉換。藉由下圖可以得知，左右轉換時一樣會形成傳 輸零點。

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Frequency (GHz)

5.0 0

-20 -40 -60 -80

Magnitude(dB)

Ideal: |S11| |S21| |S31| |S41|

圖 3-2-1 左右對稱結構之雙傳輸線轉換

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Frequency (GHz)

5.0 0

-20 -40 -60 -80

Magnitude(dB)

Ideal: |S₂₃| |S₂₄| |S₃₄|

圖 3-2-2 左右對稱結構之雙傳輸線轉換

我們可以藉由上述兩張圖，得知在左右對稱的傳輸線進行轉換後一樣會有雙 傳輸線，藉由一起轉換雙傳輸線，確保零點形成時，訊號不會經由另一條未轉換 之傳輸線通過，使得傳輸零點無法如期產生。而此論文中針對上下對稱之傳輸線 做深入討論。

在理想的基本電路響應圖中，可以看到我們設計了一個頻率在 1.8 GHz 的分 支耦合器電路接著我們就能開始進行雙傳輸線的轉換，來驗證傳輸零點的位置是 可以控制的。

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Frequency (GHz)

5.0

Magnitude(dB)

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70

Ideal: |S₁₁| |S₂₁| |S₃₁| |S₄₁|

圖 3-2-3 基本分支耦合器電路之 Ideal 響應圖

接著進入雙傳輸線轉換的環節，我們利用先前提到的式子，轉換的時候需要 滿足幾點要求，阻抗不能太小，用來消除jβ對傳輸線的影響，接著讓兩段傳輸線 滿足一段大於 90°電氣長度，另一段小於 90°電氣長度，讓我們可以模擬電容並 聯電感進而產生傳輸零點；我們先假設，此電路設計的情形為圖 3-2-4。

Z

₀

1

Simulation: |S₂₁|

|S₁₁| |S₂₁|

𝜃₂’=51×^4.152

1.8 = 117.64 (3.5𝑓) 𝜃₁’- 𝜃₂’= 179.92 ≅ 180 (3.5g) 由此可知，此點也是經由並聯雙傳輸線而得到的零點之一，由此可以驗證在 無損耗的情況下，確實是可以實現傳輸零點的控制，再此我們討論針對傳輸零點 的範圍做討論。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 -50

0

-100

Ideal: |A| |B| |C| |D|

Frequency (GHz)

Magnitude(dB)

|E|

圖 3-2-6 傳輸零點位置圖

圖 3-2-6 中我們將針對五種雙傳輸線的組合，來分析傳輸線的阻抗和電氣長 度與傳輸零點的關係，在 35.35Ω的傳輸線轉換為雙傳輸線，我們將五種雙傳輸 線的組合分為 A、B、C、D、E，在此列出參數作為範圍討論的參考，A 產生零 點的位置在 3.6 GHz 與 7.2 GHz 和 7.044 GHz，在 A 組合中 Z1= Z2=76.8Ω，

𝜃₁=113°，𝜃₂ = 67°，B 產生零點的位置在 3.6 GHz 與 7.2 GHz 和 4.263 GHz，在 B 組合中 Z1= Z2=89.7Ω，𝜃₁=128°，𝜃₂=52°，C 產生零點的位置在 3.6 GHz、7.2 GHz、3.056 GHz、9.169 GHz，在 C 組合中 Z1= Z2=117.478Ω，𝜃₁=143°，𝜃₂=37

°，D 產生零點的位置在 3.6 GHz、7.2 GHz、2.381 GHz、7.15 GHz，在 D 組合中

Z1= Z2=188.731Ω，𝜃₁=158°，𝜃₂=22°，E 產生零點的位置在 3.6 GHz、7.2 GHz、

1.95 GHz、5.856 GHz、9.762 GHz，在 E 組合中 Z1= Z2=580.13Ω，𝜃₁=173°，

𝜃₂=7°。

從上述參數可得知範圍，接著在選擇範圍時，需考量參數是否得以實現。

3.2.2 Layout 模擬過程

本章節設計叉路耦合器電路板材採用 Rogers 4003C 作為基板來設計，製作 材質的介電係數（dielectric constant ε^r = 3.65），板材厚度為 1.524 mm，

損耗正切 ( Loss tangent = 0.0065 )，電路的饋入方式採用 50 歐姆 SMA 接頭 饋入，詳細尺寸規格如圖所示。

Port 1 Port 2

Port 3 Port 4

圖 3-2-7 電路布局圖

圖 3-2-8 實際布局圖

3.2.3 結果與討論

Simulation: |S21|

|S11| |S21|

|S11| |S31|

|S31| |S41|

|S41|

圖 3-2-9 實際響應圖

圖 3-2-9 為利用 Keysight ADS 2013 (Advanced Design System)模擬與使用向量 網路分析儀 E5071C 進行量測之 S 參數圖。圖 3-2-9 可以見到在模擬布局時中心 頻率 1.8 GHZ的時候匹配，響應也與 Ideal 相似，在中心頻率的數值分別為 S11 =-22.705 dB，S21=-3.277 dB，S31=-3.218 dB，S41=-20.434 dB，在高頻零點的位置分 別落在 3.6 GHz 和 4.152 GHz 附近，是與 Ideal 情況相似，但在實際布局中則產生

3.3 功率比 1:3 威爾金森功率分配器之傳輸線轉換設計(Type2)

𝑍_1𝑏 =𝑍_1𝑎

𝑙² = 𝑍₁√(1 + 𝑙²)

𝑙³ (3.6e) 𝑅₁ = 𝑍_𝑎(𝑙 + 𝑙⁻¹) (3.6f) 利用 Za=50Ω為基礎，加上 1:3 的功率比(l²=3)開始設計，藉由[2]文中公式可 得 Z2=86.6Ω，Z3=28.86Ω，Z0a=131.6Ω，Zob=43.87Ω，R=115.47Ω，在此處的 Z3

和 Z2皆為阻抗轉換器，因為在計算不等功率時，不可能剛好與端埠的阻抗相同，

因此需要藉由阻抗轉換器連接，以此參數為設計就能設計出基本的威爾金森功率 分配器，響應圖如下:

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Frequency (GHz)

5.0

Magnitude(dB)

0 -20 -40 -60 -80

Ideal: |S₁₁| |S₂₁| |S31| |S₃₂|

圖 3-3-2 基本分支耦合器電路之 Ideal 響應圖

接下來以基本的威爾金森功率分配器的基礎下，做雙傳輸線的替換，讓我們期 望的零點出現在想要的位置。

在中心頻率的響應分別為，S11為-65.322 dB，S21為-6.021 dB，S31為-1.249 dB，

S32為-74.501 dB。

我們將上圖的 Z3線段藉由 ABCD 矩陣轉換成雙傳輸線，使得他的響應能夠照 我們推算的等效於電容與電感的並聯，進而產生傳輸零點，更藉由阻抗與電器長度 的改變去改變傳輸零點的位置。

Port 1

𝒁_𝒂 𝒁_𝒑

𝒁𝟏b 𝒁_𝟏a

𝑹_𝟏 𝒁_𝟐

Port 2 _𝒁

𝒃 𝒁_𝒄

𝒁𝒑 𝒁_𝒑

Port 3 𝒁_𝟑𝒂, 𝜽_𝟏

𝒁_𝟑𝒃, 𝜽_𝟐

圖 3-3-3 雙傳輸線轉換電路圖

藉著公式得出的解有無限多個，我們選擇其中的一組，Z3a=Z3b=118.2Ω，

𝜃₁=140°，𝜃₂ =40°，讓電氣長度大於 90°與電氣長度小於 90°的傳輸線，可以分 別等效電容與電感，轉換後的響應圖如下。

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

由此可知另一個的點也同樣是由並聯雙傳輸線而產生的，就理想的電路來 說，這個實驗是可行的，再來就是設計實際的電路去驗證是否在有損耗的情況 下，依然可以利用同樣的條件達成一樣的情況，再來我們針對傳輸零點做討論。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 -50

0

-100

Frequency (GHz)

Magnitude(dB)

Ideal: |A| |B| |C| |D|

圖 3-3-5 傳輸零點位置圖

圖 3-3-5 中我們將針對五種雙傳輸線的組合，來分析傳輸線的阻抗和電氣長 度與傳輸零點的關係，在 37.98Ω的傳輸線轉換為雙傳輸線，我們將五種雙傳輸 線的組合分為 A、B、C、D，在此列出參數作為範圍討論的參考，A 產生零點的 位置在 3.6 GHz 與 7.2 GHz 和 7.713 GHz，在 A 組合中 Z1= Z2=81.3Ω，𝜃₁=111°，

𝜃₂ = 69°，B 產生零點的位置在 3.6 GHz 與 7.2 GHz 和 3.95 GHz，在 B 組合中 Z1= Z2=100.648Ω，𝜃₁=131°，𝜃₂=49°，C 產生零點的位置在 3.6 GHz、7.2 GHz、

2.656 GHz、7.969 GHz，在 C 組合中 Z1= Z2=156.68Ω，𝜃₁=151°，𝜃₂=29°，D 產 生零點的位置在 3.6 GHz、7.2 GHz、2 GHz、6 GHz、10 GHz，在 D 組合中 Z1= Z2=485.547Ω，𝜃₁=171°，𝜃₂=9°。

從上述參數可得知範圍，接著在選擇範圍時，需考量參數是否得以實現。

3.3.2 Layout 模擬過程

本章節設計不等功率威爾金森功率分配器電路板材採用 Rogers 4003C 作為 基板來設計，製作材質的介電係數（dielectric constant ε^r = 3.65），板材厚 度為 1.524 mm，損耗正切 ( Loss tangent = 0.0065 )，電路的饋入方式採用 50 歐姆 SMA 接頭饋入，詳細尺寸規格如圖所示。

Port 1

Port 2

Port 3

Unit: mm 圖 3-3-6 Layout 布局圖

圖 3-3-7 實際布局圖

3.3.3 結果與討論

圖 3-3-8 為利用 Keysight ADS 2013 (Advanced Design System)模擬與使用向量 網路分析儀 E5071C 進行量測之 S 參數圖。圖為在中心頻率 1.8 GHz 模擬與量測的

預期的影響。但依舊可以證明在不等功率的威爾金森功率分配器中，一樣可以兼顧

預期的影響。但依舊可以證明在不等功率的威爾金森功率分配器中，一樣可以兼顧

在文檔中 單傳輸線轉雙傳輸線之傳輸零點位置討論 (頁 13-56)