第二章 模型分析
本文建構異質性廠商模型，廠商在生產的邊際成本上呈現異質性。在勞動部門，假設工 會組織擁有完全的議價能力，可以決定工資水準。
2.1 需求面
假設商品市場為獨占性競爭,代表性消費者對財貨集合Ω 內財貨的消費偏好，可以用以下 CES 型態的效用函數5表示
ρ ω (ω)ρ ω)1/ (
∫
∈Ω=
q d
U
，ρ ∈(0,1) (2.1.1) 其中，ρ表示產品間的替代性，其值愈大表示市場愈競爭。q
(ω)為ω 財消費數量，ω ∈ Ω 。令
P
Q
=E
表示被消費的總合財貨，或稱實質產出指標(real output index)，當中 E 為 整體社會的總支出，因為不考慮儲蓄，故恰等於該社會的總收入。根據最適化原理6，可以求 得ω 廠商所面對的市場需求，) (ω
q
=Q
σω ω )−
) (
) ( (
P
p
(2.1.2)當中
p
(ω)為ω 財價格，P
= (∫
ω∈Ωp
(ω)1−σd
ω)1−1σ 表示總合價格7，或稱物價指數。而σ 則 為消費者對於ω 財貨的需求價格彈性8。
5 固定替代彈性(Constant Elasticity of Substitution,CES)型態之效用函數，效用函數中的ρ表示異質性產 品間的替代性, 1/(1 − ρ) 表示兩異質性產品間的替代彈性，為大於一的固定值。替代性與替代彈性兩者同 方向，值愈大，產品間的差異性愈低，市場愈接近完全競爭。有關效用極大的推導，詳細步驟請參見附錄 A1。
6 Dixit and Stiglitz (1977)把直接效用函數
U
，表達成消費總合財貨Q
的間接效用函數型態，即Q
≡U
。7 有關總合價格的推導，詳細步驟請參見附錄 A2。
8 需求函數 ω = (ω))−σ (
)
(
P
Q p
q
，lnq
(ω) = lnQ
+σ ln(P
)−σ lnp
(ω)，根據需求價格彈性定義 )( ln
) ( ln
ω σ ω
p d
q
−
d
= ，需求函數
q
(ω)具有固定需求彈性σ =1/(1 − ρ) ，ρ
為異質性產品間的替代性。2.2 生產面
勞動為唯一的生產要素，要素報酬為工資率
w
。廠商的生產技術ϕ
f q
l
= + ，l
為勞動投 入，f
> 0為固定生產成本，ϕ ∈ ( 0 , ∞ )
描繪各家廠商的生產力，G ( ϕ )
為其累積分配，g ( ϕ )
則為密度函數。因為各廠商的生產力ϕ 不相同，故其邊際成本ϕ
1 亦不相同，藉以表彰廠商的
異質性。
在工資率
w
之下，廠商的總成本函數為 ),
(
w
TC
ϕ =wl
=q w
wf
+ ϕ(ϕ) ， 廠商的收益函數為) ,
(
w
r
ϕ = (ϕ, ))−σ(
P
w
pQ p
= ( )1−σP
R p
，在 CES 的效用函數之下，廠商的產品訂價9為邊際成本的加成(mark up)，即 )
,
(
w
p
ϕ =ρ
1
MC
= ρϕw
， (2.2.1)因此廠商利潤10函數 ) , (ϕ
w
π =
r
(ϕ,w
)−TC
= σ ϕ, )(
w
r
-wf
(2.2.2)
9 廠商利潤極大之一階條件 ( ,
w
)q
π ϕ∂
∂ =0，得到， 1 )
1 ( − σ
= p
MR
及ϕ
MC
=w
由
MR
=MC
，得ϕ σ
p
− 1) =w
1
( ，
ρ σσ 1
1 =
− 。
10 π(ϕ,
w
)=r
(ϕ,w
)−TC
=p
(ϕ,w
)q
(ϕ,w
)−wl
=p w q w wf q w w
ϕ ϕ ϕ
ϕ, ) ( , ) ( , )
( − −
=
q w w
w q w
p
(ϕ, ) (ϕ, )− (ϕϕ, ) -wf
=p
(ϕ,w
)q
(ϕ,w
)-w p
w q w
p
ρρϕϕ ϕ, ) ( , )
( -
wf
=
p
(ϕ,w
)q
(ϕ,w
)(1− ρ)-wf
=σ ϕ, )
(
w
r
-wf
2.3 勞動部門
假設勞動部門存在一勞動工會組織，該組織有完全的談判力量，可以決定工資率，並與 雇主訂立契約，提供勞動力。
令
w
為政府所制定的最低工資率，依據 Hall and Lilien(1979)、Farber(2001)等，認為工會組織需兼顧勞工福利
( w − w )
與勞動雇用量L ( w )
，並訂定工會組織的目標函數為，) , ( L
w
U
=(w
−w
)L
(w
) (2.3.1)當中，勞動需求函數11
L ( w )
=∫
i∈Ω(f
+q
i(ϕ ϕ
,w
))di
=Mf
+φ ( ϕ
*, w )
，恰為研發性的勞動需求（
Mf
）與生產性的勞動需求（φ ( ϕ
*, w )
）之和。而φ ( ϕ
*, w )
=ϕ ϕ ~ ~ , ) ( w
q
，∞
<
=
∫
0∞ − −) 1 /(
1
1 ( ) )
~ ( ϕσ μ ϕ ϕ σ
ϕ
d
(A2.1)其中
μ ( ϕ )
為ϕ
之分佈g ( ϕ )
，在[ ϕ
*, ∞ )
之條件分佈，⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ≥
= −
otherwise ,
0
if
*) , ( 1
) ( )
(
ϕ
*ϕ ϕ ϕ ϕ
μ G
g
工會所面臨的問題是，選擇最適化的工資率
w
∗，使得目標函數極大。利用最適化原理可 以求得最適工資率為12
11 有關勞動需求函數
L ( w )
的詳細算式，請參見附錄 A3。12
max{( w − w ) L ( w )}
=max
{( w − w )
(Mf
+φ ( ϕ
*, w )
)}let
∂ w
∂ ( w − w )
(Mf
+φ ( ϕ
*, w )
)=0，得到+
+ (
*, w
*)
Mf φ ϕ
+( w
*− w )
−
) , (
*w
*w
ϕ
φ
=0上式的等式左邊前兩項和為正，表示工會有工資增加的誘因，會增加工會組織會員，該式左邊第三項為負項，
表示提高工資會使廠商產出減少，一個正面效果，一個負面效果，因此最適工資
w
*的實數解存在。移項後w
*=) , (
)) , ( (
*
*
*
*
w w Mf
w
ϕ φ
ϕ φ
− +
+w
(2.3.2)上式又可改寫為
)
( w − w φ
w+φ
+Mf
=0 即φ d w
w )
( −
+( φ + Mf ) dw
=0 (2.3.3) 但上式為一般正合型微分方程式(the general exact differential equation)，恰可求得解13
) , ( ϕ
*w
φ
=w w
Mwf c
−
−
(2.3.4)上式右邊之分子部分
c − Mfw
需要大於零，最適工資w
*才會高於基本工資w
，工會組織 議價才有意義，因此本文稱c − Mfw
>0 為「工會組織議價條件」。當中，c 為總合廠商的固
可以求得
w
*=) , (
)) , ( (
*
*
*
*
w w Mf
w
ϕ φ
ϕ φ
− +
+w
。13 (2.3.3)式為一般正合型微分方程式，求解如下：
) , ( w
F φ
=∫ ( w − w ) d φ
+ψ ( w )
=( w − w ) φ
+ψ ( w )
) , ( w w F φ
∂
∂
=φ
+ψ ′ ( w )
=( φ + Mf )
⇒
ψ ( w )
=Mwf )
, ( w
F φ
=∫ ( w − w ) d φ
+ψ ( w )
=( w − w ) φ
+ψ ( w )
=( w − w ) φ
+Mwf
=c)
( w − w φ ( ϕ
*, w )
+Mwf
=c得
φ ( ϕ
*, w )
=w w
Mwf c
−
−
定成本與生產性的勞工獲取高於最低工資
w
的加總。c − Mfw
如果低於零，工會組織決定的最適工資
w
*將會低於最低工資w
，此時勞工權益受基本工資保障，故稱之「工會組織議 價條件」。滿足工會組織議價條件後，依
φ ( ϕ
*, w
*)
=w w
fw M c
−
−
*
*
*
可求得工會所決定的最適工
資，稱此式為工資形成(Wages Formation，WF)條件。
(WF)
φ ( ϕ
*, w
*)
=w w
Mfw c
−
−
*
*
(2.3.5)
2.4 均衡
本文模型計有
ϕ
*、w
與 M 三個待解的內生變數，以實例說明，此三個內生變數，廠商能 力底限ϕ
*、最適工資率w
*、廠商數量M ，唯一均衡解存在。
*2.4.1 模型均衡
有為數眾多的潛在進入者（potential entrants）準備進入市場，支付固定的沈沒成本
f
e（例如研發支出）之後，潛在進入者才獲悉14本身的生產能力。當低於最低生產能力水準時，
即
ϕ < ϕ
* ，則此進入廠商不會進行生產，而是選擇離開市場。因為進入市場後的仍需支付固 定的營運成本wf
，因此，π ( 0 , w ) = − wf
<0。故知恆存在最低生產能力水準(cut off level){ : ( ) 0 }
*
= inf ϕ π ϕ >
ϕ
，定義ϕ
*為進入廠商能力底限，即ZCP：
π ( ϕ
*, w ) = 0
(2.4.1)本文稱之為廠商能力底限(Zero Cutoff Profit，ZCP)條件。反之，當
ϕ > ϕ
*，表示營運利潤
14 在廠商支付固定生產成本進入市場之前，廠商並不知道本身真正的邊際成本，要一直等到進入市場之後廠商 才得知本身真實邊際成本，所有廠商進入國內市場之前都是預期進入利潤為零。
（operating profits）為正，該廠商將進入市場。因此，對於任一潛在進入者而言，其進入 市場的營運利潤期望值可表示為：
∫
∞∗( )
=
ϕπ ϕ μ ϕ ϕ π ( , w) d
因為進入市場沒有任何障礙，故均衡時要滿足以下零利潤條件(Free Entry，FE) FE：
π
=f (2.4.2)
e在廠商數目方面，均衡的廠商家數恰等於總合收益除以平均收益水準
r
。又因要素只有勞動 一種，因此總合收益(R)恰等於整體的勞動工資總和，即wL (w )
。因此，均衡的廠商數量可 以由下式求得：(FMS)
) (
) (
*
*
*
*
f w w L w r
M R
= +
= σ π
， (2.4.3)本文稱此式為廠商數量(Firms，FMS) 條件。
本文模型計有
ϕ
*、w
與 M 三個待解的內生變數，利用 ZCP 與 FE 條件可求得ϕ
*，由WF 條件可解出
w
*，而 FMS 條件則可解出M
*，求得唯一均衡解(ϕ
*，w
*，M
*)存在15。2.4.2 實例說明
現以廠商的能力ϕ 服從均勻分配為例，在最適工資
w
*情形下，如果廠商的能力ϕ 為均 勻分配(uniform distribution)，記為ϕ ~U
(0,1)，其中μ ( ϕ )
為ϕ
之分佈g ( ϕ )
，在[ ϕ
*, 1 )
之條件分佈16，
⎩⎨
⎧ ∈
=
elsewhere
g
0,) 1 , 0 ( , ) 1
(ϕ ϕ ，
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ∈
−
=
otherwise ,
0
) 1 , ( if
*) , ( 1
) ( )
(
ϕ
*ϕ ϕ ϕ ϕ
μ G
g
，
由平均生產力 1
1 0
1 ( ) )
~ = (
∫
∞ϕσ− μ ϕ ϕ σ−ϕ
d
，得
15 有關唯一均衡解，詳細算式過程請參見附錄 A5。
16 廠商生產力分配
g ( ϕ )
，G(ϕ)為生產力之分配函數，生產力底限水準ϕ
*，因此進入廠商利潤高於零之機率 為 1-G(ϕ*)。ϕ~ = 1
f
w
*=) , (
)) , ( (
*
*
*
*
*
w w f
M
w
ϕ φ
ϕ + φ
−
+w
上式等號右邊第一項分母
φ
w( ϕ
*, w
*)
，係由(2.3.4)對工資率w
偏微分得到，) , (
*w
*w
ϕ
φ
=*
)
2(
) (
) (
w
w
ww
Mwf c
w w Mf
−
=−
−
−
−
= * 2*
) ( w w
c w f M
−
−
(2.4.9)由以上(2.4.6)、(2.4.8)、(2.4.9)等三式，清楚說明經濟體之三個內生變數，廠商能力底 限
ϕ
*、最適工資率w
*、廠商數量M ，唯一均衡解存在。
*第三章 比較靜態分析
w
由(3.1)式，
∂ w
∂ ϕ
*>0，最低工資率調整對廠商進入的能力底限ϕ 之影響為同方向，最低*
工資率調整，能力底限也隨著調整，因為進入廠商零利潤條件之下的能力底限ϕ ，最低* 工資率上升，邊際成本上升，利潤變為負，能力底限ϕ 要上升，收益才足以支付固定生* 產成本，而原來正好是能力底限的廠商，因已經無法支付固定成本導致退出市場。
2. 當 c − Mwf >0，為工會組織議價條件成立時，經濟體的最低工資率上升時，廠商邊際利 潤遞減，最低工資調整對工會組織的最適工資之影響為同方向。
由(3.2)式，
w w
∂
∂
*>0，因為最低工資率上升，如果工會組織議價條件成立，工會組織決定
最適工資也隨著調升，解釋各國工會組織成立保障勞工權益之角色功能，工會組織決定的 最適工資如果高於基本工資，則工會組織開始蘊釀議價等方式追求更好工作條件。
3. 假設生產效率變化低於生產性的勞動需求變化，總體生產性的勞動需求，隨最適工資 w
*上
升而下降，當經濟體的最低工資上升時，廠商邊際利潤遞減，廠商數量 M
*會隨著下降。
由(3.3)式，
w M
∂
∂
*<0 最低工資率調升，經濟體的勞動者報酬上升，(3.1)式說明當最低
工資率
w
上升時，能力底限上升趨勢造成市場更競爭，導致部分廠商離開市場，對廠商 數量為反方向的影響，廠商數量會下降。3.3 實例說明
現以廠商的能力ϕ 服從均勻分配為例，在最適工資
w
*情形下，如果廠商的能力ϕ 為均勻分 配(uniform distribution)，記為ϕ ~U
(0,1)，其中μ ( ϕ )
為ϕ
之分佈g ( ϕ )
，在[ ϕ
*, 1 )
之條件分佈， ⎩⎨⎧ ∈
=
elsewhere
g
0,(3.2.3)代入(2.4.6)，得
M
*=(3.2.3)代入(2.4.8)，得
ϕ =*
w
上升時，勞動需求L
(w
*)有上升的趨勢，起因於最低工資率w
上升，有些低生產力廠商 面臨生產力底限ϕ 上升而導致退出市場，市場重新分配之後體質健全的廠商勞動需求上升，* 亦即較高的最低門檻有助於促進就業，而勞動需求=研發性的勞動需求與生產性的勞動需求之 和，研發性的勞動需求與生產性的勞動需求上升，顯示最低工資率w
上升對經濟體並非一定 帶來傷害。
上式等號最右邊式分子，
ϕ
w*( 2 w
*− w ) + ( 1 + ϕ
*) − w
w*( 1 − ( ϕ
*)
2)
首項為正，第二項也為正，第三項當
ϕ
*較接近 1 時，三個項的總和必定>0。當
ϕ
*較高時，w w L
∂
∂ ( *)
= * * * 2
2
*
*
*
*
*
) (
) ) ( 1 ( )
1 ( ) 2
(
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
w w w
w w
c
ww
w−
−
−
− +
+
−
>0。第四章 結論
本文建構異質性廠商模型，當中各家廠商的生產力各不相同。此外，工會組織擁有完全 的議價能力，可以依勞工福利與就業水準決定勞動工資率。在此架構下，主文探討最低工資 率變動對均衡的廠商生產力底限、最適工資、廠商數量的影響。值得一提的是，在異質性廠 商模型，只有生產力到達一定水平的廠商才可以在市場上存活。當面臨外生的環境變動（例 如，本文所探討的調整最低工資率），將引發廠商存活門檻的調整。
首先，本文發現當生產效率變化低於生產性的勞動需求變化時，最低工資率變動對於廠 商的存活門檻，勞動工資率發生同向的作用，對於廠商家數發生反向的作用。最低工資上升，
邊際成本上升，利潤變為負，能力底限要上升，收益才足以支付固定生產成本。最低工資率 上升，如果工會組織議價條件成立，工會組織最適化決策內生決定最適工資也隨著調升，解 釋各國工會組織成立保障勞工權益之角色，工會組織決定的最適工資如果高於基本工資，則 工會組織開始蘊釀議價等方式追求更好工作條件。當最低工資率上升時，能力底限上升趨勢 造成市場更競爭，部分廠商離開市場，對廠商數量為反方向的影響，廠商數量會下降。
其次，本文發現工會組織議價條件，最適工資高於基本工資率，工會組織議價才有意義，
「工會組織議價條件」為總合廠商的固定成本與生產性的勞工獲取高於最低工資率
w
的加 總。議價條件如果低於零，工會組織決定的最適工資將會低於最低工資率，此時勞工權益受 基本工資保障，故稱之「工會組織議價條件」。最後，令人注意的是最低工資率對勞動需求影響為同方向，當最低工資率上升時，勞動 需求有上升的趨勢。最低工資率上升，某些低生產力廠商因為生產力底限上升導致退出市場，
市場重新分配之後獲利廠商勞動需求上升，亦即較高的最低門檻有助於促進就業，研發性的 勞動需求與生產性的勞動需求上升，顯示最低工資率上升，對經濟體並非一定帶來傷害。以 上這些結果對最低工資率調整策略具有相當重要的意涵。
附 錄
⇒
q
(ω)=Q P
(ω)σp
(ω)−σ ， σ附錄 A3 勞動雇用量
勞動雇用量
L ( w )
=∫
i∈Ω(f
+q
i(ϕ ϕ
,w
))di
=
∫
i∈Ωfdi
+∫
0∞ ϕ1Q
(P w
ρϕ )σ μ(ϕ)d
ϕ=
f ∫
i∈Ωdi
+Q ( P w ρ )
σ∫
0∞ϕ1ϕσμ(ϕ)d
ϕ=
Mf
+( ρ )
σw
Q P ∫
0∞ϕ
σ−1μ ( ϕ ) d ϕ
=Mf
+( ρ )
σw
Q P
ϕ~σ−1， 其中24 =∫
0∞ − − < ∞ ) 1 /(1
1 ( ) )
~ ( ϕσ μ ϕ ϕ σ
ϕ
d
。=
Mf
+( ρ ϕ ~ )
σw
Q P
ϕ ~−1=
Mf
+ϕ ϕ ~ ~ , ) ( w q
L ( w )
=Mf
+φ ( ϕ
*, w )
(A3.1)其中，
φ ( ϕ
*, w )
=ϕ ϕ
~ , ) ( ~ w
q
。
24 本文裡面討論的異質廠商生產力水準ϕ 的加權平均ϕ~ ，這些加權平均ϕ~ 反應了不同生產力水準廠商的相對 產出份額，加權平均ϕ~ 與 M 無關，ϕ~ 也表示總合生產力，ϕ~ 總括了在生產力水準分配μ(ϕ) 對於所有總合
24 本文裡面討論的異質廠商生產力水準ϕ 的加權平均ϕ~ ，這些加權平均ϕ~ 反應了不同生產力水準廠商的相對 產出份額，加權平均ϕ~ 與 M 無關，ϕ~ 也表示總合生產力，ϕ~ 總括了在生產力水準分配μ(ϕ) 對於所有總合