結論與展望

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1.3 論文架構

第一章 緒論

第二章 實證

第三章 實例

第四章 結論與展望

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若天平左傾，表示編號1號到編號3^𝑘號的硬幣，其中一枚硬幣較重；若天平 右傾，表示編號3^𝑘+1號到編號2 · 3^𝑘號的硬幣，其中一枚硬幣較重；若天平平衡 則表示編號2 · 3^𝑘+1號到編號3 · 3^𝑘號的硬幣，其中一枚硬幣較重。

根據歸納法步驟，不論是左盤的3^𝑘枚硬幣、右盤的3^𝑘枚硬幣或是沒放上天 平的3^𝑘枚硬幣都可以在秤 k 次的動作之後，從中找到較重的那一枚硬幣。

故得證。

接著要證明，當有3^𝑛+1枚硬幣時，至少需要秤n+1次才能找到較重的那枚 硬幣。3^𝑛+1枚硬幣，相當於鴿籠原理中的鴿子；秤重n 次後有3^𝑛個結果，相當 於鴿籠原理之中的鴿籠，根據鴿籠原理，至少有一個結果之中有兩枚硬幣，則 必須再多秤一次才能找出較重的那一枚硬幣，故至少需要n+1次。

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若天平左傾，表示編號3^𝑘+1號到編號2 · 3^𝑘號的硬幣，其中一枚硬幣較輕；

若天平右傾，表示編號1號到編號3^𝑘號的硬幣，其中一枚硬幣較輕；若平衡則表 示編號2 · 3^𝑘+1號到編號3 · 3^𝑘號的硬幣，其中一枚硬幣較輕。

根據歸納法步驟，不論是左盤的3^𝑘枚硬幣、右盤的3^𝑘枚硬幣或是沒放上天 平的3^𝑘枚硬幣都可以在秤k 次的動作之後，從中找到較輕的那一枚硬幣。

故得證

接著要證明，當有3^𝑛+1枚硬幣時，至少需要秤n+1次才能找到較輕的那枚 硬幣。3^𝑛+1枚硬幣，相當於鴿籠原理中的鴿子；秤重n 次後有3^𝑛個結果，相當 於鴿籠原理之中的鴿籠，根據鴿籠原理，至少有一個結果之中有兩枚硬幣，則 必須再多秤一次才能找出較輕的那一枚硬幣，故至少需要n+1次。

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2.4 固定秤法

2.3已經證明完：在已知一枚硬幣重量有誤但不知其較重或較輕的情況之 下，利用一個無砝碼的天平，可以在n 次的秤重過後，最多從 ^3𝑛−3

2 枚硬幣之 中找到有問題的那枚硬幣並且知道是較輕還是較重。

2.3利用決策樹所得到的證明，以及找尋有問題硬幣的過程我們在此稱之為 動態秤法，根據前一次天平的結果，移動硬幣並決定下一次該如何在天平的左 右盤擺放硬幣，重複此動作進而找到有問題的硬幣。

接下來我們將利用另外一種秤法—固定秤法，這種方法同樣可以在n 次秤 重後，從 ^3𝑛−3

2 枚硬幣之中找到有問題的那枚硬幣並且知道其較輕或是較重。

固定秤法的做法是：每一次天平左右盤所擺放的硬幣個數都一樣，只是放 上天平的硬幣編號不一樣，根據每一次天平的左傾、右傾及平衡三種結果，可 列出一個表格，再來依據每一次天平秤出的結果，並且利用查表的方式，便可 知道是哪一枚硬幣較重或是較輕。

然而固定秤法的想法是容易的，但擺放過程卻不容易，我簡單的給予幾個 擺放的原則：

1. 每一枚硬幣至少需擺放上天平一次，左盤右盤不限制。

2. 任兩枚硬幣，對於n 次的天平中，不能每一次都出現在相同位置(即天平的 左盤、右盤或是未上秤)。

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第三章 實例

本文主要介紹「一枚硬幣重量有誤但不知其較重或較輕」的例子，以秤4次 為例，秤4次最多可從 ³⁴⁻³

2 = 39 枚硬幣之中找到有問題的那枚硬幣並且知道 其較輕或是較重。以下分別是動態秤法和固定秤法的操作過程

3.1 動態秤法

我們先將1號硬幣到13號硬幣放在天平的左盤，14號到26號放在天平的右盤。

 天平左傾

若天平左傾，代表1號硬幣到13號硬幣其中一枚較重(以下簡記為1⁺、 2⁺、3⁺…以此類推)，或是14號硬幣到26號硬幣其中一枚較輕(以下簡記為 14⁻、15⁻、16⁻…以此類推)。後續操作如圖3-1：

○¹ ○² ○³ ○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁷ ○¹⁴○¹⁵ ○⁸ ○⁹ ○¹⁰○¹¹○¹²○¹³○¹⁶○¹⁷○³¹

1⁺2⁺3⁺4⁺5⁺ 18⁻19⁻20⁻21⁻22⁻ 8⁺9⁺10⁺11⁺ 6⁺7⁺16⁻17⁻ 23⁻24⁻25⁻26⁻ 12⁺13⁺14⁻15⁻

○¹ ○² ○³ ○⁴ ○⁵ ○⁶ ○¹⁸○¹⁹○²⁰ ○²¹○²²○²³ ○¹ ○⁸ ○⁹ ○¹⁰○¹¹○¹²

1⁺2⁺ 7⁺ 4⁺5⁺ 21⁻22⁻ 24⁻ 18⁻19⁻ 8⁺9⁺ 13⁺ 10⁺11⁺ 3⁺ 16⁻17⁻ 6⁺ 23⁻ 25⁻26⁻ 20⁻ 14⁻15⁻ 12⁺

○¹ ○² ○¹⁶ ○¹⁷ ○⁴ ○⁵ ○²¹ ○²² ○²⁴ ○²⁵ ○¹⁸ ○¹⁹ ○⁸ ○² ○¹⁴ ○¹⁵ ○¹⁰ ○¹¹

1⁺3⁺2⁺ 17⁻7⁺16⁻ 4⁺ 6⁺ 5⁺ 22⁻23⁻21⁻ 25⁻26⁻24⁻ 19⁻20⁻18⁻ 8⁺ 9⁺ ∅ 15⁻13⁺14⁻10⁺12⁺11⁺

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 天平右傾

若天平右傾，代表1號硬幣到13號硬幣其中一枚較輕(以下簡記為1⁻、 2⁻、3⁻…以此類推)，或是14號硬幣到26號硬幣其中一枚較重(以下簡記為 14⁺、15⁺、16⁺…以此類推)。後續操作如圖3-2：

○¹ ○² ○³ ○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁷ ○¹⁴○¹⁵ ○⁸ ○⁹ ○¹⁰○¹¹○¹²○¹³○¹⁶○¹⁷○³¹

8⁻9⁻10⁻11⁻ 18⁺19⁺20⁺21⁺22⁺ 1⁻2⁻3⁻4⁻5⁻ 12⁻13⁻14⁺15⁺ 23⁺24⁺25⁺26⁺ 6⁻7⁻16⁺17⁺

○¹ ○⁸ ○⁹ ○¹⁰○¹¹○¹² ○¹⁸○¹⁹○²⁰ ○²¹○²²○²³ ○¹ ○² ○³ ○⁴ ○⁵ ○⁶

10⁻11⁻ 13⁻ 8⁻9⁻ 18⁺19⁺ 24⁺ 21⁺22⁺ 4⁻5⁻ 7⁻ 1⁻2⁻ 12⁻ 14⁺15⁺ 20⁺ 25⁺26⁺ 23⁺ 6⁻ 16⁺17⁺ 3⁻

○¹⁰ ○¹¹ ○¹⁴ ○¹⁵ ○⁸ ○² ○¹⁸ ○¹⁹ ○²⁴ ○²⁵ ○²¹ ○²² ○⁴ ○⁵ ○¹⁶ ○¹⁷ ○¹ ○²

11⁻12⁻10⁻ 14⁺13⁻15⁺ ∅ 9⁻8⁻ 18⁺ 20⁺19⁺ 24⁺ 26⁺25⁺ 21⁺ 23⁺22⁺ 5⁻6⁻4⁻ 16⁺7⁻17⁺ 2⁻3⁻1⁻

圖3-2

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 天平平衡

若天平平衡，代表27號硬幣到39號硬幣其中一枚較重(以下我們簡記 為27⁺、28⁺、29⁺…以此類推)或較輕(以下簡記為27⁻、28⁻、29⁻…以此 類推)。後續操作如圖3-3：

○¹ ○²⁷○²⁸○²⁹○³⁰ ○³¹○³²○³³○³⁴○³⁵

27⁺28⁺29⁺30⁺ 36⁺37⁺38⁺39⁺ 27⁻28⁻29⁻30⁻ 31⁻32⁻33⁻34⁻35⁻ 36⁻37⁻38⁻39⁻ 31⁺32⁺33⁺34⁺35⁺

○²⁷○²⁸○³¹ ○²⁹○³⁰○³² ○³⁶○³⁷ ○⁴ ○³⁸ ○²⁷○²⁸○³¹ ○²⁹○³⁰○³²

27⁺28⁺ 33⁻ 29⁺30⁺ 36⁺37⁺ 39⁺ 36⁻37⁻ 29⁻30⁻ 33⁺ 27⁻28⁻ 32⁻ 34⁻35⁻ 31⁻ 38⁻ 39⁻ 38⁺ 31⁺ 34⁺35⁺ 32⁺

○²⁷ ○²⁸ ○³³ ○³⁴ ○²⁹ ○³⁰ ○³⁶ ○³⁷ ○¹ ○³⁹ ○³⁶ ○³⁷ ○29 ○30 ○³³ ○³⁴ ○27 ○28

27⁺32⁻28⁺34⁻35⁻33⁻ 29⁺31⁻30⁺36⁺38⁻37⁺39⁻∅ 39⁺ 37⁻38⁺36⁻ 30⁻31⁺29⁻ 33⁺35⁺34⁺28⁻32⁺27⁻

圖3-3

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另外，39個硬幣的固定秤法與表格，是我利用決策樹的輔助，拼湊出來 的，並非唯一的擺法，然而很可惜地我僅能給出一套原則，而無法給予一套更 有系統或是更加規律的做法，甚至是歸納出一個演算法。我將其結果轉換成三 進位數，如表3-2，再將三進位數與十進位數做對照，如表3-3，試圖從三進位 數或是十進位數字中找尋靈感，屢屢嚐試卻都無功而返，但自找尋的過程中我 歸納出以下幾個造成阻礙的原因：

首先，因為一枚硬幣其較重與較輕的結果是相對的，如表3-1所示，1號硬 幣較重的結果是左左左左，則1號硬幣較輕的結果就一定是右右右右，如此一來 其三進位數與十進位數就必然呈現配對的模式。按照硬幣的編號分配數字，例 如：1號硬幣分配到整數1，即三進位數中的0001，則必然也會伴隨整數2，三進 位數中的0002；2號硬幣分配到整數3，即三進位數中的0010，則必然也會伴隨 整數6，三進位數中的0020，硬幣會將整數分割的破碎凌亂。

再者，1號硬幣較重是分配到整數1還是整數2，又有兩種選擇，每一枚硬幣 都是如此，因此有2^𝑛種，還要搭配每一個天平左右盤擺放個數的限制，例如在 秤4次的實例中，天平的左右兩盤都只能各自擺放13枚硬幣，以上種種原因導致 我窒礙難行，無法在固定秤法上給出一個漂亮的演算法，期許往後若有優秀的 後輩對此感興趣可以加以研究，甚至是完成它。

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參考文獻

中文文獻

(1) 謝維馨，分類工具(3)─決策樹（Decision Tree），上網日期2018年3月1日，

檢自：http://yourgene.pixnet.net/blog/post/118211190-%E5%88%86%E9%A1%9E%E5%B7%A5%E5%85%B7(3)%E2%94%80%E6%B1%BA

%E7%AD%96%E6%A8%B9%EF%BC%88decision-tree%EF%BC%89。

(2) CH.Tseng，決策樹 Decision trees，上網日期2017年2月10日，檢自：

https://chtseng.wordpress.com/2017/02/10/%E6%B1%BA%E7%AD%96%E6%A8

%B9-decision-trees/。

(3) 林宥廷(2014)，有關三源數列的探討，國立政治大學，應用數學系碩士班，

臺北市。

英文文獻

(1) Alan Tucker(1994)，Applied Combinatorics(5^th edition)，John wiley&Sons Inc.

(2) C.L.Liu(2000)，Introduction to Combinatorial Mathematics(International editions 2000)，McGraw-Hill.

(3) Susanna S.Epp(2003)，Discrete Mathematics with Applications，Cengage Learning.

在文檔中 關於一個秤重問題的探討 - 政大學術集成 (頁 7-28)