第一節 結論
壹、圓內接正 n 邊形之區域之一筆畫
一、n 為奇數
圓內接正 n 邊形，n 為奇數時，圓上 n 個頂點相，發現連接之弦 所分割的區域中之奇頂點數為 0。所以，依尤拉定理，圓內接正奇數 邊形，圓上每個頂點相連接之弦所分割的區域，可以從圓上一頂點一 筆畫完成。
二、n 為偶數
圓內接正 n 邊形，n 為偶數時，圓上 n 個頂點相連接之弦所分割 的區域中之奇頂點數為 n。因為，n 大於 2，所以，依尤拉定理，圓內 接正偶數邊形，圓上每個頂點相連接之弦所分割的區域，不可以一筆 畫完成。
貳、圓內接正 n 邊形之區域分割個數
一、n 為奇數
本研究發現 n=3～35 時之執行結果，如表 3-1 所示。表 3-1 中，
AREA 值等於 I＿MAX 值，因此，本研究得知， n 為 3 至 35 的奇數，
圓內接正 n 邊形，圓上 n 個點互相連接所分割出來的區域圖形係為圓 內接 n 邊形，圓上 n 個點互相連接所分割出來的最大區域圖形的一種。
二、n 為偶數
圓內接 n 邊形，圓上 n 個點互相連接，假設沒有三線共點之情形，
所分割之區域數為最多。圓上 n 個點互相連接之弦中，如有一個三線 共點，將減少分割區域數 1 個；如有一個四線共點，將減少分割區域 數(1+2)個；如有一個五線共點，將減少分割區域數(1+2+3)個；依此 類推，如有一個 k 條線共點，將減少分割區域數
k2m
m 個。
本研究發現 n=4～36 時之執行結果，如表 3-2 所示。表 3-2 中，
當 n=4 時，AREA 值和 I＿MAX 值皆為 8，且圓內接任意四邊形，圓上 4 個點互相連接所分割出來的區域數為 8。所以，圓內接正四邊形，圓 上 4 個點互相連接所分割出來的區域圖形係為圓內接四邊形，圓上 4 個點互相連接所分割出來的最小區域圖形的一種。當 n=6 時，AREA 值 等於 30，I_MAX 值等於 31。圓內接六邊形，圓上 6 個點互相連接，如 有 3 線共點時，AREA 值等於 30；如皆為 2 線共點，AREA 值等於 31，
所以圓上內接六邊形，圓上 6 個點互相連接所分割的最小區域數為 30。因此，圓內接正六邊形，圓上 6 個點互相連接所分割出來的區域 圖形係為圓內接六邊形，圓上 6 個點互相連接所分割出來的最小區域 圖形的一種。當 n=8 時，AREA 值等於 88，I_MAX 值等於 99。圓內接 正八邊形，圓上 8 點互相連接之分佈圖如附錄一，三線共點之情形有 8 點，四線共點之情形有 1 點。在圓內接八邊形中，圓內接正八邊形 之三線共點及四線共點數最多，與最大分割區域數相比較，所減少之 區域數最多。因此，圓內接正八邊形，圓上 8 個點互相連接所分割出 來的區域圖形係為圓內接八邊形，圓上 8 個點互相連接所分割出來的 最小區域圖形的一種。
圓內接正偶數 n 邊形，圓上 n 個點互相連接之圖形為一對稱圖 形，分割圖形中至少有一個 n/2 條線相交之點及分佈於頂點至圓心之
半徑上的三線共點，因此，研究者推測圓內接正偶數 n 邊形，圓上 n 個點互相連接所分割出來的區域圖形係為圓內接偶數 n 邊形，圓上 n 個點互相連接所分割出來的最小區域圖形的一種。
第二節 未來發展方向
本研究主要是探討圓內接正 n 邊形，圓上 n 個點互相連接之分割區域 數。但研究結果未能顯示 n 為任何值時之區域分割數，且 n 為偶數時，本 研究亦不能明確地論證圓內接正偶數 n 邊形，圓上 n 個點互相連接所分割 出來的區域圖形係為圓內接偶數 n 邊形，圓上 n 個點互相連接所分割出來 的最小區域圖形的一種。因此，未來研究者可依以下的方向進行探討：
一、求證圓內接正 n 邊形之區域數為最多或最少情形。
二、擴充至圓內接任意 n 邊形之區域個數。
三、對任意區域分割數 y 而言，是否能對應一圓內接 x 邊形。