本文架構:
第一章 緒論
簡介一般金屬電阻率隨溫度變化的關係，並由一些文獻探討，了解 Debye 溫度 的變化，以及說明此研究的重點。
第二章 理論模型
簡介理想晶格時電阻隨溫度的關係，並由古典分布得出電導率，而後介紹 Debye 模 型 ， 與 本 實 驗 所 使 用 的 Bloch- Grüneisen 理 論 ， 以 及 electron- phonon-impurity interference 效應。
第三章 實驗方法及儀器原理
簡介如何運用電弧爐製作樣品及其原理、實驗上如何使用閉路式循環製冷機，
做低溫小訊號精密量測。
第四章 實驗結果與數據分析討論
呈現鋁鈦合金樣品電阻率對溫度的關係，並由 Bloch- Grüneisen 理論及 electron -phonon-impurity interference 效應分析實驗數據。指出無序系統的無序程度對 Debye 溫度的影響，並觀察此兩種模型，在低溫時的關係。
第五章 結論
對整份論文做一個總結。
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第一章、緒論
一般金屬的電阻率會隨溫度而改變，但是很難被定量分析。在純金屬中，電阻率由 電子散射而來的殘餘電阻率0及由晶格(聲子)振動散射形成隨溫度變化的電阻率 ( ) T 兩項組成。晶格振動對電阻率的貢獻可由 Bloch- Grüneisen 理論預測，該項以BG(T)表 示。在 Matthiessen 的規則中[1]，這兩項所貢獻的電阻率互相獨立，因此可以寫下
) ( )
(T 0 BG T
。但在真實導體中，Matthiessen 規則產生了一些偏差[2]。這些偏差 是由於，彈性電子散射和電子聲子散射相互干擾[2]，會對電阻率造成額外的貢獻。這種 貢獻稱之為 electron-phonon-impurity interference 效應，當溫度低於 0.1 Debye 溫度時，
此種效應主導可能會超過 Bloch- Grüneisen 項。在無序系統中量測到的電阻率則可改寫 成(T)0BG(T)int(T)[5]其中int(T)為 electron-phonon-impurity interference 效 應。
Debye 溫度由聲子的色散關係 (phonon-dispersion)決定，一般認為聲子的色散關係 若無太大改變，則 Debye 溫度不會改變。但曾有研究[3]顯示，Debye 溫度會隨電阻率改 變而改變，作者使用 99.999 %的鋁製作成的鋁薄膜(顆粒直徑 200Å )作實驗，Debye 溫度 隨電阻率增加而上升。另一文獻[4]藉由量測鋁薄膜的熱容，得到其樣品 Debye 溫度，研 究中製作純鋁的顆粒狀薄膜，因此有部份鋁氧化成三氧化二鋁，隨著三氧化二鋁的成分 逐漸增加，Debye 溫度亦會有大幅改變 (θD=400 ～300 K)。
鈦和鋁兩者的 Debye 溫度相當接近(鈦:θD= 420 K；鋁：θD=428 K)[1]，因此在鋁金 屬中摻雜極少量的鈦金屬，使鈦能均勻地分佈在鋁金屬中，如此形成的鋁鈦合金之晶體 結構將與純鋁的晶體結構非常接近。所以可預期在純鋁中摻雜少量的鈦時，將不致大幅 地改變聲子的色散關係 (phonon-dispersion)，同時其 Debye 溫度也將不致有太大的改變，
因此我們選用鋁鈦合金作為實驗用的樣品。此篇研究重點分兩部份，其一在藉由摻雜雜 質(鈦)，改變鋁鈦合金的無序程度，量測其電性，並藉由擬合觀察 Debye 溫度的變化；
另一方面觀察低溫時，隨著無序程度增加，由 electron-phonon-impurity interference 效應 主導的電阻率，將逐漸增強，超過 Bloch- Grüneisen 所主導的電阻率。
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二、理論模型
2-1 理想晶格時電阻隨溫度的關係
最簡單的電子在固體中行為模型-自由電子氣模型，古典的傳輸過程是架構在波茲 曼方程式下(Boltzmann transport equation)[1]，我們用直角坐標 r 與速度 v 六維空間來處理，
古典分布函數f(r,v)定義為下:
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2-3 電導率
我們可以由粒子擴散速率的結果得到電導率 ，當我們對粒子通量密度乘上粒子電荷 q ， 且以外在的位能梯度qd/dxqEx取代化學式d / dx，其中E 為電場x x分量的強度。
由式(2-19)可知，對鬆弛時間c的古典氣體，其電流密度為
Jq (nq c/m)E
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m nq2c/
定義為電導率，而電導率與電阻率成反比，故電阻率為
nq c
m
/ 2 故可用波茲曼方程來描述一導體材料之電阻率。
2-4 Matthiessen’s rule
有兩個物理上可分辨的散射來源(例如，被雜質散射)，如果一個機制不會被其他的 機制影響，那麼全部的碰撞率 W 會是加總個別機制的碰撞率:
(2-25) 意味著 relaxation-time 近似為
(2-26) 假設每個機制波向量 K 與 relaxation time 獨立，因為電阻率正比於 ，可以得到:
(2-27) 這樣幾個不同散射機制展現在電阻率上只是相加個別的電阻率。
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2-5 Debye model 的能態密度[1]
在 Debye model 近似下，無論何種偏振類型，其聲速皆為常數u，故其色散關係可 表示成
ω=uK (2-28) 其能態密度則會表示成
(2-29)
首先假設樣品中的 primitive cell 有 N 個，則聲頻聲子的總數目為 N，截止頻率 則 可利用下式導出
(2-30)
則截止頻率 為
(2-31)
將式(2-28)改寫成
(2-32) 此時 的截止波向量 為
(2-33)
又因為在 Debye model 情況之下波向量必須小於截止波向量 ，因此在單原子的晶 格中，小於截止波向量的 K 將會佔盡所有的自由度。
對於每一個偏振方向的熱能為
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2-6 Bloch-Grüneisen 模型
一般金屬並非完美晶格，電子運動時，除了與聲子間交互作用，亦會受到雜質散射 使致電阻率變化。Bloch由波茲曼方程出發假設純金屬中原子的類位能(pseudopotential）
是一常數，晶格震盪遵循Debye model 且忽略聲子的倒逆散射，因此只考慮電子與縱向 聲子的耦合，利用變分法的最低階近似，推導出Bloch-Grüneisen formula:
的耦合常數，u 縱向聲子的聲速，由於此式與Bloch-Grüneisen formula相似，因此同樣在l 較高溫區域BG會與T成正比，較低溫的區域BG則會與 成正比，實驗中我們也可以觀
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察出此特性。
圖 2.1 一般週期性晶格系統金屬之電阻率對溫度關係
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2-7 Electron-phonon impurty interference
在無序的金屬，其電子物質波會做彈性散射，另外電子物質波也會經由電子-聲子 交互作用，做非彈性散射;這兩種散射的歷程，會互相干涉，這種現象稱之為 electron -phonon-impurity interference 效應，Reizer 和 Sergeev[5]考慮全部電子散射機制，然後計 算干涉所貢獻的電阻率int(T)，他們找到在低溫時(約 0.1 Debye 溫度)會隨著殘餘電阻
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三、實驗方法及儀器原理
3-1 實驗方法
3-1-1 樣品製作與量測前置作業:
使用電子天平，將樣品所需的鈦金屬及鋁金屬依莫爾比配製後，依序浸泡在丙酮及 酒精內，再置入超音波震盪器清洗 3 分鐘，待乾燥後再放入電弧爐腔體的樣品座上，以 電弧爐鎢針所拉出來之電弧加熱二金屬熔化為液態後，將把手順時鐘轉動，並使樣品熔 融均勻，待樣品冷卻後，翻面重新再熔。反覆此動作約 30 次，樣品雛型完成。
將完成的樣品雛型，以鑽石切割刀將樣品切成數個長條狀(其長、寬、厚度約為 15 mm、0.5 mm、0.5 mm)，再以丙酮及酒精清潔切割時所沾上的切削油，先將白金線烘烤，
因為烘烤過的白金線較為柔軟，如此方便將線焊於樣品座上的接點。利用點焊機將樣品 與烘烤過的白金線焊在一起做為量測導線。
量測的樣品座為無氧銅，為避免樣品座和樣品導通，樣品座與樣品溫度不一致，所 以先將樣品座塗一層 GE 膠(GE varnish 擁有較高的熱導)確保導熱效果，再用捲菸紙貼 上去，以保樣品與樣品座絕緣。使用 H grease 固定樣品(說明書表示 H grease 適用在 260 K～510 K，但經過本實驗反覆測量，發現當溫度降至 10 K 時，並無脫落的現象)，最後 再將白金線以 GE 膠固定在樣品座上，利用焊錫使白金線與樣品座上的接腳連接，注意 接腳與焊錫的接觸截面積須盡量減少，據本實驗數 10 次的量測，若焊錫太多(球型直徑 約 0.1 cm)，在高溫量測時，熱通量過大，會導致焊錫融化，使得白金線脫落或訊號不 穩定。
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3-1-2 使用 LABVIEW 程式控制做 10 至 500 K 四接點變溫電阻量測:
我們先將電流源 Keithly Model 224 與電壓計 Keithly Model 182 打開，做暖機的動作 (約 1～2 小時)，為了量測順利，先「確認樣品室溫電阻率」:利用四點量測方式，觀察 待測樣品室溫電阻，若量測電壓小於 1 V 則當溫度下降至低溫時訊號極小，難以量測。
因此，需將樣品取下，再用 800 號的砂紙，將樣品磨薄，(先前已確認樣品電阻率，因 為室溫電阻率不會變，所以可以此確認磨薄後樣品的幾何形狀)。重新置於樣品座上進 行量測。將樣品座放入閉路式循環製冷機裡，開啟機械幫浦和渦輪幫浦抽真空，使管路 真空度約為 10-5 torr 左右。啟動閉路式循環製冷機，為了方便控溫，我們需提供熱源來 平衡冷源。LackShore 331 控溫器能穩定的提供熱源(25W)[5]，我們將溫度設定於 300 K，
循環製冷 30 分鐘後(確保冷頭已冷卻)，再將溫度升高至 500 K，待訊號穩定後將溫控器 熱源關掉使系統緩慢降溫，並開始量測。
本實驗將於 500 至 40 K 時自然降溫，40 K 後控溫量測。當系統溫度高於室溫時，
因系統溫度高，外部氣體易進入腔體內，並凝結在冷頭上，故機械幫浦與渦輪式幫浦需 持續運轉，以保持腔體內的真空度。當溫度低於 200 K 時須把腔體真空閥門關閉，避免 溫度過低，導致腔體內壓力變小，機械幫浦油氣被倒抽回腔體，進而汙染系統。當溫度降 至 40 K，此時溫度會急劇往下掉，因此我們採用控溫方式做量測，避免樣品溫度與實際 溫度不同。
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3-2 儀器原理與操作方法
3-2-1 電弧爐 (Arc-melting furnace) 電弧:
電弧爐內介電質為氣體型態。當氣體受到強大的外加電場作用，造成氣體游離現象，
此一狀態的氣體稱為電漿態。電漿態的組成以自由電子與氣體離子為主，當自由電子與 離子分別往正極與負極移動時，產生的高速電子，不斷的撞擊中性空氣分子。因此，介 電質氣體在強大的電場作用力以及高速自由電子的撞擊游離之下，會形成電漿態並產生 高熱。電流因為介電質成為電漿態而急遽上升，此時，電漿態在電場作用下形成之電流 即稱為電弧，其溫度高且電流密度大。
燒熔金屬:
將鋯金屬及金屬材料放置電弧爐樣品座上，腔體通入氬氣(純度99.99%)，做為介電 質。打開機械幫浦及冷卻循環水，令機械幫浦抽電弧爐腔體，約過一小時其內壓力降至 5×10-2 torr左右。緊接著關閉腔體和機械幫浦之間的閥門。將氬氣管路閥門打開，打開 氬氣瓶，確認氬氣瓶上之流量計為約每分鐘2升，再將氬氣吹入腔體大約3至5分鐘，我 們這時須確認洩壓閥有氬氣流出。將氬氣閥門關閉，關上流量計，打開機械幫浦閥門，
再將腔體真空抽至5×10-2 torr。重覆上述動作3至4次。調整適當電流(視材料熔點不同做 為調整，以鋁鈦合金而言約220安培，之前吳至原老師熔燒鈦鋁合金時，所用電流約175
再將腔體真空抽至5×10-2 torr。重覆上述動作3至4次。調整適當電流(視材料熔點不同做 為調整，以鋁鈦合金而言約220安培，之前吳至原老師熔燒鈦鋁合金時，所用電流約175