將研究結果作歸納以及分析，並提供研究後續可行方向之建議。
圖1-1 研究流程圖
二、 問題模式與相關研究
本章分成兩部分，首先就使用者均衡的問題模式加以說明，並對路網成本函 數與電路的關係以及路網結構與電路的關係做進一步的說明；接著介紹路網問題 的數學模式與其文獻回顧，最後回顧使用電路求解應用於交通路網問題的研究。
2.1 使用者均衡
在一個路網中，每個旅行者都有自己的起點與訖點，而每對起點與訖點間都 可能存在多條路徑可以選擇。假設旅行者在選擇路徑有完全資訊時，自然會選擇 對自己耗費的時間(或成本)較少的路徑。若從道路的觀點來看，一般來說路段上 的旅行時間都是和路段的使用者數量成正比的，倘若越多使用者選擇某條特定的 路徑，那麼該路徑的所有路段便會發生塞車的現象，也就是越多人選擇這條路 徑，這條路徑的旅行成本將會越來越高，最後導致使用者選擇其他旅行成本較低 的路徑。
使用者均衡的定義為：對路網中任一對起訖對，在使用者均衡的狀態下時，
起訖對使用任意一條路徑的旅行時間都要相同，且旅行時間都要比該起訖對任一 未使用的路徑都還要低(或是相同)。
這定義表示在使用者均衡的狀態下，路徑的使用者可以分成兩類，一種是若 此路徑有被使用，則所有有使用的路徑的旅行時間都要相同；另一種是若此路徑 沒有被使用，那這條未使用的路徑的旅行時間一定比有使用的路徑長(或相同)。
使用者均衡的概念被廣泛地應用在運輸規劃上，規劃者可將道路使用者的行 為假設為使用者均衡，如此一來便可大致地了解道路使用者在現有路網中旅次將 會如何分配，或是未來旅次產生增加時對現有道路帶來的衝擊；更普遍地是規劃 者能夠知道路網中若增加新的道路或是將現有道路擴寬，對系統中所有道路使用 者將會如何改變分配。
以圖 2-1 一個起訖對(O-D pair)二個路段之路網為例，若以 t1與t2分別代表 路段1 和路段 2 的旅行時間，x1與x2代表該路段上之交通流量，q 為該起訖點的 總流量，則關係式q = x1 + x2且t1 = t2必須滿足。一般而言，各個路段可以用一 成本函數來描述流量與旅行時間的關係(成本函數我們將在 2.2 有更進一步的說 明)。例如，圖 2-2(a)繪製出了路段 1 與路段 2 的旅行成本函數的曲線，顯示路段 1 與路段 2 的流量分別為 x1及 x2時，並顯示在均衡條件下其起訖對間的旅行時 間皆為一特定時間t。另外，圖 2-2(b)繪製出合併考量路段 1 與路段 2 的旅行成
本函數。由其中可以發現，當起訖點流量小於q’時，僅有路段 2 會被使用；然而，
當起訖點流量大於q’時，則二個路段均會被使用，且不同路徑（在此例恰好即為 路段）的旅行時間皆相同，這個現象也就是著名的 Wardrop Principle (Wardrop, 1952)。
圖2-1 單一起訖點對雙路段路網示意圖
圖2-2 單一起訖點對雙路段路網成本函數關係圖
上圖2-2(a)可以輕易地看出兩條不同的路段成本函數，以及他們合併後的系 統成本函數(2-2(b))，藉此可以看出在使用者均衡下使用者選擇路徑所花費的旅 行成本。但是使用繪製圖的方式卻無法求解大型的路網，在這些大型路網中，起 訖對的路徑數量都相當龐大，以至於難以去計算所有路徑的合併成本或是繪製成 本函數圖，更是難以去計算出路網中其他起訖對的影響 (Sheffi, 1985)。
2.2 路段成本函數與歐姆定律
路段的成本函數，通常表示為一種旅行的”抗阻”(impedance)，或是表示成服 務等級，其中可能包含了許多因素，像是旅行時間、旅行安全性、旅行花費、舒 適度…等，一般來說，旅行時間是路段最主要的抗阻，因此路段的成本函數通常 是表示路段的旅行時間。旅行時間的長短通常與路段上的流量有關，我們便會將
成本函數表示為 ta(ω)或 ta(x)，其中 t 為旅行時間，下標 a 表示某 a 路段，而 ω 中又以美國道路局(U.S. Bureau of Public Roads) 所發展的的路段成本函數(簡稱 BPR Function)：
) 乎動彈不得的成本(Sheffi, 1985)。
圖2-3 美國道路局的路段成本函數(BPR Function)
然而在電路中也有類似”抗阻”的概念。電路中的電阻在電壓固定時，電阻越
表2-1 路網問題與電路的相關特性 與起訖對)的使用者均衡流量，直到後來 Beckmann et al.(1956)對使用者均衡建立 了第一套數學模式之後，接著也有發展許多不同類型的數學模式來表示使用者均 衡。我們採用Beckmann et al.所建立的模式，將前述交通指派問題的使用者均衡 流量用以下的數學規劃模式來表示(Sheffi, 1985)。
∑ ∫
a (Origin-based)等三種(Bar-Gera, 2002)。
利用路段流量來求解交通指派問題之使用者均衡流量是最早期發展，也是最 廣泛被使用的方法，其中利用拆解得子問題並修改成本函數來求解為最簡單易懂 的作法。這類型的模式在早期發展出許多的求解方式，像是容量限制法(Capacity Restraint)、漸增法(Incremental Assignment)以及後來最廣被使用的 Frank-Wolfe
演算法(Frank-Wolfe Algorithm，以下簡稱為 FWA)等。但無論是上述何種演算法，
因為都必須將主問題拆解成子問題，而在子問題的過程中都必須求解最短路徑問 題(Shortest path problem)。
儘管Frank-Wolfe演算法所需要的記憶體很少，起始的收斂速度也很快，但 它收斂的特性並不好，因此在1960年後許多人開始發展一些啟發式解法來修正 Frank-Wolfe演算法的收斂性。例如Fukushima (1984) 找尋凸性組合(Convex Combination)之當前解；LeBlanc et al. (1985) 利用PARTAN的技巧與一些啟發式的 方法改變FWA之收斂特性，這些方法從FWA中方向搜尋的部分來改善，皆不需 要增加太多的記憶體空間便可大幅地改善FWA的初始收斂效果。Weintraub et al.
(1984) 提出一啟發式解法來改善搜尋步幅，以彌補改善收尋方向之不足。而近 年來Gao et al. (2004)從全域收斂的方向著手，提供一非單調的線性搜尋演算法來 求解均衡指派問題。這些修正法基本上都是以FWA為架構，因此都必須在子問 題中找尋最短的路徑。
以路徑為基礎的研究通常求解效果會比以路段為基礎的求解效果還要好，收 斂速度也相對地快很多，Larsson and Patriksson (1992)提出以路徑為基礎的解 法，利用變數產生法(Column Generation)對路徑求解均衡流量。雖然這個方法相 對於FWA快速也收斂也較好，但是路網中路徑實在太多，導致演算法所需的記 憶體相當龐大，這也是以路徑為基礎的演算法最令人詬病的地方。後來由於電腦 技術的進步，記憶體空間增大，以路徑為基礎的求解方式逐漸受到重視，也開始 有改良的方式，Jayakrishnan et al. (1994)便提供了新的資料結構來處理路徑儲存 的問題，並建立一快速完成路徑為基礎問題的演算法；近年來Dial (2006)繼承路 徑為基礎之演算法的優勢，發展利用演算法B(Algorithm B)來求解路徑為基礎的 使用者均衡問題，並証實它能夠比Jayakrishnan et al.使用較少的記憶體容量，且 計算速度亦較快。
而近年來最大的突破是由Bar-Gera (2002)結合路段為基礎與路徑為基礎之 解法的優點，提出以起訖點為基礎之解法。它利用路網在均衡流量下特定一起點
後來Xu et al. (2008)改善以起訖點為基礎的演算法來解決CDA (Combined Distribution and Assignment)問題，改良原始演算法中更新流量的部分，得到較原 始之演算法收斂效率更好且更快的結果。
若要更加了解交通指派問題的模式與求解方法，可參考Patriksson (1994)及 Bell and Iida (1997)等人之著作以及Patriksson (2004) 或是Boyce (2007)等都有一 系列詳盡的介紹。
近年來研究大多偏向以路徑為基礎以及以起訖點為基礎的研究。本研究試圖 跳脫傳統的解題方法，利用電路以及量測的概念來解使用者均衡問題，本質上雖 然屬於路段為基礎的演算法類型，但融合了許多電路固有的特性以利未來實作於 電路上。因此本演算法不僅繼承了FWA概念簡單與紀錄路段流量的優點，同時 也擁有電路本質上的優點。
2.6 電路模擬交通指派問題之文獻回顧
根據文獻已有數位學者利用電路的觀念來求解交通指派問題。例如早期，
Sasaki and Inouye (1974)根據「電流－交通流量」與「電壓－旅行時間」的類比 關係，並將通過節點的時間(node passing time)納入考量，利用電路學的歐姆定律 (Ohm's Law)，求解交通指派問題，然而，其求解方法僅適用於單一起訖點之問 題，且路段流量與成本之間的關係必須是線性；近代Wang and Zhang (2005)根據 克希赫夫定律(Kirchhoff Law)建立一套非線性的系統來計算 TAP 中的使用者均 衡，而這個非線性的最適問題是由數學軟體 MATLAB 來求解，並與漸增法 (Incremental assignment)比較結果，由於該研究是依賴數學軟體來解題，並沒有 強調其演算法對於解TAP 的效用，因此是否能夠合適地解大路網問題依然未知。
之後，Cho et al. (2006)利用電子元件（直流電壓源、二極體、電阻等）的組 合，以分段線性逼近(piece-wise linear)的方式，也就是將某路段非線性的成本函 數利用電阻與二極體來分成數條線性的成本函數，將線性的歐姆定律以數段的方 式結合成非線性的成本函數(如圖 2-4)，利用此電子元件所組成之電路，直接模 擬計算電流與電壓，將結果視為成本函數中流量與時間的關係，以求解較為一般 性的交通指派問題。雖然他們使用了電路模擬的概念來解決交通路網指派問題，
但在面臨大型路網或真實路網仍舊有許多障礙，首先是對非線性函數作分段線性 逼近的考量，再者二極體在現實世界中必須有0.5~0.6 伏特的啟動電壓，若要組 成大型路網則會有相當大的負荷。
圖2-4 利用電子元件分段線性逼近為非線性之成本函數
後來Huang et al. (2007) 延續上述研究成果的基本精神，但選擇僅以純電阻
後來Huang et al. (2007) 延續上述研究成果的基本精神，但選擇僅以純電阻