第二章 後設材料
Metals at optical frequencies
plasmas( )
材料，在此我們不作深入討論，第三象限之物質因電磁波傳遞行為遵守左手定則，故又 稱為左手材料，除此之外，它還具有負相速(negative phase velocity)、負折射率(negative refraction index, NRI)、逆都普勒效應(reverse Doppler effect)和逆司乃耳定律(reverse Snell’s law)等奇特性質，目前已廣泛地應用於光子晶體、微波電路、電磁吸收材質或是 其它週期性結構等領域上，以下將對微波領域中的人造傳輸線作更深入地介紹。
2.2 人造傳輸線之原理
一般傳輸線又稱為右手傳輸線，因發展淵源久遠，其理論分析也已經相當完備，而 T. Itoh 與他的學生 C. Caloz 將左手材料概念引入舊有傳輸線理論中，建立出更廣義的架 構[4]，替人造傳輸線領域開拓出更寬廣的康莊大道。
傳統右手(right-hand, RL)傳輸線之電路單元模型為一個串聯電感和一個並聯電容，
如圖2-2 (a)所示，而左手(left-hand, LH)傳輸線結構恰好相反，為一個串聯電容和一個並 聯電感，如圖2-2 (b)所示，但是在現實世界裡，純左手傳輸線是難以實現的，因為在傳 輸線的火線上只要有電流經過，必定會貢獻出串聯電感，而火線與地線之間必定會因金 屬表面累積電荷而產生並聯電容。因此，T. Itoh 和 C. Caloz 將右手傳輸線與左手傳輸線 結合，設計出符合現實條件之複合左右手(composite right/left-handed, CRLH)傳輸線，這 才建立出人造傳輸線的理論基礎，其電路單元模型如圖2-2(c)所示。
圖2-2 傳輸線電路單元模型
(a)右手傳輸線(b)左手傳輸線(c)CRLH 傳輸線
根據傳輸線理論，我們經由電報方程式(telegraphist’s equation)，將傳輸線上之電壓 波與電流波作運算，可求得傳輸線的傳播常數(propagation constant)，其表示式為
j Z Y' ', (2.1) 其中α 與 β 分別為衰減常數(attenuation constant)與相位常數(phase constant)，而 Z’
與Y’則分別為單位長度之串聯阻抗(impedance)與並聯導納(admittance)，若單純只考慮理
(band-gap)，我們將其稱為非平衡(unbalanced)狀態。若對 CRLH 傳輸線特別作設計，使 得電路單元中串聯共振頻率(se' 1/ L C'R L' )等於並聯共振頻率(sh' 1/ L C'L R' )，此情況 我們稱為平衡(balanced)狀態，如圖 2-3(c)中balCRLH曲線，在相位常數為零時不存在帶隙。接著我們從另一個角度探討帶隙成因，從電報方程式(telegraphist’s equation)也可求 得CRLH 傳輸線之特徵阻抗(characteristic impedance)，其表示式為
2
等人，基於先前J. B. Pendry 所提出來的概念而實現出來的，它由金屬細線(metal thin-wire, TW)陣列與裂隙環形共振器(split-ring resonator, SRR)作週期性排列而成[5]，如圖 2-4 所 示，此結構由金屬細線產生負磁導係數，裂隙環形共振器產生負介電係數，進而產生出 左手材料之特性，但由於此結構尺寸與損耗過大，頻寛窄也難以與微波電路整合，故未 受到廣泛地應用，不過經過後人日以繼夜地研究，各式各樣更有應用價值的左手材料結 構不斷地被研發出來，目前以T. Itoh 與他的學生 C. Caloz 等人所提出的 CRLH 傳輸線 為主流[6]，如圖 2-5，另外還有蕈狀結構(mushroom structure)也具有二維左手材料特性，蕈狀結構原先是由D. Sievenpiper 針對高阻抗平面而設計出的，該結構將於下面章節作 更深入地介紹。
(a) (b)
圖2-4 裂隙環形共振器與金屬細線陣列(a)電路單元(b)實體圖 (圖2-4(b)取材自參考文獻[7])
shorting pin interdigital stub
capacitor
(a) (b)
圖2-5 CRLH微帶傳輸線(a)電路單元(b)一維週期排列
實現後設材料的關鍵在於如何在舊有右手材料中創造出左手材料之元素，即圖2-2(c) 中L 與L C ，一般在微波電路中達到此目的的方法有兩種，一種是利用集總元件(lump L element)，另一種則是透過散佈式元件(distributed element)。集總元件將一些非色散或低 色散特性的電容與電感晶片，採用表面附著技術(surface mount technology, SMT)來實 現，該方法在分析與模擬上較為簡易，設計也較為快速，不過SMT晶片因其自振 (self-resonance)緣故通常有高頻限制，此外，這些晶片之數值是離散的，並且難以於微 波 積 體 電 路(microwave integrated circuit, MIC) 或 單 晶 微 波 積 體 電 路 (monolithic microwave integrated circuit, MMIC)中實現，再加上電磁特性難以控制以及不利於輻射上 的應用，諸多缺點導致散佈式元件方法較受到青睞。散佈式元件主要是透過微帶線 (microstrip line)、帶線(stripline)、共平面波導(coplanar waveguide)等技術來呈現，設計上 深具彈性，且高頻響應與輻射效率較佳，雖然目前散佈式電容與電感無法經由精確公式 而設計，但仍可藉著模擬軟體輔助分析並加以萃取其數值。
圖2-5即為散佈式元件方法之一例，為微帶線結構，我們可觀察出CRLH傳輸線之電 路單元中的L 與L C ，分別由該圖中的接地殘段(shorting stub)電感與交指(interdigital)電L 容所提供，再結合微帶線原有的L 與R C ，完成如圖2-2(c)中CRLH傳輸線之電路單元所R 需參數，將其電路單元作週期性排列即為一維CRLH傳輸線。
而圖2-6是另一結構之CRLH傳輸線，它由G. V. Eleftheriades等人所設計的[8]，G. V.
Eleftheriades也是活躍於後設材料的研究學者之一，別於T. Itoh等人，他對於後設材料較 著重於負折射(negative refraction)研究，也將具有左手特性傳輸線稱為負折射傳輸線 (NRI-TL)。由圖2-6中可觀察出，該結構為共平面帶線(coplanar stripline)，其電路單元中
的L 與L C ，分別由迂迴繞折(meander line)電感與交指(interdigital)電容所貢獻。 L
圖2-6 NRI共平面帶線傳輸線 (圖2-6取材自參考文獻[8])
2.4 人造傳輸線之應用
伴隨著CRLH 傳輸線之理論建立，諸多在微波領域上的應用也迅速地發展起來，目 前應用大致可分為三大類：導波(guided-wave)、輻射(radiated-wave)以及折射應用。
2.4.1 導波應用
在導波應用上，目前CRLH 傳輸線擁有眾多高度價值的特性，這些特性包括了雙頻 (dual-band)操作、增加頻寬、多層緊密結構(multilayer-architecture super-compactness)、
任意耦合強度(arbitrary coupling level)以及負或零階共振(negative/zeroth-order resonance) 等。
雙頻操作主要是利用CRLH 傳輸線中的傳播常數與頻率為非線性關係，經由妥善設 計L 、L C 、L L 、R C ，即可將 CRLH 傳輸線達到任意雙頻操作，別於一般右手傳輸線R 之固定高階模頻帶，適用於各式各樣的微波電路上，如分枝耦合器(branch line coupler)、
鼠競耦合器(rat-race coupler)、移相器(phase shifter)、維爾金森功率分波器(Wilkinson power divider)和混波器(mixer)等[9]。
增加頻寬則是將微波電路中的部分右手傳輸線用CRLH傳輸線取代，利用其之間的 相位差變化較為緩慢而達到寬頻。如圖2-7所示，圖(a)中為兩段不同長度右手傳輸線之 相位差變化，隨頻率作線性增加；而圖(b)為一段右手傳輸線與一段CRLH傳輸線之相位 差變化，於兩者相位斜率較接近之頻段內，相位差較為平坦，即不隨頻率作很明顯變化。
將其應用於微波電路中，如各類耦合器(coupler)、平衡至非平衡轉換器(balance to unbalance, balun)、移相器(phase shifter)等，可大幅增加其頻寬[10]。
diff PRH CRLH
(low-temperature cofired ceramics, LTCC)技術來製作，即可有效縮小電路尺寸。任意耦合強度的耦合線耦合器(coupled-line couplers, CLCS)主要是利用左手材料的 後向傳播特性，設計出不需對稱定向之耦合器[12]，藉此可改善傳統耦合線耦合器之頻 寬。此外，透過改變CRLH傳輸線中的單元個數或者耦合線的間隙可獲得任意耦合度，
甚至於最高可接近0dB，揮別過去低耦合量的困境，且與傳統的右手不對稱定向耦合器 相比，其電路尺寸大為減小。
至於負階或零階共振，在傳統右手傳輸線中，若將其一端開路或短路，將會產生駐 波(standing wave)而形成共振器。CRLH傳輸線也有相同特性，且因其相位常數包括零與 負值，故相較於右手傳輸線，CRLH傳輸線中擁有負階和零階共振點。零階共振的應用 很多，不但可以縮小電路面積，也可以利用無限大波長的特性做多埠分波器。
2.4.2 輻射與折射應用
最普遍的輻射應用即為天線，目前利用CRLH傳輸線特性而設計的天線大略有兩 類，分別為負或零階共振天線與洩漏波天線(leaky wave antenna)。
負或零階共振天線之原理如同前一小節所述，其為利用CRLH傳輸線獨有的負或零 階共振點來設計天線[13]。由於零階共振點處於相位常數為零時，故波長可視為無限大，
並無傳統共振型天線至少需要二分之一波長的限制，其共振頻率全由電路單元中的電容 和電感之數值決定，與天線尺寸無關，自然也達到天線縮小化效果。除了零階共振點可 以輻射外，其他正負階共振點當然也可作輻射應用，特別是一對共振點情況，例如正負 一階時，因為傳播常數之絕對值相等，即等效波長相等，所以會呈現出類似的場形分佈 與阻抗特性，可利用其特點設計雙頻天線。
洩漏波為行波(traveling-wave)沿著導波結構邊傳遞邊洩漏能量，洩漏波現象通常伴 隨著高指向性(high directivity)與波束隨頻率掃瞄(frequency-scanning)特性，其為本論文 第一部分之研究重點，詳細原理容後面章節作解說。運用CRLH傳輸線所構成的洩漏波 天線與傳統洩漏波天線相較之下有兩個主要優點：其一，傳統洩漏波天線需操作在高階 模(high-order mode)，而CRLH洩漏波天線則可操作於主模(dominant mode)，故在輻射效
率與饋入結構上都遠優於傳統洩漏天線。其二為掃瞄角度範圍，傳統洩漏波天線的波束 只能隨頻率作前向(forward)掃瞄，而CRLH洩漏波天線因其相位常數於左手區為負值，
故能作後向(backward)掃瞄，除此之外，當相位常數等於零且為平衡情況時，還擁有垂 向(broadside)輻射能力，大幅提升波束掃瞄性能。
除了前述兩大應用外，利用CRLH傳輸線的負折射性質也可能創造出許多應用，如 微波成像、極化偏振器和極化天線等，不過負折射應用需要較為複雜的二維或三維CRLH 傳輸線之網路結構，於實作上稍具難度。
最後，後設材料的特性相當豐富，光是其中的左手材料這塊領域的應用就已經是包 羅萬象了，目前所研究出來的成果相信也只是冰山一角，更多深具價值的設計與發明必 須仰賴各位學者繼續投入研究。
2.5 蕈狀結構
蕈狀結構(mushroom structure)為一種很特別的後設材料，是由上層金屬片(蕈傘)、
中間層接地的金屬棒(蕈柄)與下層的接地金屬面構成的，如圖2-8所示，為D. Sievenpiper 於1999年所提出的[14][15]，它除了擁有前述左右手傳輸線特性之外，在其它微波領域 也擁有令人驚豔的性質，如人造磁導(artificial magnetic conductor, AMC)以及電磁帶隙 (electromagnetic band-gap, EBG)等，下述將針對這兩大性質作深入探討。
Metal patch
Ground plane
Via
(a) (b)
圖2-8 蕈狀結構(a)俯視圖(b)電路單元
2.5.1 人造磁導特性
完美電導(perfect electrical conductor, PEC)與完美磁導(perfect magnetic conductor, PMC)為對偶關係，PEC具有磁通量連續與切線電場為零之特性，用常見之高導電係數金 屬即可實現，但自然界的PMC卻難以尋覓，大多需要利用人造而成的特殊結構來實現，
而蕈狀結構即為其中一例。根據D. Sievenpiper所提出的論點，他認為蕈狀結構的AMC 電路模型為一並聯LC共振電路，如圖2-9，兩個蕈狀結構相鄰的金屬片之間形成等效電
而蕈狀結構即為其中一例。根據D. Sievenpiper所提出的論點，他認為蕈狀結構的AMC 電路模型為一並聯LC共振電路，如圖2-9，兩個蕈狀結構相鄰的金屬片之間形成等效電