結論與展望 …

本研究以 Corotation Total Lagrangian 有限元素法和虛功原理推導

Timoshenko 梁元素的元素節點內力，再由元素節點內力的改變與擾動位移 的關係推導梁元素的切線剛度矩陣，並探討 Timoshenko 梁與尤拉梁在不同 斷面、長度、邊界條件下受不同負荷的幾何非線性行為及挫屈負荷的差異。

Timoshenko 梁與尤拉梁最大的不同是在於梁變形後，尤拉梁的斷面仍然會 垂直於中心軸，而 Timoshenko 梁不會垂直於中心軸。假設梁在挫屈前都在 彈性範圍內，梁的撓曲應變造成的側向變形較大時，剪應變的影響就不大；

而當梁的撓曲應變所造成的側向變形較小時，剪應變的影響就不可忽略。

梁在挫屈之後梁的彎曲變形會忽然變大，剪應變對梁變形的影響比較不明 顯，所以挫屈後 Timoshenko 梁與尤拉梁在負荷與位移的曲線上，兩者的斜 率相差不大幾乎平行。

由例題一到五的結果可知在懸臂梁的例題中 Timoshenko 梁與尤拉梁的負荷 與位移曲線兩者差異小，而在兩端固接的例題中 Timoshenko 梁與尤拉梁的 負荷與位移曲線兩者差異明顯較大。在矩形斷面的例題中 Timoshenko 梁與 尤拉梁的負荷與位移曲線兩者差異小，而在 I 形斷面的例題中 Timoshenko 梁與尤拉梁的負荷與位移曲線兩者差異較大。當梁受力後彎曲變形很大，

剪應變的影響就不大，因此邊界條件會影響到梁的側向變形，剪應變對梁

變形的影響也會隨之改變。梁在不同斷面、細長比、邊界條件下剪應變得 影響也會不同。

本研究考慮斷面剪應變的影響，探討 Timoshenko 梁與尤拉梁在非線性行為 之間的差異，希望後續能繼續探討剪應變對旋轉梁自然頻率的影響。

參考文獻

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附錄 A 轉換矩陣

T_

及

T_

 

附錄 B

H_

、

H_

、

H_R





附錄 C 斷面常數

矩形斷面

3

XS

2

XS

a b



^

 

 



0 3

3 2

) 2 / cosh(

) 1 2 (

) sinh(

) sin(

) 1 ( 8

n n

n n

n

b K n

z K y

K yz a

 

ab A

12 ab3

I_y 

12 ba3

I_z 

dA z

y z y

J ^



A^{( 2  2 }

^

^,z^

^

^,y⁾



 _A dA I_



²







 _yz yzdA

yz





_







^{ }









K y dA z dA y z dA

I_{4 I}



_2y



_2z 2



_yz ^{4 4} 2 ^{2 2}



 A z z

y y dA

J _



_,



 A y y

z z dA

J _



_,

a ( mm) 0.5 0.8 1 b ( mm) 10 10 10

A (mm²) 5 8 10

J (mm⁴) 0.403536 1.62062 3.12325 Iy (mm⁴) 41.6667 66.6667 83.3333 Iz (mm⁴) 0.104167 0.426667 0.833333

yz



(mm⁶) 0.863013 3.50372 6.78838 KI (mm⁶) 626.740 1007.15 1264.01 I (mm⁶) 0.858136 3.45467 6.64291

z

Jy_ (mm⁴) 0.0976016 0.383642 0.728292

y

Jz_ (mm⁴) 41.4649 65.85640 81.7717

y z I

I 0.0025000 0.0064000 0.010000

Iz

J 3.87395 3.79832 3.74790



z(L = 50mm) 346.410 216.506 173.205



z(L = 100mm) 692.820 433.013 346.410

z

z I

AL²





6

5



y ，

6

 5



z

I 型斷面

) ( in⁶

I_ 4.1606310² 9.94010³ 1.95010³ 1.38310⁶(cm⁶) )

( in⁶

K_I 4.8590110³ 2.22810⁵ 2.13310⁴ 7.73910⁶(cm⁶)

z

Jy_ ( in⁴) -16.6492 -92.2056 -45.1121 8.5797510³(cm⁴)

y

Jz_ ( in⁴) 1.6764210² 2.0449310³ 4.1544110² 2.532410⁴(cm⁴)

yz



( in⁶) 4.1323110² 9.92710³ 1.94510³ 1.37510⁶(cm⁶)

6

5



y ，



_z 1

表 4.1 例題一矩形懸臂梁自由端受集中負荷之挫屈負荷(固定端 A 為 warping free) L

) (mm

a ) (mm

T

Pcr

(10²N mm²)

E

Pcr

(10³N mm²)

Pcr

(10²N mm²)

T

cr

) (mm

E

cr

) (mm

T

cr (10^4)

T

cr

(10^3)

50 1 3.44027 3.44140 3.37267 0.84443950 0.81917261 4.2593741 4.796894 0.8 1.76462 1.76498E 1.73839 0.54150921 0.52523578 2.730953 3.0758422 0.5 0.432780 0.432817 0.428615 0.21251250 0.20609977 1.0716474 1.2070422 100 1 0.856676 0.856741 0.843169 1.6440443 1.6314480 1.0606466 2.3889495 0.8 0.439282 0.439307 0.434596 1.0539506 1.0458525 0.67984088 1.5313828 0.5 0.107706 0.107708 0.107154 0.41350189 0.41030899 0.26670051 0.60079175

挫屈負荷之解析解 EI GJ

L

P_{cr y}

2

013 .

 4 [19]

表 4.2 例題二：兩端固接矩形梁中間承受鉛直力之挫屈負荷 L

) (mm

a )

(mm B.C .

T

Pcr

(10³N mm²

)

E

Pcr

(10³N mm²

)

Pcr

(10³N mm²

)

T

cr

) (mm

E

cr

) (mm

T

cr

(10^3)

T

cr

(10^3)

50 1 C1 4.03423 4.03939 - 0.22499957 0.15027534 2.4973984 7.1703539 C2 4.10648 4.07631 4.40509 0.22891053 0.15161658 2.5415295 7.2946745 0.8 C1 2.07721 2.07888 - 0.14481490 0.09667427

6

1.6073547 4.6149000

C2 2.10076 2.091 2.27073 0.14642734 0.09722945 2

1.6254491 4.6661905

0.5 C1 0.511514 0.511678 - 0.05705833 1

0.03807127 2

0.6333070 7

1.8182731

C2 0.513771 0.512848 0.559816 0.05730803 6

0.03815784 9

0.6360880 4

1.8262277

100 1 C1 0.998319 0.998606 - 0.33418799 0.29719632 0.6180055 9

3.5486590

C2 1.03622 1.02949 1.06759 0.34654474 0.30616773 0.6413404 5

3.6802022

0.8 C1 0.513602 0.513699 - 0.21491548 0.19110610 0.3974305 2

2.2821011

C2 0.525911 0.523765 0.550284 0.21998134 0.19479417 0.4069203 1

2.3359780

0.5 C1 0.126373 0.126382 - 0.08460944 0

0.07522742 4

0.1564616 3

0.8984272 2

C2 0.127544 0.127344 0.135674 0.085388611 0.07579671 6

0.1579092 6

0.9067059 3

邊界條件 C2的挫屈負荷解析解[19]： EI GJ L

P_cr C _z

2

8 4

 ) ( 2 ) ( 1 2 ) ( ) (

1 ^{2 2}

1

4 GJ

EI L

GJ EI KL C K

C _  _  ^ _  _  ^

，C₁ 1，K 0.5

表 4.3 例題三：I 形懸臂梁自由端端受一集中載重之挫屈負荷

斷面 L(in) B.C. P (_cr^T 10⁶lb) P (_cr^E 10⁶lb) P (_cr 10⁶lb) _cr^T ( )in _cr^E ( )in _cr^T (10^2) _cr^T (10^2) 30

10

W 50 A1 0.338364 0.338785 0.26488428 3.360608 2.8855663 0.96574807 1.7694832 A2 0.124838 0.12525 - 1.2439096 1.0694767 0.35633046 0.65378903

2193

W 100 A1 0.505604 0.507359 0.39790787 3.1663285 2.8153078 0.36148971 0.88845387 A2 0.22126 0.222005 - 1.3865798 1.2325821 0.15819596 0.38891661

邊界條件 A1的挫屈負荷解析解[19]： GJ

L EI P_cr C _z

2

 4

) ( 2 ) ( 1 2 ) ( ) (

1 ^{2 2}

1

4 GJ

EI L

GJ EI KL C K

C _  _  ^ _  _  ^

3 .

1 1

C ，K 1

表 4.4例題四：兩端固接I 形梁中間承受鉛直力之挫屈負荷

W 180 B1 0.179360 0.176887 0.15783066 1.338717 1.0970616 0.25556844 0.42860761 B2 0.172178 0.171880 0.15783066 1.2931313 1.0702013 0.2457275 0.41378918 140 B3 0.189082 0.185577 0.17128773 0.74132694 0.54316791 0.26967011 0.3527595 B4 0.183325 0.182217 0.17128773 0.72022526 0.53386359 0.26163549 0.34268627 93

21

W 300 B1 0.438210 0.436496 0.40222598 1.2596668 1.0215911 0.15659534 0.29413443 B2 0.430267 0.430969 0.40222598 1.2385973 1.009544 0.15381533 0.28918522 240 B3 0.436095 0.433584 0.41216670 0.70977365 0.5199115 0.15587355 0.23437457 B4 0.429770 0.429829 0.41216670 0.69981617 0.51553139 0.15363768 0.23108366

邊界條件 B1、B2 的挫屈負荷解析解[19]： EI GJ

斷面 L )

(in B.C.

T

Pcr

(10⁵ psi)

E

Pcr

(10⁵psi)

T

cr

) (in

E

cr

) (in

T

cr

(10^2)

T

cr

(10^2)

30 10

W 300 B1 0.741026 0.729534 2.2537957 2.0726349 0.15406679 0.27647427 B2 0.661603 0.662800 2.0484945 1.9104259 0.18884349 0.39685580 240 B3 0.665369 0.655056 1.0912082 0.96378271 0.18977689 0.31835791 B4 0.620858 0.620082 1.0226639 0.91522169 0.17721407 0.29795627

93 21

W 420 B1 2.75101 2.72956 1.9675552 1.7497616 0.19656887 0.38669273 B2 2.62099 2.62706 1.8813510 1.6885572 0.18739396 0.36934221 340 B3 2.36060 2.34099 0.94757709 0.79783075 0.16874635 0.26912300 B4 2.28807 2.28923 0.91927406 0.78063294 0.16359157 0.26102124

表 4.5例題五：兩端固接I 形梁承受兩個鉛直力之挫屈負荷

表4.6例題九：十字斷面性質

Section geometry of symmetric 十字斷面 L=200 cm, b=20 cm, h=30 cm, t=0.5 cm, E=2.110⁷N,



0.3,G=8.07692307710⁶N

A(cm²) 24.75

I_y(cm⁴) 1125.203125 I_z(cm⁴) 333.640625 K_I(I₄)(cm⁶) 171935.7828 J(cm⁴) 2.0625

I_(cm⁶) 30.38183594



_yz(cm⁶) 16.49316406 J_yz(cm⁴) -3.3317210² J_zy(cm⁴) 1.1236110³ A_sy(cm²) 10

A_sz(cm²) 15



_y 0.83333333333



_z 0.83333333333

表 4.7例題十一：懸臂梁末端斷面不同位置受集中載重之挫屈負荷(L3m) 力施加的位置

T

Pcr

(10⁶N)

E

Pcr

(10⁶N)

T

cr

) (m

E

cr

(m)

T

cr

(10^2)

T

cr

(10^2) 頂部 0.574549 0.574366 0.021285208 0.017723093 0.16147061 0.11855652 中間 2.16506 2.16108 0.080090095 0.066583755 0.60783873 0.44674465 底部 4.45075 4.45551 0.16317491 0.13592071 1.2411767 0.91834616

表4.8 例題十、十一的 I 形斷面性質 Section geometry of symmetric I形斷面

m

d 0.56 ，t_f 0.03m，t_w 0.012m，b0.3m， GPa

E210 ，G80.77GPa， 0.3

A(m²) 0.024

I_y(m⁴) 1.390410^3 I_z(m⁴) 1.3507210^4 K_I(I₄)(m⁶) 1.1483110^4 J(m⁴) 5.68810^5 I_(m⁶) 9.5122210^6



_yz(m⁶) 9.4717510^6 J_yz(m⁴) -1.3492810^-4 J_zy(m⁴) 1.3848610^3 A_sy(m²) 0.018

A_sz(m²) 0.006



_y 0.83333333333



_z 1.0

P Q z

y X₂G

X₃G

X₂S

X₃S

x

1

x2

x3

s

1

2

x xp

u P

P

X₁G

) 0 , 0 , (l v w

O

X₂S

X₁S

X₃S

圖 2.1 梁元素之位移以及座標系統關係圖

b a



ψ b

圖 2.2 旋轉向量

25 00

A B

L

U X₁^G, V

X₂^G, P

W X₃^G,

Cross section

150

500 SX₂

X₃S

b

a

圖 4.1 矩形懸臂梁自由端承受集中載重之結構圖

0 10 20 0

1 2 3

P(10

2

N)

Displacements(mm)

Timoshenko Euler

-W _B V _B

圖 4.2端點B在X₂^G,X₃^G方向之負荷-位移曲線圖 (例題一：矩形斷面，L = 50 mm，a = 0.8 mm)

2500

X₃^G,

X₂^G W

V P ,

X₁^G,U

A C B

L

Cross section

150

500 S

X₂ X₃S

a b

圖 4.3 矩形梁中間承受集中載重之結構圖

0.0 0.5 1.0 1.5 0

1 2 3

P( 1 0

3

)

Displacements(mm)

N

Timoshenko Euler

-U

_B

V

_C

-W

_C

圖 4.4梁端點 C在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題二：矩形斷面，L = 50 mm，a= 0.8 mm，C1)

25 00

A B

L

U X₁^G, V

X₂^G, P

W X₃^G,

Cross section

3

XS

2

XS

tf

tf

tw

b b

d

圖 4.5 I形懸臂梁自由端承受集中載重之結構圖

0 3 6 0

1 2 3

P( 10

5

lb

Displacements(in)

)

Timoshenko Euler

-U

_B

W

_B

V

_B

圖4.6自由端 B的負荷-位移曲線圖 (例題三：W2193，L = 100 in ，A2)

2500

A C B X₁^G,U

V P X₂^G, W

X₃^G,

L

Cross section

3

XS

2

XS

tf

tf

tw

b b

d

圖 4.7 I 形梁中間承受一集中載重之結構圖

0 1 2 3 0

1 2 3

P( 1 0

5

lb )

Displacements(in)

Timoshenko Euler

V

_C

-W

_C

圖 4.8 梁端點 C 在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題四：W1030，L = 180 in ， B1)

0.0 0.5 1.0 1.5 0

1 2 3

P( 10

5

lb)

Displacements(in)

Timoshenko Euler

-W

_C

V

_C

圖 4.9 梁端點 C 在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題四：W1030，L = 140 in ， B3)

0 2 4 0

3 6

P(10

5

lb)

Displacements(in)

Timoshenko Euler

-W

_C

V

_C

圖 4.10 梁端點 C 在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題四：WW2193，，LL = 300 in，B2)

0 1 2 3 0

3 6

P(10

5

lb)

Displacements(in)

Timoshenko Euler

V

_C

-W

_C

圖 4.11 梁端點 C 在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題四：WW2193，，LL = 240 in，B4)

A C B X₁^G,U P

V X₂^G, W

X₃^G,

P

2

L L 2

Cross section

3

XS

2

XS

tf

tf

tw

b d

b

圖4.12 I形梁承受兩個集中載重之結構圖

0 3 6 0

1 2

P(10

5

lb)

Displacements(in)

Timoshenko Euler

V

_C

-W

_C

圖4.13梁端點 C在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題五：WW1030，，LL = 300 in ，B1)

12

0 4 8

0 8 16

P( 1 0

4

lb

Displacements(in)

)

Timoshenko Euler

-V

_C

W

_C

圖4.14梁端點C在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題五：W1030，L = 240 in，B4)

0 3 6 0

4 8

P (10

5

)

Displacements(in)

lb

Timoshenko Euler

-W

_C

V

_C

圖4.15梁端點 C在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題五：W2193，L = 420 in，B1)

0 2 4 6 0

4 8

P( 10 lb)

Displacements(in)

5

Timoshenko Euler

V

_C

-W

_C

圖4.16梁端點C在X₂^G,X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題五：W2193，L = 340 in，B3)

V X₂^G, W

X₃^G,

U X₁^G,

P P

2

L L 2

B A

C

X₃S

X₂S

int po Loading

in 5 in

5 . 0

Cross section

圖 4.17 簡支梁兩端承受偏心軸力之結構圖

120

0 40 80

0 50 100 150 200 250

P(kip) Timoshenko

Euler

Displacements(in)

-U

_B

-V

_C

-W

_C

圖 4.18 簡支梁受偏心軸力的負荷-位移曲線圖 (例題六：W1443，L = 264.6 in)

X

X X ,W

X ,V

X ,U B

A

^G

1 G2

G 3

P

L

L C

X

₂S

X

₃S

Cross section

圖 4.19 懸臂 L 形構架自由端承受水平力之結構圖

0 50 0

10 20 30 40 50 60

100

P(kip)

U

_C

(in)

Timoshenko Euler

case(b)

case(a)

圖 4.20 端點 C 在X₁^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題七：W2193，L = 240 in)

0 100 200 0

10 20 30 40 50 60

P(kip)

V

_C

(in) Timoshenko Euler

case(a) case(b)

圖 4.21 端點 C 在X₂^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題七：W2193，L = 240 in)

0 100 200 0

10 20 30 40 50 60

P( kip)

W

_C

(in) Timoshenko Euler

case(b)

case(a)

圖 4.22 端點 C 在X₃^G方向的負荷-位移曲線圖 (例題七：WW2193，L，L = 240 in)

X

X

X X ,W

X ,V

B X ,U

A

₁^G

G 2 G

3

L

C M

Cross section

x

^S₂

x

S₃

圖 4.23 簡支梁兩端承受均勻彎矩之結構圖

120

0 40 80

0 1 2 3 4 5

M(10

8

N-c m )

Displacements(cm)

Timoshenko Euler

-V

_C

-U

_B

W

_C

case(a)

圖 4.24 簡支梁兩端皆為自由翹曲受均勻彎矩的負荷-位移曲線圖 (例題八：W10100，L = 610 cm)

120

0 40 80

0 1 2 3 4 5 6

M(10

8

N-c m )

Displacements(cm)

Timoshenko Euler

-V

_C

-U

_B

W

_C

case(b)

圖 4.25 簡支梁兩端皆為抑制翹曲受均勻彎矩的負荷-位移曲線圖 (例題八：W10100，L = 610 cm)

2500

A B

L

U X₁^G, V

X₂^G,

P W

X₃^G,

Cross section

3

XS

2

XS

t

t

b d

圖 4.26 懸臂梁末端承受一軸力之結構圖

0.0 0.2 0.4 0.6 0

100 200 300 400 500

P (kN)

Disp. of end centroid

Timoshenko Euler

 (rad) -U(cm)

圖 4.27 懸臂梁受軸力的負荷-位移曲線圖 (例題九：十字斷面，L = 200 cm)

2500

A

B

L

U X₁^G, V

X₂^G,

P W

X₃^G,

Cross section

3

XS

2

XS

tf

tf

tw

b d

b

圖 4.28 懸臂梁承受均佈載重之結構圖

3

XS

2

XS

P e

力加在頂部

3

XS

2

XS

e

P

力加在底部

圖 4.29 偏心力施加位置示意圖

0.0 0.5 1.0 1.5 0

8 16

P (10

4

)

Displacements(m)

N

Timoshenko Euler

-U

_B

V

_B

W

_B

圖 4.30 懸臂梁頂部受偏心分佈載重負荷-位移曲線圖 (例題十：I 形斷面，L = 8 m)

0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.

0 1 2 3

P( 10

5

N)

Displacements(m)

Timoshenko Euler

-U

_B

V

_B

W

_B

圖 4.31 懸臂梁底部受偏心分佈載重負荷-位移曲線圖 (例題十：I 形斷面，L = 8 m)

3

XS

2

XS

e

P

3

XS

2

XS

P e

力加在頂部 力加在底部

3

XS

2

XS

P

e

力加在中間

圖 4.32 偏心力施加位置示意圖

0.0 0.1 0.2 0

1 2

P( 10

6

N)

Displacements(m)

Timoshenko Euler

-U

_B

V

_B

W

_B

圖 4.33 懸臂梁自由端斷面頂部受集中載重負荷-位移曲線圖 (例題十一：I 形斷面，L = 3 m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0

2 4

P( 10

6

N)

Displacements(m)

Timoshenko Euler

-U

_B

-V

_B

W

_B

圖 4.34 懸臂梁自由端斷面底部受集中載重之負荷-位移曲線圖 (例題十一：I 形斷面，L = 3 m)

0.0 0.1 0.2 0

1 2 3

P( 10

6

N)

Displacements(m)

Timoshenko Euler

-U

_B

V

_B

W

_B

圖 4.35 懸臂梁自由端斷面中間受集中載重之負荷-位移曲線圖 (例題十一：I 形斷面，L = 3 m)

在文檔中 雙對稱開口薄壁Timoshenko梁之非線性分析 (頁 60-119)