結論與建議

第二章 文獻探討

本章將介紹利率模型之演進，Black’s模型介紹和Cap評價、樹狀結構法存在 的評價誤差以及求面積法等造樹方法。

第一節 利率模型之演進

利率模型之發展，可視為學者在尋找「如何能精準描述現行利率期間結構，

使利率商品的模型理論價值能與市場價格一致」的演進過程，而利率模型一般可 分為均衡模型（Equilibrium Models）與無套利模型（No Arbitrage Models）。

(一) 均衡模型

當資本市場之供給與需求達到均衡時，能決定唯一的利率解，這就是均衡模 型所隱含的經濟意義，此時利率期間結構模型為內生的，也就是利率是由模型產 出的，但由於參數的自由度不夠，不能完全符合市場的利率期間結構，以致於會 產生評價之理論價值與市場價格不符的問題。典型之均衡模型如下：

1. Vasicek（1977）

Vasicek 為短期利率模型的一種，為最早假設短期利率具有均數復歸（Mean Reversion）特性的模型，其假設在風險中立下，短期利率r服從Ornstein-Uhlenbeck

（O-U）隨機過程：

dr t( )=a b( −r t dt( )) +σdW t( ) (2.1.1) 其中，a為利率均數復歸的速度，b為短期利率的長期平均水準，σ 為短期利率的 波動度，dW為布朗運動的變化量、dW~N(0,dt)。

在此設定之下只要利率偏離長期平均水準b時，便會以a之速度收歛回復至 b，但由於O-U隨機過程為常態分配，故短期利率可能會出現負值，這與真實情

況並不相符。

2. CIR（1985）

Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型改進Vasicek 模型中短期利率為負的缺點，將擴 散項（Diffusion）的係數重新定為σ r t( )，因此短期利率波動度會隨利率上升而 上升，其動態過程如下：

dr t( )=a b r t dt( − ( )) +σ r t dW t( ) ( ) (2.1.2) CIR 模型為在滿足效用極大化下所推導出的，利率的動態過程及風險的市 場價格都是內生決定，故CIR 模型會滿足一般均衡條件，但內生模型難與現行 利率期間結構一致，又因其短型利率服從非中央卡方分配，因此並不利於模型參 數的校準。

(二) 無套利模型

為了克服利率模型與市場利率期間結構並不一致的缺點，在無套利模型中，

將目前市場利率期間結構設為輸入值，且平移項(Drift term)設定為時間的函數，

使利率模型完全符合市場真實情況，讓期初零息利率曲線會影響模型中未來短期 利率的平均路線。大致包含以下幾種模型：

1. Ho and Lee （1986）

Ho and Lee 是最早提出的無套利模型，其假設短期利率動態如下：

dr t( )=θ( )t dt+σdW t( ) (2.1.3) 其中，σ 為固定常數，θ (t)為時間t之函數。

Ho and Lee 模型雖然改善了與市場利率期間結構不一致的問題，但此模型 並不具備均數復歸特性，即不論利率多高或多低，利率的平均走勢都相同，且利 率可能會為負，與真實情況並不符。

2. Hull and White （1990）

-a(s-T) -2aT 的市場模型（LIBOR Market Model）。

這類的研究，根據描述的利率不同，一般可分成兩派：一派為Brace、Gatarek、

Musiela的遠期LIBOR利率，稱為BGM模型，或稱為LIBOR市場模型(LIBOR market model，LMM)；另一派為Jamshidian的遠期交換利率，稱為交換市場模型 (Swap market model，SMM)。

第二節 Black’s模型介紹和Cap評價

Kcap，重設日期為t , t ,..., t , t_{1 2 n n+1} = ，設 為介於 到T 之間，在時間 觀察

k k cap

差。

以三元樹模型來評價一個履約價格為100，期初價格100的一年期歐式賣權，

利率10%，波動度25%，圖(2.3.1)為到期日各節點值與所對應機率分佈之示意圖。

粗實線為此歐式賣權期末報酬，圖中擷取三元樹狀圖中的四個期末節點以四個灰 色長方條狀表示，對應股價分別為99、99.5、100以及100.5；而細虛線所圍成的 長方形面積代表樹狀結構法對應各個價格之機率密度，以期末股價為99.5的節點 來看，前一期到此節點的機率即為一個長方形面積其寬度為99.25到99.75，長度 同99.5的灰色長方條狀的長度；粗虛線為此價格區間lognormal的分配密度。以區 間(99.25,99.75]探討機率差異，真實機率密度(粗虛線)並非固定常數，和樹狀結構 法的機率密度(細虛線)相比較，左半區間的真實機率密度稍微小於樹狀結構法的 機率密度，右半區間的真實機率密度稍微大於樹狀結構法的機率密度，很明顯 地，細虛線和粗虛線之間的差距即為分配性誤差所在，此誤差會導致樹狀結構法 評價選擇權報酬不準確。

接著再以股價99.5節點的區間(99.25,99.75]考慮非線性誤差問題，當股價為 99.25時選擇權報酬為0.75，股價99.75時選擇權報酬為0.25，中點股價9.5時選擇 權價格為0.5等於此區間平均報酬，很明顯地此區間選擇權報酬是線性的，並沒 有非線性誤差的存在；但若考慮履約價格100節點的股價區間(99.75,100.25]，當 股價為99.75時選擇權報酬為0.25，股價100.25時選擇權報酬為0，中點股價100時 選擇權價格為0並不等於此區間選擇權的平均報酬，此區間選擇權報酬並不是線 性的，故非線性誤差存在於履約價格附近，即股價區間(99.75,100.25]內。另一種 非線性誤差發生情形見圖(2.3.2)，對於一個障礙選擇權，其障礙條件H，並沒有 和節點重合，導致在評價上在判斷出局或入局的條件時會產生非線性誤差，可見 Stephen Figlewski, Bin Gao,1999, “The adaptive mesh model: a new approach to efficient option pricing”。

圖(2.3.1) 此段價格區間內存在分配性誤差以及非線性誤差。粗實線為一個履約 價為100，利率10%，波動度0.25的一年期歐式賣權期末報酬；圖中擷取三元樹 狀圖中的四個期末節點以四個灰色長方條狀表示，對應股價分別為99、99.5、100 以及100.5；粗虛線為此價格區間lognormal的分配密度；細虛線所圍成的長方形 面積代表各個價格之機率密度。細虛線和粗虛線之間的差距即為分配性誤差，而 在股價為100的節點附近為非線性誤差所在。

圖(2.3.2) 障礙選擇權三元樹。H為障礙條件，S為資產價格，

由於障礙條件不一定會落於樹狀節點上，故存在非線性誤差。

第四節 造樹方法

(一) Hull-White三元樹

Hull–White(1994) 提 出 的 兩 階 段 法 建 立 三 元 樹 ， 將 連 續 型 隨 機 過 程 的 Hull-White 短利模型改用離散時間型(discrete time)的隨機過程表達，意即將原模 型模擬的瞬間短期利率r 改成模擬距到期日為Δ 的零息利率R，其中 表利率樹 每期時間間隔，R 的隨機過程可表示如下：

t Δt

dR=(θ(t)-aR)dt+σdz

以下分別介紹這兩階段的造樹過程。

第一階段

第一階段為建立期初值為零，θ 為零，且對稱於 ，服從如下 隨機過 程的三元樹︰

(t) R =0^* R^*

* *

值。一旦α_i決定了，Qi+1,j由下列公式算出。

(二) 應用求面積法(Quadrature methods) 建構Hull-White多元樹

為了處理樹狀結構評價造成的分配性誤差，我們採用Andricopoulos et al.(2003)介紹的求面積法(quadrature method) 將三元樹轉換成多元樹，提高樹的 每個節點分支的個數，讓樹所模擬的離散型分配更貼近連續型分配，以解決分配

的利率樹，其介紹如下。

*

p1

p2

p3

pnp_n-1p_n-2

2

1 2πσ Δt

+

n ΔRi,j +

(n -1)ΔRi,j

-n ΔRi,j (n +1)ΔR^-i,j

* 2

ΔR ~N(-a(jΔR)Δt , σ Δt)

ΔR*

圖(2.4.6) 求算節點(i,j)的分枝機率 利用辛普森積分法求算節點(i,j)的p₁,p₂…p_n

越高的節點 node(i,j)會有越大的變數 j，所求得的p₁會越小，即再往上的機率越 小，相反地，越低的節點 node(i,j)會有越小的變數 j，再往下的機率越小，恰能 反映出Hull-White 利率模型回歸平均值的特性。此數值方法和 moments matching tree 有關，可見 Tian-Shyr Dai, Yuh-Dauh Lyuu, 2006, “The Bino-trinomial Tree: A simple Model for Efficient and Accurate Option Pricing。

第二階段

同Hull-White 三元樹的第二階段，調整每一期往上平移的利率 ，建 構與期初利率期間結構相同的利率樹。

1 2 n

α ,α ...,α

第三章 研究方法

第一節 創新數值方法

本章介紹一個創新的數值方法來建構更為精確的多元利率樹，除了運用前面 章節所用的Hull-White結合求面積法建構多元樹，以減少了樹狀結構法所造成的 分配性誤差，並可調整多元利率樹的結構以減少非線性誤差。而主要差異，為了 使樹狀圖節點和邊界條件(或是所想要fit的點)重合，所調整的參數為每期樹枝間 隔高度ΔR，亦即每期利率間隔高度不盡相同，不同於以往的樹狀結構法其利率 間隔高度ΔR皆相同。分為三個步驟：首先建構隨著期間結構路徑的多元利率樹，

以上一個章節求面積法建構Hull-White多元樹的兩階段造樹方法決定出每期平移 項α，再來調整利率間隔高度，最後求各個節點樹枝上的機率，以下詳細說明建 構此精確多元利率樹的方法。

(一) 建構隨著期間結構路徑的多元利率樹

前面章節所述求面積法建構Hull-White多元樹的造樹方法，先設定好利率間 隔高度Δ ，再推得每期平移項R α；而創新造樹方法為在得知每期平移項α之後，

再根據每期平移項α和給定限制條件的間距來決定如何調整每期利率間隔高度

，但得知每期平移項

ΔR α又是根據前述方法必須先給定利率間隔高度 ，如

此產生兩難的問題。而我們發現了，調整利率間隔高度

ΔR ΔR幾乎不會影響α，主 要影響機率的變動，如表(3.1.1)為H-W三元樹第一期調整ΔR對α以及機率的影 響，模型參數a=0.1，σ =0.01，Δt=1，第一年到期零息利率為0.03824，第二年 到期零息利率為0.04512。發現調整利率間隔高度ΔR₁減少0.001則α₁減少10 ， 對於

−10

α₁的影響幾乎為零，故調整每期利率間隔高度是可行的，如此便解決了此 兩難問題。

表(3.1.1) 為H-W三元樹第一期調整ΔR對α以及機率的影響，模型參數 a=0.1，σ =0.01，Δ =1，第一、二年到期零息利率分別為0.03824，0.04512。 t Delta R 0.017321 0.016321 0.015321 0.014321 0.013321 0.012321 Pu=Pd 0.166667 0.187717 0.213022 0.243811 0.281792 0.329392 pm 0.666667 0.624567 0.573957 0.512378 0.436416 0.341216 Alpha 0.05205 0.05205 0.05205 0.05205 0.05205 0.05205

此例子以公式來探討利率間隔高度ΔR對於每期平移項α的影響，假設第

₁=2 Z₂ Z₁+ ¹ ln 1+P₁ R² t²+ (o R²)

K

Δ t

α(3)

α(1)

α(2)

α(0) h₁

h

h

圖(3.1.1) 創新方法建構多元利率樹

(三) 求各節點機率

建構多元樹的機率部分，以求面積法常態分配面積求機率，即完成了此精確 的多元利率樹。

第二節 Bond Option以及Cap的評價方法

(一) 評價Bond Option

考慮如圖(3.2.1)商品，於兩年後執行一年期零息債券的Bond option，期間間 隔為三個月一期，履約價格為0.96元。評價方法為 tΔ =0.25，K=0.96，先建構尚 未調整利率間隔高度的n=12期多元利率樹，再以此利率樹求算最後四期的債券價 格，於第二年時間點求得履約價格所對應的利率為 =0.032258，確定了限制利 率條件後調整利率間隔高度，使得利率樹節點在n=8時會和 重合，再由到期日 即n=12時的節點為1，以此調整過後的利率樹折現至一年期n=8時，判斷債券價 格減掉履約價格是否大於零，即n=8時報酬為 ( 債卷價格 - 履約價格 )⁺，往前

rK

rK

折現至期初即可算出期初理論價格。

折現至期初即可算出期初理論價格。