第二章 後設材料
帶隙(photonic bandgap, PBG)和後期發現的負折射(negative refraction)的現象[2]，使得不少人爭相研究，尤其是負折射現象恰與 Veselago 所提出的論點相穩合，接著而 來，左手材料(left handed material)的概念也被提出來，左手材料因而誕生了。
但是，光的頻率對一般做微波電路的人來說，算是極高的頻率，使得光子晶體無法 應用在一般簡單的微波電路上。因此，近年來有很多科學家想仿照光子晶體，絞盡腦汁 地設計了一些電路結構與形狀，想要得到微波電路所對應的電磁帶隙(electromagnetic bandgap, EBG)和左手材料操作頻段的頻率，在其間有不少的週期性結構(periodic structure)被提出。之後，T. Itoh 和他的學生 C. Caloz 將週期性結構的左手材料特性，
和傳輸線理論做結合，引進一種新的人造傳輸線的理論概念[3]，創造出結合左右手的 傳輸線(composite right/left-handed transmission lines)，寫下了左手材料輝煌的 一頁。
後設材料的發展是一個連續的過程，從光學發展至電磁學，從光頻段發展至微波頻 段，對於後設材料，我們很難將它很仔細的分類。在此，我們將它依其操作頻段與應用，
大略分成三類：光子晶體、週期性結構，與人造傳輸線。接下來我們分別對這三類後設 材料做些約略概述。
2.2 光子晶體
光子晶體，顧名思義就知道它操作的頻段在光頻段，它通常是由週期性的晶格排列 而成，而最常被使用的兩大特性是它的光子帶隙和負折射現象。接著下來，我們就簡單 的敘述一下光子晶體的光子帶隙和負折射。
2.2.1 光子晶體的光子帶隙
當光通過週期性結構排列的介質時，某些頻率的光波強度會因發生破壞性干涉而衰 減，導致光無法在該介質中傳播，相當於形成了能量帶隙，無法讓光通過，這種能量帶 隙被稱之為光子帶隙(PBG)。
光子晶體可以是一維、二維，或是三維週期性結構排列，如圖 2-1 就是一個典型的 二維光子晶體結構，由晶格理論，科學家們可以求出它的 PBG 頻段。從圖中我們可發現 頻段 0.3～0.4 之間，不存在任何傳波常數，表示光波在這頻段內無法被傳播，此頻段 就是這個二維光子晶體結構的 PBG 頻段。
圖 2-1 光子晶體與光子帶隙對應圖
PBG 最典型的應用就是拿來做光波導，如圖 2-2，在二維光子晶體陣列中挖出一條 通道，在光子晶體的 PBG 頻段內，光波在流經通道時，因為光子晶體能量帶隙的效果，
而讓光波無法穿透過，形成類似通道的外屏障，使得光波被限制在通道內傳播，而形成
圖 2-2 利用光子晶體的光子帶隙做成的光波導示意圖
(圖 2-1，圖 2-2 取材自 “Photonic Crystals:Periodic Surprises in Electromagnetism,” Steven G. Johnson, MIT.)
2.2.2 光子晶體的負折射
光子晶體的另一大特色就是它的負折射現象。負折射是光子晶體在帶隙邊緣所形成 的特殊色散關係，製造出負群速，以導致負折射現象的產生。雖然 PBG 也是光子晶體的 特色，但是負折射和 PBG 所存在的頻帶不一樣，一般初學者如果沒有仔細區分，會以為 它們是在同一頻段，其實不然。簡單的說，如果光波是一台一台的汽車，那 PBG 頻段就 是一面牆，車子不准通過；而負折射的頻段就是一個神奇的路面，在這個路面的汽車都 會自動倒著開，而且方向盤左右顛倒。
負折射最典型的應用就是用來聚焦，如圖 2-3 所示，在普通材質中間放上一光子晶 體材質，操作在光子晶體的負折射頻段，光波在光子晶體材質內將會產生負折射傳播，
最後在普通材質的另一端聚焦。用光子晶體做聚焦透鏡，取代一般凸透鏡最大的好處就 是，用光子晶體聚焦，不會有能量散射的問題，最理想的狀況是可以達成完美透鏡。
圖 2-3 光子晶體平板的聚焦示意圖
2.3 週期性結構
本節所描述的週期性結構，是針對操作在微波頻段的週期性結構，上一節所描述的 光子晶體，雖然也是一種週期性結構，但是頻率是操作在光頻段，所以我們將它獨立出 去。已經被提出的週期性結構有很多種，其中以裂隙環形共振器(split ring resonator, SRR)，和蕈狀結構(mushroom-like structure)為最典型的例子，也是引起最多人爭相 研究的對象。
SRR 是最先被發現，同時具有等效的負介電常数和負磁導係數的週期性結構。SRR 通常是由幾個裂隙環和一條帶狀金屬或是一根金屬棒所組成的週期性結構，如圖 2-4 就是一個典型的一維 SRR 週期性結構。當然，SRR 結構跟光子晶體一樣，也有它自己相 對應的 EBG 頻段和負折射頻段，而負折射頻段在微波領域裡，我們稱它為左手頻段；而 操作在左手頻段的電路價架構，就稱為左手材料。
Mushroom結構最初是設計來做為高阻抗面的一種週期性結構，但是這種神奇的結構 恰好又有EBG的特徵和左手材料的特徵，所以mushroom結構在一些知名的國際期刊、論 文，和研討會都一直被持續的研究和討論著。同時，mushroom結構也是我這篇論文的主 軸核心，有關於mushroom的理論、分析與應用，將在下一章有較為詳細的描述。
圖 2-4 週期性結構的裂隙環形共振器的實體圖
(圖 2-4 取材自 “Beauty and Application of Periodic Structures,
” Tianxia Zhao, IPFW.)
2.4 人造傳輸線
人造傳輸線的概念最先由T. Itoh和C. Caloz所提出，他們在傳統的傳輸線電路單 元模組(unit cell model)裡，加入了等效於左手材料特性的左手電容 CL 和左手電感
LL ，圖 2-5 即為人造傳輸線的電路單元模組。
圖 2-5 人造傳輸線的電路單元模組
由文獻[4]對人造傳輸線的理論推導，我們可以得到介電常数和磁導係數的公式，
表示成下列兩個式子：
1
2 1a
1
2 1b
其中 Y 1 Z⁄ ，而這兩個式子便是左手材料故事的開始。
仔細思考這兩個式子的電機意義，我們不難發現，兩個式子表示：在有些頻段，介 電常数和磁導係數是正的；而在某些頻段，介電常数和磁導係數可以是負的。聰明的Itoh 馬上聯想到，這與週期性結構的左手特性類似，就將此模組與週期性結構做結合，發現 它們特性穩合，因此左手材料的模組就定下來了。
人造傳輸線的建立，開啟了微波領域新的研究方向，人造傳輸線在各種被動元件的 應用由如雨後春筍般的被提出。目前為止，其應用我們大致分為四類：第一種就是利用 傳統右手傳輸線的相位落後和左手傳輸線的相位領先特性，合併做成的移相器(phase shifter)，文獻[5]就是一個很典型的例子，裡面清楚的說明左手材料移相器的原理和 其應用。第二類就是利用左手材料傳播常數與頻率的非線性關係，所設計的任意雙頻微 波電路，最有名的例子是文獻[6]，裡面描述左手材料傳播常數與頻率非線性的完整理 論，文獻裡也實作了兩個被動電路，分別是任意雙頻分枝耦合器(branch line coupler) 和任意雙頻鼠競耦合器(rat-race coupler)的應用。而第三類是左手材料的共振器應用，
如文獻[7]就是應用左手材料的0階共振點，利用其0階共振點，波長無限大的特性做成 的多埠分波器。最後一類就是利用左手材料在平衡條件發生時，在快波區，能量洩漏的 特性設計成的洩漏波天線[8]。
人造傳輸線的應用可說是包山包海，但絕大部份都是利用到這四類的特性，只是電 路架構不太一樣，但原理還是一樣。因為人造傳輸線不是本論文的重點，所以我們對人 造傳輸線只是淺談，不做深入描述。
第三章 蕈狀結構
3.1 概要
最常見的蕈狀結構(mushroom-like structure)是由上層的金屬片(蕈傘)、中間層 連接的金屬棒(蕈柄)，和下層的金屬地(蕈絲)所組成，如圖 3-1 所示。最初是為了實現 高阻抗面(High-impedance surface)，在 1999 年由 D. Sievenpiper 在他的博士論文所 提出[9]。接著，有許多研究團隊對此結構做進一步的研究，集眾人的成果，我們可以 歸納這個結構存在著三大特性。
圖 3-1 蕈狀結構的俯視圖與側視圖
第一種特性就是蕈狀結構原先被設計出來，為了實現高阻抗面的目的，這個特性我 們稱為人造磁導(artificial magnetic conductor, AMC)特性。第二種特性如同大部份 週期性結構所共有的特徵，電磁帶隙(electromagnetic bandgap, EBG)特性。而第三類 特性是蕈狀結構被視為二維週期性結構，或是二維人造傳輸線的左手材料特性。直到今 日，有關於蕈狀結構的文獻所探討的理論或應用，絕大部份皆包含於這三大特性之內。
作為二維左手材料的蕈狀結構，其分析和原理與一維左手材料類似，這裡我們舉例 Itoh 的兩篇著作，而其餘的不再贅述。第一篇是文獻[10]，Itoh 把蕈狀結構當作二維 週期性結構，運用其左手材料的特性，探討蕈狀結構的負折射現象；第二篇是文獻[11]，
Itoh 將蕈狀結構看成兩條獨立正交的人造傳輸線結構，利用它擁有兩個正交方向且獨立 組有錯誤(3.2.1 將會解釋)。儘管 D. Sievenpiper 的論點有瑕疵，但卻不影響蕈狀結構 在微波電路上的應用與成就。在下兩節，我們將分別討論蕈狀結構的 AMC 特性和蕈狀結 構的 EBG 特性。
3.2 蕈狀結構的 AMC 特性
什麼是人造磁導(artificial magnetic conductor, AMC)？要解釋 AMC 是什麼，那 就要從大家都知道的完美電導(perfect electrical conductor, PEC )講起。磁通量連 續和切線電場為零，是 PEC 最重要的兩大特性，而從這兩個特性出發，我們可以很容易
完美磁導(perfect magnetic conductor, PMC)的特性恰好與 PEC 相反，PMC 平面上
這種以人為加工的方式，設計出的 PMC 電路架構，後來就稱為人造磁導(artificial magnetic conductor, AMC)。至於為什麼蕈狀結構可以作為一種 AMC，又怎麼驗證它真 的是 AMC？我們將在下兩小節分別討論蕈狀結構作為 AMC 的等效電路模組，與它的量測
D. Sievenpiper 提出的等效電路模組看似合理，但是事實上他的論點出了點小問題，
可是對整體電路模組影響不大。那麼到底是出了什麼問題，為何又影響不大呢？在回答 這個問題前，我們先介紹一篇文獻[15]當作伏筆。文獻[15]是 2004 年，由 H. Mosallaei 提出的一種改良型蕈狀結構，和原始蕈狀結構不同的是，他將原始蕈狀結構中的金屬棒 除去，只保留金屬面和金屬地，如圖 3-5 所表示。
圖 3-5 改良型蕈狀結構的俯視圖與側視圖
圖 3-5 改良型蕈狀結構的俯視圖與側視圖