緒論

第一章 緒論

1.1 研究動機

最佳化問題是日常生活中常見之問題，如最短路徑問題、最小化時間與成 本等，其中最短路徑為單目標問題 (single-objective problem)，即最佳化之目標 為單一目標；最小化時間與成本則為多目標問題 (multi-objective problem)，即 問題之目標超過一個，且各目標常互相衝突，例如從地點 A 到地點 B，我們可 選擇搭飛機、捷運、高鐵、……等交通方式之組合來達成，通常愈快到達目的 地所花費之成本愈高，反之，愈慢之方式成本則愈低。若要在各目標上進行取 捨，並且找出使用者所期望的解答，給予使用者一組解決方案供其所需來挑選 解答，是個實用並且富挑戰性的議題。

1.2 背景知識

多目標最佳化問題 1.2.1

一個多目標最佳化問題可以下列式子來定義：

minimize/maximize F(x)  (f₁(x),…, f_m(x))^T

subject x

 Ω (1)

space )，F：Ω → R^m 由 m 個實數目標函式組成。對於最小化問題，假設有兩

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個向量 u  (u₁, u₂,..., u_m)，v  (v₁, v₂,..., v_m) 皆屬於 R^m 的向量，若對於所有的 i

 1,..., m 使得 u

稱 u 凌越 (dominate) v。以圖 1 為例，解 A 凌越斜線灰色區域內所有的解，

或稱解 B、C 與 D 被解 A 所凌越。

如果不存在 x   使得 F(x) 凌越 F(x^*)，則稱此點 x^*   為柏拉圖最

佳 (Pareto optimal)，或者是非凌越解 (non-dominated solution)。令 PS 表示所 有柏拉圖最佳解的集合，PF 表示所有柏拉圖最佳化之目標向量集合，則 PS 與

PF 之定義式如下：

PS  {x

PF  {F(x)  R

 PS} (3)

圖 1：凌越關係

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解多目標最佳化問題就是要找出所有的非凌越解 PF，但由於 PF 相當龐 大，要找出整個 PF 是相當困難的，難以在有限時間內使用精確演算法 (exact

algorithms) 來尋找最佳解。因此，需要一個在有限時間內能夠找出近似 PF 的 演算法。

演化式演算法 1.2.2

演化式演算法即是一種能在有限時間內找出近似 PF 的演算法，其藉由模 擬自然界生物演化過程，逐漸搜尋逼近 PF。演化式演算法的族群是由一群個 體（解）所構成，每個個體都有自己的基因序列（依照問題以給予特殊形式之 編碼），接著藉由個體間的交配 (crossover)、個體之突變 (mutation) 來改變基 因序列並產生新的個體，再來運用天擇 (environmental selection) 將較優之個體 留下，以此反覆執行，慢慢搜尋最佳解。下圖為演化式演算法的簡易流程圖：

圖 2：演化式演算法流程圖

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初始化族群 (Population Initialization)：

基本上是使用隨機的方式產生個體（解），直到將整個族群填滿為止。依照 問題的不同，會有不同的決策變數 (decision variable) 個數與範圍，以及不同的 基因序列編碼方式，常見的編碼有二進制 (binary code) 與實數 (real code)，具 體做法為依照決策變數之範圍隨機產生出一定數量的決策變數，以產生單一個 體，再以此產生出整個族群。

評估族群 (Population Evaluation)：

為了評估族群中個體之優劣，每個個體皆有自己的適應度 (fitness)，基本 上會先計算出每個個體之目標值，再利用目標值計算出適應度，然而計算適應 度的方式有很多種，常見的有凌越關係如 NSGA-II (Deb et al., 2002) 和合併函 式如 MOEA/D (Zhang & Li, 2007)等等。

繁殖 (Reproduction)：

簡而言之就是產生下一代，先選擇親代 (mating selection)，再經過個體間 之交配 (crossover)、個體突變 (mutation)，產生出新的子代，最後經過天擇

(environmental selection) 挑選能夠存活下來之個體當作下一代。在親代選擇方 面，通常擁有高適應度之個體有較高的機會被選到，希望能夠藉此產生出好的 子 代 ， 常 見的 有 競 爭法 (tournament) (Horn & Nafpliotis, 1993) 與 輪 盤法

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(roulette wheel) (Goldberg, 1989)。交配是以兩個親代產生出一個以上的子代；

突變則是對個體本身進行基因序列之變更。然而交配與突變會依照問題與編碼 方式而有所不同，例如二進制編碼的有單點交配 (1-point crossover)、翻轉突變 (flip mutation) 等；實數編碼的有 simulated binary crossover (SBX) (Deb &

Agrawal, 1995)、polynomial mutation (Deb & Goyal, 1996) 等。天擇會依照演算 法策略來決定下一代之存活者，最簡單的方式為成代替換 (generational)，也就 是產生出的子代直接成為下一代之族群；另外還有依照適應度排序，使適應度 高之個體能夠存活。有些演算法會在天擇之後加入區域搜尋法 (local search)，

以加強搜尋至區域最佳解。

1.3 研究目的與方法

演化式演算法在很多部分都可切割，方便修改成為平行演算法，本論文將 修改 MOEA/D-DE (Li & Zhang, 2009) 為平行多目標演化式演算法，期望平行 加速縮短時間，並且維持演算法效能。

本論文將演算法加入平行要素，定期以全域均勻分配法或區域分配法切割 族群成為許多子族群，使子族群各自進行演化，並定期進行交流，以維持住求 解品質，最後與 MOEA/D-DE 比較，並且運用 OpenMP (Chapman et al., 2007) 進行平行加速，以觀察變化分配島嶼式 MOEA/D 成效。

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