為一理想的情況，或是加上合理的假設及前提，例如：尤拉梁(Euler–Bernoulli beam)，
其關鍵在於假設為梁的法線是保持筆直且與梁的中線垂直的，考慮線彈性理論，而 梁內部的剪力變形則很小且可忽略的，接著切割取其元素做力平衡即可得到尤拉 梁的控制方程式。而隨著邊界條件或初始條件的變動，又可分為邊界值問題或初值 問題，問題不僅多元化，其定義域也隨之複雜，對於解析解的求得也隨之更加困難，
此時，數值分析方法就將會是一個相當重要的工具。於是許多學者發展出了如有限 元素法(FEM, Finite element method)、有限差分法(FDM, Finite difference method)、
邊界元素法(BEM, Boundary element method)等等。而有限元素法的快速發展不僅 僅在結構分析上廣泛使用，在熱傳導及電磁波等現象的描述也有不錯的表現，有限 元 結 合 了 變 分 原 理(variational principle)和 差分格式，利用假設形函數(shape function)，加上節點(node)的設置，進而求得變位場(displacement field)，從而建立 整體力學系統之關係，即解出節點上未知場量後，可以由內插法(interpolation)求出 場內任何位置的未知變量。而邊界元素法則主要利用散度定理(divergence theorem) 降低了原問題的維度，使我們僅需對邊界作離散化(discretization)，意即可以將區域 問題轉化為邊界問題，藉著只需在邊界上做處理，即可得到原問題之解。
而傳統的邊界積分方程(BIE, Boundary integral equation)其解析之方式乃將其
邊界條件離散化，並利用格林函數(Green functions)作為其基本解，組合而成積分方 程式，沿邊界積分並得知定義域內的變化情形，獲得域內任何一點之場量。而本論 文將其應用至尤拉梁上，使用尤拉梁之振型函數(mode shape)作為其基本解的型式，
並稱之為邊界積分方程方法(Boundary integral equations method)。
1.2 文獻回顧
的問題獲得了相當多的關注，如 Lagnese[16]、郭[8]，Krstic 等人[14]，Krstic 與 Smyshlyaev [13]、張與郭[4]，劉[21]等等諸多研究。而尤拉梁的參數識別問題大致 Lie-group adaptive method)與微分求積法(DQM, Differential quadrature method)來求解在 尤拉梁振動方程的恢復未知外力問題。另外，劉[22]利用全域邊界積分方程方法，透過選擇適當的Trefftz 測試函數(Trefftz test function)，對於求解未知的邊界條件的
柯西反問題(inverse Cauchy problems)效果非常好，且在帕松方程(Poisson equation) 的逆源問題(inverse source problems)中，即使是非常病態或在數據中加入了大量噪 音的情況下，仍能得到相當穩定且有效的數值解。而從以上結果也表明，力源識別
第二章主要介紹本篇論文之核心－邊界積分方程方法所需要的理論基礎，包 括自我伴隨運算子、Trefftz 方法與廣義格林定理等；而在數值計算的部分，有常見 的數值積分方法，如尤拉法、辛普森法、高斯－克朗羅德法等，另外還有求解初值 問題最為泛用的四階龍格－庫塔法，且因其具有四階精度，我們將其作為一個積分 精度的參考標準；還包括用以求解線性代數方程組的共軛梯度法、以及劉教授於 2008 年發展的一套用以解非線性代數方程的方法─擬時間積分法[19]。
第三章將以第二章的理論基礎，發展本篇論文的核心，推導尤拉梁的邊界積分 方程，並列舉了邊界積分方程應用於數種不同支承類型的梁之情形，由邊界條件推 導其各自的特徵方程式、振態與伴隨測試函數等。
第四章為數值算例驗證，從簡支梁、懸臂梁開始，對於以傅立葉級數作為試解 之基底的反求外力是否有其可行性，分析與檢討其結果成功與不足的地方，並針對 不足的地方加以改善，再討論試解之基底的選擇對於數值解的反應與影響，確認其 是否仍保有精確性。
第五章為結論與未來工作，對於數值算例所得到之結果進行討論，分析其成功 與失敗、不足的地方，提出可能改善的空間以及對於未來能得以繼續研究的方向，
並期望能有更好的發展。