第一章 緒論
1.1 研究背景
近年來人們對於資料的需求量增加，使得傳輸訊號的頻寬越來越寬，由於尼 奎斯取樣定理(Nyquist Sampling Theorem)指出取樣速率必須要大於或等於訊號的 兩倍頻寬，則取樣訊號才能完全的重建，這使得訊號處理的領域出現了瓶頸。例 如在無線通訊中，對於傳統的接收電路需要很高的取樣速率，所以取樣一個頻寬 越高的訊號時則需要更多的成本，也使得類比/數位轉換器效能受限於高取樣率，
並且取樣後的大量資料量也造成了數位訊號處理器的負擔。另一方面為了降低訊 號處理的成本，通常是將訊號取樣後再進行壓縮，過程如圖 1 所示。其中，傳統 壓縮技術是從訊號本身的結構中透過搜尋去找尋冗員並進行剔除以達壓縮的目 的，但由於在壓縮之前的訊號是經過完整的取樣，因此先取樣再壓縮是造成浪費 的根本所在；除此之外，搜尋訊號結構中的冗員通常需要複雜的演算法，相比之 下，解壓縮訊號的計算複雜度會比較簡單。
而生活中做訊號取樣再壓縮這類需要計算量高且耗電的動作，往往是運算能 力低、電力供應不長的可攜帶式產品，例如數位相機、MP3 等等，而計算量低的 解壓縮則是由電腦這種運算能力強且電量供應穩定的設備去執行，這樣子的反差 造成了矛盾，所以自然地引起兩個問題，
(1) 是否能夠以遠低於兩倍訊號頻寬的去取樣，並且保證在取樣過程中不會造成 訊號損失而能夠完全重建？
(2) 是否能在取樣訊號後得到的資料是經過壓縮過的，即直接取樣被壓縮過後的 訊號？
Sampling Compressing Transmission Decompressin 圖 1 傳統壓縮與解壓縮流程圖
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壓縮式感測(Compressive Sensing)是近年來針對這些問題的熱門研究課題，此 技術與尼奎斯取樣不同的是，訊號的取樣頻率不再取決於訊號的頻寬[2-3]，而是 對於訊號的內容和架構有關，這超越了尼奎斯取樣的範疇。此理論主要由兩個部 分所組成，其一是隨機矩陣的設計，然後是重建演算法的設計。這理論指出只要 訊號具有稀疏特性或者在某個轉換基底下是稀疏的，就能被一個隨機矩陣所量 測，將在高維度的訊號壓縮到低維度的訊號空間上，即原訊號的資料量被壓縮成 較少的資料量，並利用最佳化的方式去求解就能將被壓縮的訊號無失真的重建。
因此這理論一旦被實踐，就代表著訊號的取樣與處理都能在很低的速率之下完 成，所以對於資料儲存以及設備成本考量上都有一定的優勢。
並且在許多的應用上，希望能夠從大的訊號空間中去獲得或監控其中某一部 份的訊號，如果這類群的訊號具有稀疏性或者能轉到具有稀疏性的基底下，就能 夠以壓縮式感測技術去獲取訊號。舉例來說，如圖 2，在寬頻中考慮一個訊號接收 站，從眾多的資訊來源中去獲取目標訊號，其中訊號來源包含了電視、廣播或者 雷達訊號等等，通常來說一個接收站通常只處理單一來源的訊號，因此在量測訊 號時，其他類型的資料就會造成處理時的困擾。所以即使目標訊號為稀疏訊號能 以壓縮式感測去獲得，但相較於傳統的取樣架構，壓縮式感測在量測訊號以及訊 號的處理上更易於遭受雜訊以及干擾的影響[2]。因此，如何將干擾訊號消除並且 盡可能降低對於目標訊號重建的干擾是本篇論文主要的貢獻。
圖 2 CS-based 可能應用：寬頻信號監控站 資料來源[1]
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1.2 相關文獻探討
壓縮式感測系統主要可以分成稀疏訊號的表示、感測矩陣(Measurement matrix) 與重建訊號這三個部分。由於稀疏訊號的表示是壓縮式感測的基礎與前提，所以 如何將訊號變換基底使得在某一合適基底下訊號具有稀疏性[2]，或者怎樣的訊號 其本身就具有稀疏性[3]是一項熱門的研究課題；此外壓縮式感測理論的核心在於 能夠由少量的感測數目在盡量不失真的前提下量測到維度高的稀疏訊號，並且做 到完美的訊號重建[5-7]，而為了保證訊號的重建效能，[3-5]和[8]提出的充分條件 都要求感測矩陣需滿足受限保距特性(Restricted Isometry Property, RIP)與夠小的受 限保距常數(Restricted Isometry Constant, RIC)。
由於壓縮式感測在量測訊號以及訊號的處理上更易於遭受雜訊以及干擾的影 響，因此在不同的假設下有許多對於此技術上做消除干擾的研究[1][9-10]。一般來 說，要消除干擾訊號最簡單的想法就是先將所有的訊號全部量測後再進行還原，
並把還原後的訊號分為目標訊號以及干擾訊號，最後由已知的資訊例如干擾訊號 的空間分布設計濾波器將干擾濾除，以獲得目標訊號，但是這樣的做法會造成量 測資源的浪費。從這問題出發，本篇論文提出了兩種消除干擾的方法，首先是針 對[1]所提出的方法改善在低訊雜比的環境下其重建訊號的效能，第二種則是從訊 號本身的架構上去設計消除干擾的方法，並且所提出的兩種方法在濾除干擾的同 時也能維持目標訊號在空間上的幾何關係，以保證能夠完美的重建訊號。
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1.3 論文架構
本篇論文的組織如下，第二章是壓縮式感測系統的回顧與系統模型。第三章 會介紹了與本篇論文做比較的方法，稱為正交投影消除干擾訊號在壓縮場域上 [1]，並且根據這方法去改善在低訊雜比時的重建效能，接著從數學分析以及重建 演算法的還原誤差上限去證實這方法的可行性，最後由模擬結果能夠證實此方法 的確能改善低訊雜比下的重建效能。在第四章則會根據訊號與感測矩陣之間的空 間架構去設計以斜投影矩陣消除干擾的方法，並且從訊號對應的子空間夾角以及 受限保距常數去討論此方法對於雜訊造成的影響，並附上模擬結果。第五章會總 結整篇論文。
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