第一章、緒論
1.1 研究背景
隨著科技的發展，電腦以及網路的使用越來越普及，對日常生活帶來了極大 的便利，但由於網際網路是開放性的，民眾在網路上的通訊必須保持機密性，以 防通訊資料被監聽或盜用，因此民眾對於資訊安全也越來越重視。而為了預防這 類問題，最常使用的方法就是對資料進行加密，現今最常使用的則是 RSA 金鑰 密碼系統，為一種非對稱式的加密演算法，目前已經有學者能成功分解 RSA-768 [4]如表 1，但一般使用上所要求的長度為 1024 位元以上，如我國的自然人憑證 已改用金鑰長度為 2048 位元的 IC 卡[2]，因此還是有足夠的安全性來確保資料 不會外洩。
由於 RSA 密碼系統的安全性取決於金鑰的長度，通常會選擇位元數較長的 金鑰來增加安全性，而這也會使得在計算非常耗時，因此便有許多針對 RSA 運 算加速之研究與探討[1][5][6][7][8]，有許多令人欣賞的結果，本研究重點便是探 討 RSA 的計算，研擬加速運算的演算法。
表 1 已被分解和位被分解的 RSA 密碼系統
(資料來源: Wolfram MathWorld)
1.2 研究目的
自從 Diffie 和 Hellman 於 1976 年發表了公開金鑰交換協定後，許多的公開 金鑰密碼系統也陸續被提出，目前最被廣泛使用的公開金鑰加密法為 RSA 密碼 系統[9]，是由Ron Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 於 1977 年一起提出的，
其名稱是取三人姓氏開頭字母所組成，安全性主要是基於模數𝑛的長度，現今要 求的長度至少要 1024 位元[2]，因此難以被因數分解。
而大部分的公開金鑰密碼系統的核心運算為模指數運算，RSA 也是其中之 一，為了增加安全性，通常會選擇使用位元數較長的金鑰，但這也會使得計算上 需要花上比較多的時間。模指數運算是由重複的模乘法運算組成，有兩種策略可 以減少運算上所花費的時間，一種為減少模乘法的次數，另一種則為提高模乘法
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的效能，提升模乘法效能的演算法中，蒙哥馬利乘法(Montgomery Multiplication) 是最典型的方法，主要概念為去除一般模乘法運算中的試除法運算，進一步觀察 果將模數𝑛後面的部分位元全數設為 1，將可以再提升蒙哥馬利演算法的運算效 能，因此本研究擬以 Lenstra 所提出的預定部分位元的方式，在 RSA 的公鑰後面 的部分位元嵌入特定資訊，再配合使用蒙哥馬利乘法來加速其模乘法運算。
1.3 論文架構
本文分成五個章節，本章先研究背景與目的開始介紹；接著是相關知識的探 討，內容包括：密碼系統、RSA 加密演算法、模運算、Montgomery Multiplication 和預定部分位元；第三章說明如何使用預定部分位元的概念將特定資訊嵌入 RSA 公鑰中；第四章為一般模乘法、蒙哥馬利乘法和本研究提出的方法的效能分析與 比較，最後第五章則是針對論文的結論。