粒子運動之統御方程式

第三章物理模式

3.2 粒子運動之統御方程式

在本研究中，必須了解粒子在流場中的位置與速度，才能計算通過濾材時，

粒子在不同位置被捕捉的機率。由於微小粒子的運動極為複雜，為了便於簡化分析，下列基本假設視為成立：

(1) 粒子為球體剛體，群體中個體運動仍視為單一球體剛體運動，運動中相互間不發生碰撞。

(2) 流體的物理性質為定值。

(3) 不考慮溫度、濃度的影響。

(4) 不考慮粒子撞擊壁面後所產生之影響。

基於上述假設，粒子的運動方程式[24][25]可用下列各式表示粒子運動方程式：

X 方向：

s CD ρf A vr

(

uf-us

)

m du = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2

s (3-9a) Y 方向：

s D f r

(

f s

)

s C ρ A v v -v

m dv = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2

1 (3-9b)

其中

² 4d^s A=π

8 3 4 _s _s³

πd m = ρ

vr =

(

uf −up

) (

²+ vf −vp

)

為了數值計算的方便，導入下列無因次變數，其定義如下：

ν0

U_s =u^s ， ν0

V_s = v^s ，

ν0

U_f = u^f ，

ν0

V_f = v^f ， H τ=tv⁰

經無因次化的粒子運動方程式為：

X 方向：

(

f s

)

摩擦係數(Drag force Coefficience) C_D與相對速度、粒子大小有關，可由下式表示：率(single-collector efficiency)，計算接近過濾材的懸浮粒子被捕捉的機率，另一部份計算懸浮粒子有多少機率會接近過濾材，本研究將兩者結合，計算懸浮粒子

因此研究中，將利用Zhu[34]所提出的擴散項、攔截項與慣性單一纖維收集效率，作為本研究中的所須考慮的收集效率項。

擴散項(Diffusion)單一纖維收集效率

2/3

攔截項(Interception)單一纖維收集效率

慣性項(Inertia)單一纖維收集效率

( )

由於擴散項與慣性項不可能獨立出現，因此研究中利用Hinds[35]所提出擴散項與攔截項單一纖維收集效率的修正項

3.3.2 懸浮粒子被收集效率

本節將利用分子碰撞理論[27]計算懸浮粒子有多少機率會接近過濾材，並利用3.3.1 節所計算的結果，計算懸浮粒子在行進過程中，所被過濾材捕捉到的機率，即是由單一纖維收集效率轉換成單一懸浮粒子被收集的機率。

在分子碰撞理論中，定義在距離ξ到ξ+dξ區間內，發生粒子發生碰撞的機率為βd ，其中ξ β 為ξ到ξ+dξ 區間內的碰撞機率密度函數(probability density function)，基於此定義將可知，從原點行進到ξ+dξ 距離時，分子不被碰撞的機率(F )可寫為

(

ξ dξ

)

( )(

ξ βd^ξ

)

F + = 1− (3-15) 對左式做Taylor 展開

( ) ( )

dξ F

( )

ξ β F

( )

ξ dξ dξ

ξ ξ dF

F + = − (3-16) 簡化後

( )

_{β F(ξ)}

dξ ξ

dF =− (3-17)

此解必須滿足初始條件F

( )

0 =1，因此可得

( )

ξ e ^βξ

F = ⁻ (3-18) 定義 f

( )

ξ 為 0 到ξ區間不發生碰撞，但在ξ時間點上發生碰撞的機率，因此計算行進0 到ξ區間不發生碰撞，但在ξ到ξ+dξ 區間發生碰撞的機率，可寫為

( )

^ξ d^ξ F

( )

^ξ ^βd^ξ

f = 因此可得

β βξ

ξ)= e⁻ (

f (3-19) 因此利用(3-19)計算懸浮粒子發生碰撞為止所行進的平均距離< ξ >

∫ ( )

∞

⋅

1 dξ β ξ f ξ

ξ (3-20)

如圖 3-3 碰撞體積示意圖可知，其中 d 為懸浮粒子的有效碰撞直徑，懸浮

粒子在行進dt過程中，被捕捉的總粒子數，亦可視為所受到的碰撞次數，而碰撞次數等於碰撞體積乘與單位體積纖維數(n)與總單一纖維收集效率(η )，下式_T 表示

T 2

12 η

πd v dt×

n v_r (3-21) 因此在行進過程中，分子的碰撞頻率ν 為

T 2 12 η π

ν =n d vv_r (3-22) 由碰撞頻率ν 與平均行進距離 ξ 的關係式為 ξ ν_s

v = 懸浮粒子平均行進速度，可得

β η π

ξ ν ¹

n ₁₂² _T

s =

d (3-23) 在本研究中

2 2

s s

s u v

v = + ，

( )

12 2

p d

d d +

(

s p

) (

² s p

)

r u u v v

v = − + − (3-24)

將(3-23)帶入(3-19)可得懸浮粒子在行進過程被收集的機率密度函數 ^f

( )

^ξ

表 3-1 不同

^R_er

值下，

C₀

、

C₁

、

C₂

之值

R er C ₀ C₁ C₂

<0.1 0 24 0 0.1~1 3.69 22.73 0.0903

1~10 1.222 29.1667 -3.889

10~10² 0.6167 46.5 -116.67

10²~10³ 0.3644 98.33 -2778 10³~5×10³ 0.357 148.62 -4.75×10⁴

5×10³~10⁴ 0.46 -490.546 -5.79×10⁵

3-1 物理模式

圖 3-2 單一纖維收集效率定義圖

圖 3-3 直徑為 d

₁₂

速度 v

、單位時間 dt 碰撞體積示意圖

d12

vr dt

第四章數值方法

本研究的數值方法將分為兩部份，第一部份將計算速度場，採用葛拉金有限 元素法（Galerkin finite element method）。所有元素均為八節點二次等參元素，並引入處罰函數（penalty function）[28]處理壓力項和連續方程式，使所需計算的變數僅為Ｕ、Ｖ，對於時間項則採用後向差分隱式法（backward different implicit method）。此外，應用牛頓拉斐遜（Newton-Raphson）迭代法[29]處理動量方程

( )

則（4-10a）與（4-10b）式變為：

( )

為了計算處理上的方便，可以把原本非線性積分方程式加以線性化，

∫

(

) (

)

=1 ²

2 −ξ −η

N (4-22b)

(

)(

)

= 1

3 +ξ −η ξ−η−

N (4-22c)

(

) (

)

=1 ²

4 +ξ −η

N (4-22d)

(

)(

)

= 1

5 +ξ +η ξ+η−

N (4-22e)

(

) (

)

=1 ²

6 −ξ +η

N (4-22f)

(

−ξ

)(

+η

)(

+ξ−η

)

− 1 1 1

= 1 N7

(4-22g)

(

) (

)

= 1 ²

8 −ξ −η

N (4-22h)

如此即可獲得單一元素之矩陣方程式

[ ]

^{( )}

[ ]

^{( )}

[ ]

^{( )}

(

^C ^e ⁺ ^K ^e ⁺^λ ^L ^e

) ^{{ }}

^q ^{( )}^e ⁼

^{{ }}

^f ^{( )}^e ^(4-23）

其中

{ }

^q ^{( )}^e ⁼

[

^U₁^,^U₂ ^,^.^.^.^,^U₈ ^,^V₁ ^,^V₂^,^.^.^.^,^V₈

]

[ ]

C ^{( )}^e 表非線性迭代 U 與 V 所組成之矩陣，

[ ]

K ^{( )}^e 表純由幾何形狀函數與時間項所組成之矩陣，

[ ]

L^{( )}^e 表帶有處罰函數

λ

項所組成之矩陣，

{ }

f ^{( )}^e 表右半部已知向量之矩陣。

若是將計算區域內的所有元素結合成單一矩陣方程式，則上式變為

[ ] [ ] [ ]

(

^C ⁺ ^K ⁺^λ ^L

){ } { }

^q ⁼ ^f (4-24）

至於各矩陣的詳細內容可以參考附錄A 所示。

由於（4-24）式為一組非常龐大的聯立方程組，為減小計算所需的記憶體空間，本研究採用鋒面法（frontal method）[30-32]並配合高斯喬登消去法來求解。

另外，程式的收斂條件則定為

{ } { }

(

^q ^m⁺¹⁻ ^q ^m

) ^{{ }}

^q ^m⁺¹ ^< ¹⁰⁻³

MAX (4-24）

而為避免數值計算中所造成的發散現象，求解高雷諾數的流場時，是利用所求得的低雷諾數之流場作為初始值，再用此穩態流場之計算結果，當作求解暫態流場之初始值。

數值計算流程圖如圖4-2 所示。詳細的步驟如下：

1. 在穩態流場下，經由網格測試決定最佳的計算網格分佈和元素數量。

2. 求得穩定流場下之流場，作為暫態解的初始值

3. 計算各網格點的網格速度，並檢查初始條件與邊界條件有無錯誤。

4. 求得所需的各項參數（矩陣、形狀函數等）。

5. 反覆解聯立方程組求速度場，直到每一格點的速度及溫度值滿足下列收斂條件。

3 1

10⁻

+ − <

m m m

φ φ

φ ，式中

φ

表示U 、_f V 。（4-26） _f

7. 繼續下一個時間的運算，直到達到預設的時間。

4.2 粒子運動軌跡與捕捉機率計算

利用上述方法求得流場分佈，代入式(3-10a)、(3-10b)則可計算粒子運動軌跡。用數值方法聯立解(3-10a)、(3-10b)時，本文採用有限差分法(finite difference)，

以反覆計算求得粒子軌跡各位置速度U 、_s V 的收斂解。 _s

(

f X DXY DY s^mX DXY DY

)

r s s f D Y

X s m

DY Y DX X

s V d U U

d C H

U _,⁺¹₊ _, ₊ = _, _, + ⋅ _, ₊ _, ₊ − _, ₊ _, ₊ 4

τ

ρ

(4-27a）

(

f X DX Y DY s^mX DXY DY

)

r s s f D Y

X s m

DY Y DX X

s V d V V

d C H

V_,⁺₊¹ _, ₊ = _, _, + ⋅ _, ₊ _, ₊ − _, ₊ _, ₊ 4

τ

ρ ρ

（4-27b）

其中

(

^X ^DX,Y ^DY

)

^P ^X ^Y

(

^X ^Y

) )

^F_T

P + + = ( , )+ 1− , × 。 6. 判斷是否碰壁或離開過濾材。

7. 如果無將既序計算下一點速度位置，並重複計算下一點捕捉情形，

反之則停止。

總計算懸浮粒子運動軌跡與捕捉機率計算的流程圖如圖4-3

4-1 元素節點排列方式示意圖

圖 4-2 程式架構圖

開始

建網格

計算形狀函數與 Jacobian 矩陣

網格是否正確

解速度場

速度場是否收斂

輸出資料

移動網格點

是否需要網格重建是

計算新網格點之速度值

否

是否繼續計算

否停止

結束初始條件

網格點位置邊界條件

是

否

是否

是否為多孔性介質

使用外流場方程式使用內流場方程式

否是

4-3 粒子運動軌跡與捕捉機率計算的流程圖

開始

計算懸浮粒子所在位置的流場速

計算位置是否碰壁計算速度與位置

是否繼續計算

否結束

初始條件

是

是否

是否為過濾材

計算懸浮粒子被收集效否

第五章結果與討論

本研究為了使過濾器設計人員更了解過濾器的原理，因此在本章第一節將利用以上章節所推導出的公式，進行說明過濾各參數對過濾效率的影響。由於在過濾器的設計中過濾器所產生的壓力差對設計風機時會有所影響，尤其是壓差過大時，會使得風機設計的過於大，佔去過多廠房空間，因此壓差越小過濾效率越高是過濾器的主要目的，因此本章第二節也會說明各參數對壓力的影響。在本章第三節中將說明增加振動對過濾器的影響，並與Kim[20]的實驗值做比較，進行討論。

5.1 過濾各參數對過濾效率的影響

對各參數的設計於表5.1 列出，研究中將對進口速度、孔隙率、纖維直徑、

懸浮粒子粒徑與過濾材厚度五項參數，作為影響對過濾效率的主要因素作為討論，其中表5-1 所使用的參數值，為了與 Kim[20]所使用的參數值所計算出的結果相呼應，因此使用與Kim[20]相同的參數值。

由圖 5.1 進口速度與收集效率關係圖中，可看出速度對總過濾效率(Total efficiency、solid line)、擴散項(Diffusion efficiency、dash-dash line)、攔截項 (Interception efficiency、dash-dot line)、慣性項(Inertial efficiency、dot line)、擴散與攔截修正項(DR Interaction efficiency、gray line)的關係，其中圖中的各作用項是利用各項”單獨存在”作用力時所造成的收集效率，總過濾效率以實線表示，擴散項以破折號組合表示，攔截項以破折號與點號交互組合表示，慣性項以點號組合表示，擴散與攔截修正項以破折號與兩點號交互組合表示，此時實驗參數是對應表5-1，對此進口速度研究時，是將其它四項參數固定不變，並將進口速度由 0.001 到 1m/s 進行變動計算其值，以下的結果皆是以此方法計算得出，由圖中看出，進口速度小於0.01m/s 時，擴散項對過濾效率的影響為主要因素，擴散與攔

截修正項為次要因素，且擴散項速度越小時作用力越強，因此速度越小收集效率會上升；在速度大於 0.3m/s 時，慣性項變為主要因素，且對速度越大時收集效率越高，主要因為速度越大時，懸浮粒子因流線接近多孔粒子變化過大，使懸浮粒子變化不及碰撞到多孔粒子，這種情形會隨著速度增加時發生的情形越高；在速度在0.01 到 0.3m/s 時，因擴散項的下降，慣性項的上升兩者互補不足，此時攔截項為主要因素，在中間產生谷底的情形。

由圖5.2 孔隙率與收集效率關係圖可知，所有的作用項所造成的收集效率都會因為孔隙率的增加而減少，由於孔隙率越大代表流體所佔的比例大，表示纖維所佔的體積較少，因此不管對任何一種作用力而言，懸浮粒子都會較不容易碰撞到纖維直徑，當孔隙率越小時，尤其是攔截項與慣性項對多孔隙的增加影響更大，且由圖可看出，對於過濾材的孔隙率都是相當接近1 的，且減少一點孔隙率的值，就可得到增加相當多的收集效率，增加孔隙率所造成的壓力也是會相當可觀的，在5-2 節中會有較詳細的討論。

通常在考慮過濾材時，不能只看孔隙率，還必須參考纖維直徑大小，當孔隙率接近1 時，並不表示過濾效率差，要是纖維直徑越小，表示過濾材的表面積越大，因此過濾效率反而會因而提升，由圖 5-3 纖維直徑與收集效率關係圖可知，所有的作用項所造成的收集效率都會因為纖維直徑的增加而減少，由之前的解釋可了解，纖維直徑可以代表為過濾材的表面積，纖維直徑越大表面積會越小，粒徑越小則越大，這是因為當孔隙率固定時，纖維直徑越小，將使得纖維數越多，使得過濾材的表面積反而增加，當表面積增加時，過濾材的收集效率就會因此而增加了，反之，纖維直徑越大時，表面積減少，過濾材的收集效率就會減少，且由圖可看出，對於本研究的參數下，過濾材的纖維直徑在小於10μm 時，

收集效率會發生急速增加的情形，且減少一點纖維直徑的值，就可得到增加相當多的收集效率，但增加孔隙率所造成的壓力也是會相當可觀的。

在文檔中利用振動增加濾材之捕捉效率之理論研究 (頁 33-0)

第三章 物理模式

3.2 粒子運動之統御方程式

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

( )

(

)

( )(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫ ( )

( )

(

) (

)

( )

表 3-1 不同

值下，

、

、

之值

3-1 物理模式

圖 3-2 單一纖維收集效率定義圖

圖 3-3 直徑為 d

速度 v

、單位時間 dt 碰撞體積示意圖

第四章 數值方法

( )

( )

( )

∫

(

) (

)

(

)(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)(

)

(

) (

)

[ ]

[ ]

[ ]

(

) { }

{ }

{ }

[

]

第三章物理模式

第四章數值方法

) ^{{ }}

^{{ }}

) ^{{ }}

第五章結果與討論