緒論

第一章 緒 論

1.1 研究動機與目的

當河川特性為長度短、坡度大，而且河床坡度隨山區地形變化而 有陡坡與緩坡互相接連的現象，常造成亞臨界與超臨界流同時存在於 同一流場中，如發生水躍、跌水、乾床等不連續面之流況，這是使得 一般河川數值模式應用於天然河道中常發生不易收斂的最大原因。不 易收斂的情況可能導致模擬結果的誤差擴大，甚至是程式發散。為解 決不連續面以及數值震盪所產生的影響，連和政等(2007-2009)將局 部極值消減法應用於一維淺水波方程式之求解，本研究採用局部極值 消減法結合有限體積法及 Runge-kutta 多時階法，進一步求解二維淺 水波方程式。

本研究模擬兩種不連續面情況以及複雜流場的交波案例，分別是 潰壩模擬、穿臨界流流經底床突起的案例以及超臨界水流流經束縮段 產生交波的案例。討論三個案例的模擬結果，藉此驗證模式的精確度 及穩定度。同時也將模式初步應用於東埔蚋溪之河道模擬，提供未來 模擬現地案例時，解決不連續面流場問題的較佳方法。針對消散項之 指數做敏感度分析，以超臨界水流流經束縮段產生交波為例，對控制 消散項係數做敏感度分析，找出適當的係數範圍。

1.2 文獻回顧

隨著數值方法的演進，針對雙曲線偏微分方程式所面臨的不連續 問題，已經有很多數值方法可以克服如Toro（2001）發展的總變量消 減法（total variation diminishing，簡稱 TVD）及 Jameson（1981）發 展的局部極值消減（local extremum diminishing，簡稱 LED)。已經有

許多學者採用包含完整源項之二維水深平均模式，求解穿臨界流場問 題，而得到不錯的成果

Toro(2001)以總變量消減法求解淺水波方程式， TVD 法廣泛被 應用到航太與水利工程上的數值求解上。優點為其方法可以捕捉複雜 震波問題，求解不連續解有不錯的結果，且可抑制非物理性的震盪，

近年來在計算水力學上也有很大的發展。古孟晃(2003)以水深平均為 基本假設，採用總變量消減法(TVD)之有限差分數值模式，模擬一維、

二維淺水波方程式之變量流問題，探討乾濕交界之處理、能量坡降與 地形變化之處理。林宗賢(2007)利用高精度TVD格式初步模擬台北三 重地區淹水範圍，求得淹水水深資料及範圍，利用GIS 系統加以套疊 處理，提供都市防洪資訊，再配合淹水潛勢資料可作為防災計畫與應 變措施訂定之依據，來測試模式對三重地區的適用性。吳銘順(2006) 採用混合型的總變量消減法，搭配限制式模擬各種潰壩的情況，討論 乾濕交界的處理，並實際應用於台北新店溪流域的模擬。

Lin et al.等(2003)比較四個有限體積混和型智慧 TVD 模式，分 別 為 the Liou–Steffen splitting (LSS) ， van Leer splitting ， Steger–Warming splitting and local Lax–Friedrichs splitting schemes，以 各種潰壩及水躍之流況來模擬驗證，結果顯示以 LSS 模式的模擬結 果最佳。Lin et al.(2005)以高解析二階 TVD 模式進行理想之潰壩模擬，

其中flux vector splitting (FVS)和 direct MUSCL-Hancock(DMH) slope limiter approach 結合後之模式的模擬最為相當理想。

總變量消減法在處理不連續面上有不錯的成效，但是在計算上的 過程較為繁複，應用時必須針對所採用的控制方程式推導特徵向量矩 陣（eigenvector matrices），如此一來，求解的計算量很大，模擬的過 程將會很耗時，而且未來模式功能需要擴充時，如增加處理濃度傳輸

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方程式或動床泥砂傳輸方程式等，便會相當不容易。

Jameson(1984)發展局部極值消減法求解機翼上穿音速流場

（transonic flow）的震波問題（shock wave problem），同時也使用4 階Runge-Kutta時階法改善收斂速度。局部極值消減法主要精神就是 加入人工黏滯項來抑制不連續面所產生的震盪。李隆正(1988)也曾採 用Jameson的局部極值消減法求解多孔性翼剖面在穿音速流場的問 題。

局部極值消減法後來被引用在水利工程方面，Gharangik and Chaudhry(1989) 在MacCormack模式中加入了消散項來模擬水躍的形 成。Fennema and Chaudhry (1990) 加入人工黏滯項(artificial viscosity) 來減少MacCormack 的震盪現象，並且探討在二維矩形渠道的潰壩湧 浪現象。Younus and Chaudhry(1994)在ADI模式中加入人工黏滯項，

分別模擬束縮渠道的水躍以及圓形水躍。Chaudhry and Khan(1995)將 人工黏滯項加入ADI 隱式法並和 MacCormack 顯式法一同模擬在 spur-dike附近的水流情況。Thomas molls & chaudhry (1995 )利用ADI 法並加上人工黏滯項，模擬超亞臨界流、束縮段流況 、180度彎道流 況和潰壩模擬。Meselhe et al(1997)發展自調性消散項，用以模擬穿臨 界流場的情況。Rahman and Chaudhry(1998)加入人工黏滯項模擬潰壩，

並且調整格網討論適應性。

連和政等(2007)採用局部極值消減法求解具源項之一維淺水波方 程式，以不規則底床坡度變化之流場為例驗證模式的準確度。連和政 等(2008) 以Jameson et al. (1981)所提出的自調式人工黏滯法求解急變 流場不連續面之問題，以及採用4階Runge-Kutta改善程式之收斂速度。

模擬假設的一維複雜流場案例作為模式測試。連和政等(2009) 採用 Qy模式直接求解流量與水位的變數，數值方法採用局部極值消減法，

使得在不規則斷面之數值模擬，仍然可以得到良好的數值守恆性。局 部極值消減法相較於總變量消減法具有計算量較小的優勢，配合4階 Runge-Kutta時階法可提升數值穩定度，本研究延續連和政博士等人 之研究，採用局部極值消減法配合有限體積法與4階Runge-Kutta時階 法求解二維淺水波方程式，模擬不連續面流場之情況。

1.3 研究方法與流程

首先著手於二維水深平均水理模式之應用的文獻蒐集與整理。理 論基礎主要利用水深平均之定義及邊界條件配合萊布尼茲積分推導 出二維水深平均之控制方程式。本研究之數值方法採用有限體積法、

具有抑制震盪作用的局部極值消減法以及提高數值穩定度的四階 Runge-Kutta 時階法。應用案例則選擇模擬潰壩案例、穿臨界流案例 及超臨界流經過束縮段產生交坡之案例，分別是為了測試控制方程式 中的慣性項、重力項及摩擦項對模擬精度之影響，並且挑選超臨界流 經過束縮段產生交波之案例，作為消散項係數之敏感度分析，也針對 不同消散項係數所耗費的 CPU 作討論。同時將模式初步應用於東埔 蚋溪河道模擬，驗證模式之可行性。結論的部分，針對模擬結果作分 析以及誤差原因的推測，並且提出需要改善的事項或未來的發展方向 作為建議。

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文獻回顧資料蒐集 水理模式資料蒐集、整合

理論基礎

二維水深平均控制方程式公式推導  

數值方法 1. 有限體積法

2. 局部極值消減法

3. 四階 Runge-Kutta 時階法

案例模擬及參數分析 1. 潰壩案例(慣性項)

2. 穿臨界流場案例(重力項) 3. 超臨界流在束縮河段產生交波 案例(摩擦項)

4. 針對消散項係數作敏感度分析 5. 東埔蚋溪河道模擬

結論

1. 模式在模擬中的精確度與穩定度 2. 敏感度分析的結果

3. 未來建議

1.4 本文結構

第一章 導論:

說明研究的動機、目的、研究流程與回顧前人的貢獻。