Hurricane Hugo (1989) 的飛機觀測中(圖 1)，邊界層的徑向風速在距離中心 8 公里處內側為 10 m s−1向外，而外側為內流約 20 m s−1，在 500 百公尺內風速 急遽的變化，Williams et al. (2013) 將此結構稱為似震結構 (shock-like structure)，
而此徑向風速差伴隨著上升運動達20 m s−1，為一般所認定的眼牆。在Williams
CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 以五階收斂。這表示 WENO5、CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 經過權重重新計算後，對於平滑函數的問題仍然能夠相當接近有限 差分法的特性。另外，五種數值方法都顯示頻散誤差較耗散誤差大，而WENO5、
CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 由於權重的重新計算，導致耗散誤差相較於四階 中差分法以及波譜法大。
在柏格斯方程式實驗中，當函數還是平滑的時候 (t = 1 s)，五種數值方法的 誤差隨著解析度增加而收斂。但接近震波結構形成的時間 (t = 1.975 s)，即便增 加解析度，五種數值方法的誤差卻沒有顯著的下降。然而由數值解與解析解的比較
中，可以明顯觀察到，WENO5、CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 的誤差都在震波 結構附近，遠離震波結構的數值解和解析解吻合，表示計算時整體的結果不會受到 震波結構的影響。然而四階中差分法和波譜法的誤差則散布在整個計算範圍。
剛體旋轉平流實驗中，WENO5、CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 除了質量些 微增加以及能量減少，其他性質都比四階中差分法優異，這可能是由於數值的收斂 階數較高的緣故。整體來看，WENO5、CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 對於普通 平流問題的數值特性接近有限差分法。另外，在以上三個數值實驗中，所有的數值 差的量值或各種物理保守特性，不如近年來所發展的CRWENO5 以及 CRWENO5-LD，但應用於單層邊界層模式中，得出的結果卻非常相似(圖 26)，而且在 4.4 節 的討論中可知，WENO5 的似震結構強度的維持，在較粗的解析度下，優於高解析 度的二階中差分法。另外，由於CRWENO5 以及 CRWENO5-LD 的計算複雜度較 WENO5 高，這可能顯示 WENO5 對於氣象的數值計算而言，已經是相當足夠且有
三個雙眼牆實驗中，兩個渦旋交互作用後，會形成雙眼牆結構，並且在邊界層
Schubert and Hack (1982) 以及 Hack and Schubert (1986) 的工作中探討理想的 平衡渦旋模式中，能量由非絕熱加熱轉換為動能的效率，結果顯示當總加熱量固定 時，加熱效率會隨慣性穩定度增加而上升，顯示加熱區域對於加熱效率扮演重要的 角色。本研究的第二部分的實驗顯示，單眼牆颱風的上升速度分布區域在慣性穩定 度較大的區域，這可能顯示了似震結構所導致的上升速度有助於單眼牆颱風的增
強。另外，中心渦旋和外側位渦帶交互作用後，會使上升速度極值往慣性穩定度小 的區域移動，可能使增強的效率下降，這表示渦旋交互作用時，不僅要考慮位渦的 結構，邊界層上升速度的分布也是影響颱風強度的重要因素。
本研究的模式不包括熱力的過程，以純粹動力的觀點，可以解釋邊界層內上升 運動的機制，表示動力所導致的邊界層似震結構，可能對眼牆的演變扮演著重要角 色。
圖
圖 1：Hurricane Hugo 的風速剖面。觀測時間為 1989 年 9 月 15 日，紅線為飛 機由颱風的西南方高度約434 公尺穿越眼牆所得的觀測資料，在穿越眼牆之後，
飛機高度上升到約2682 公尺，由颱風的東北方穿越眼牆，藍線為穿越東北方眼 牆時所得的觀測資料。橫軸為中心距離(km)，縱軸為風速(m s-1)。上圖實線的部 分為切向風場 v，虛線為徑向風場 u，下圖為上升速度 w 。(摘自 Williams et al., 2013)
圖 2：Williams et al. (2013) 實驗中邊界層初始渦度場分布圖。橫軸為中心距離 (km)，縱軸為渦度值(×10-3 s-1)，C1、C3 以及 C5 分別代表實驗中 category 1、
3 以及 5 的渦度值。(摘自 Williams et al., 2013)
圖 3：Williams et al. (2013) 實驗中 t = 3 h (模式時間第 3 個小時)的邊界層風場 結構。由上而下分別為徑向風速u(m/s)、切向風速 v(m/s)、上升速度 w(m/s)以 及渦度 ζ(10-3 s-1)。橫軸為中心距離(km)。藍色、綠色以及紅色虛線分別代表邊 界層中強度為category 1、3 以及 5 的初始場。藍色、綠色以及紅色實線代表邊 界層達到近似穩態時的風場結構。(摘自 Williams et al., 2013)
圖 4：渦旋強度為 category 3 所驅使的單層邊界層模式，在達到近似穩態(模式 時間第 3 小時)前的結果。四張圖由上而下分別為徑向風速 u(m/s)、切向風速 v(m/s)、上升速度 w(m/s)以及渦度 ζ(10-3 s-1)，橫軸為中心距離(km)。圖中的黑 色虛線表示邊界層模式中的初始場，而藍色、綠色、紅色以及黑色實線代表模 式時間0.5、1.0、2.0 以及 3.0 小時的風場結構。從圖中可以看到在模式時間 2-3 小時邊界層風場達到近似穩態，此時在距離中心約 12-3-15 公里處形成似震結 構，徑向風速差在兩公里的範圍內超過20 m s-1，伴隨上升速度超過22 m s-1， 在自由大氣的最大切向風速區內側(約距中心 16 公里處)，約 13-16 公里處產生 超梯度風，而外側(大於 16 公里處)產生次梯度風。(摘自 Williams et al., 2013)
圖 5：Hurricane Gilbert 機載雷達回波觀測。觀測時間為 1988 年 9 月 12 日 1731 UTC，圖中的灰階為雷達回波強度(dBZ)，圖中為颱風東南象限雨帶的位置，圖 中垂直於此雨帶的直線為當時19 架飛機穿越觀測的位置。(摘自 Williams et al., 2013)
圖 6：圖 5 中穿越東南象限雨帶，在高度約 720 公尺的飛機觀測，觀測路徑為
圖 5 黑色直線，觀測時間為 1722:00 至 1731:10 UTC。上圖為徑向風速 u(m s-1)，中間圖為上升速度 w(m s-1)，橫軸為離颱風中心半徑(km)。下圖為 19
架飛機觀測所合成的徑向風速垂直剖面，橫軸為離雨帶的距離(km)，縱軸為高 度(km)。圖中顯示在雨帶的中心(約 170 km 處)徑向風速梯度大(上圖)，並伴隨 上升速度超過4 m s-1 (中圖)，下圖顯示徑向風速梯度較大為邊界層的特徵。(摘 自Williams et al., 2013)
圖 7：Hurricane Frances 飛機觀測資料。觀測時間為 2004 年 8 月 30 日 1815 UTC 的。圖中的黑色實線為切向風速。橫軸的 0 表示颱風中心，橫軸為中心距 離(km)，縱軸為風速(m s-1)。從圖中可以觀察到有三個似震結構。(摘自 Sitkowski et al., 2011)
圖 8：1996 年賀伯颱風的五分山雷達回波圖。上圖依照時間順序為由左而右，
由上而下。觀測時間為7 月 31 日 1507 LST 到 1733 LST。圖中的橢圓形長軸約 30 公里，而短軸約為 20 公里。 (摘自 Kuo et al., 1999)
圖 9：四個西太平洋雙眼牆颱風的微波衛星影像。色階為亮度溫度(Brightness temperature)。圖中的左圖和右圖時間間距大約為 12 個小時，而最大風速估計 值在圖形上標。(摘自 Kuo et al., 2008)
(a)
(b)
圖 10：(a)Hurricane Ivy 雷達回波觀測圖。觀測時間為 2004 年 9 月 12 日 1304-1324 UTC，觀測範圍為 360 km×360 km，此時颱風為雙眼牆結構。(b)Hendricks et al. (2010)中渦度場 ζ的初始條件，畫圖範圍為 200 km×200 km。上圖色階為 (dBZ)，下圖色階單位為(×10-3 s-1)。(摘自 Hendricks et al., 2010)
圖 11：WENO5 重構格點資訊示意圖。其中左側為上游，f̂j+1/2 為重構的通量函 數，使用的格點資訊從 j-2 到 j+2 ，Δx 為格點間距。(摘自 Henrick et al., 2005)
圖 12：線性平流實驗中，L2誤差對應格點數函數圖。其中包括四階中差分法、
WENO5、CRWENO5、CRWENO5-LD 和波譜法平流一周後 (t = 2 s) 的結果。
橫軸為格點數，以對數座標表示，縱軸為L2誤差的指數。
(a) 耗散誤差
(b) 頻散誤差
圖 13：線性平流實驗中，(a)耗散誤差以及 (b)頻散誤差對應格點數函數圖。橫 軸為格點數，以對數座標表示，縱軸為誤差的指數。其中包括四階中差分法、
WENO5、CRWENO5 和 CRWENO5-LD 平流一周後 (t = 2 s) 的結果。由於四 階中差分法和波譜法的耗散誤差小於捨入誤差，所以沒有畫在圖 (a)中。另外，
波譜法的頻散誤差小於電腦計算的誤差，沒有畫在圖 (b)中。
(a) t = 1 s
(b) t = 1.975 s
圖 14：柏格斯方程式實驗的結果。(a) t = 1 s (平滑函數)和 (b) t = 1.975 s (接近 震波結構形成時間)。橫軸為數值計算的範圍，縱軸為函數 u 的值。其中包括 解析解、WENO5、CRWENO5 和 CRWENO5-LD。
(a) t = 1 s
(b) t = 1.975 s
圖 15：柏格斯方程式實驗的結果。(a) t = 1 s (平滑函數)和 (b) t = 1.975 s (接近 震波結構形成時間)。橫軸為數值計算的範圍，縱軸為函數 u 的值。其中包括 解析解、四階中差分法和波譜法。
(a) t = 1 s
(b) t = 1.975 s
圖 16：柏格斯方程式實驗中，L2誤差對應格點數函數圖。橫軸為格點數，以對 數座標表示，縱軸為L2誤差的指數。(a) t = 1 s (平滑函數)和 (b) t = 1.975 s (接 近震波結 構形成 時間)。其中包括四階中差分法、WENO5、CRWENO5、
CRWENO5-LD 和波譜法。
(a) 耗散誤差 (t = 1 s)
(b) 頻散誤差 (t = 1 s)
圖 17：柏格斯方程式實驗中，(a)耗散誤差和 (b)頻散誤差對應格點數函數圖。
橫軸為格點數，以對數座標表示，縱軸為誤差的指數。其中包括四階中差分法、
WENO5、CRWENO5、CRWENO5-LD 和波譜法在 t = 1 s 時的結果(平滑函數)。
其中圖 (a)的波譜法在低解析度下的耗散誤差已小於捨入誤差，所以只有畫到 格點數為32 的結果。
(a) 耗散誤差 (t = 1.975 s)
(b) 頻散誤差 (t = 1.975 s)
圖 18：同圖 17，唯時間 t = 1.975 s。
圖 19：等角速度(ω=1/(2)0.5)的剛體旋轉風場及高斯錐體的初始位置。黑色虛線 同心圓為風場，等值線間距為0.0625。黑色實線為高斯錐體，波形中心 (x0,y0 )=(-0.3,-0.3)，等值線間距為 0.05。研究範圍 (x,y)∈[-1,1]×[-1,1]，|V⃗⃗ max| = 1。
(a) 四階中差分法
(b) 波譜法
圖 20：二維剛體旋轉平流實驗平流五圈後的結果。其中 (a)四階中差分法以及 (b)波譜法。圖中的等值線間距為 0.05。
(a) WENO5
(b) CRWENO5
圖 21：與圖 20 同，唯 (a)WENO5 以及 (b)CRWENO5。
圖 22：與圖 20 同，唯 CRWENO5-LD。
(a)
(b)
圖 23：二維剛體旋轉平流實驗中，高斯錐體平流五圈後 y = 0.3 的剖面。
(a)WENO5、CRWENO5、CRWENO5-LD 以及波譜法。(b)四階中差分法。圖中 黑色實線為解析解。
(a)
(b)
圖 24：與圖 23 同，唯 x = 0.3 的剖面。
圖 25：Williams et al. (2013) 邊界層厚度的敏感度測試圖。比較強度 category 3 渦旋在t = 3 h(模式時間 3 小時)的結果。由上而下分別為徑向風速 u(m/s)、切 向風速 v(m/s)、邊界層上升速度 w(m/s) 以及渦度 ζ(10-3 s-1)。橫軸為中心距離 (km)。黑色虛線為邊界層初始風場，由於上層自由大氣的風場不變，所以也可 視為自由大氣的風場。紫色、藍色、綠色、紅色和棕色實線分別代表邊界層的 厚度為500、750、1000、1250 以及 1500 公尺的結果。根據連續方程式，邊界 層的上升速度為 w|z=h =-h(𝜕ru/r𝜕r)，所以即使邊界層較薄 (h=500 m) 的內流較 強，上升速度仍舊比厚度較厚 (h=1500 m) 還小。(摘自 Williams et al., 2013)
圖 26：單層邊界層模式三種數值方法測試結果。強度為 category 3 的渦旋在模 式時間第 3 小時的邊界層風場結構。圖中由上而下分別為徑向風 u(m s-1)、切 向風 v(m s-1)、邊界層上升速度 w(m s-1)以及渦度 ζ(10-3 s-1)。橫軸為中心距離 (km)。模式解析度為 500 m，而紅色實線為 WENO5，綠色實線為 CRWENO5，
藍色實線為CRWENO5-LD，黑色虛線為初始條件。
(a) 二階中差分法解析度 100 m
(b) WENO5 解析度 500 m
(c) 解析度 390 m 波譜法
圖 27：強度 category 3 邊界層上升速度 w(m s-1)隨時間的演變圖，模式時間分 別為0、0.5、1、2 以及 3 小時。其中包括三種不同數值方法。(a)Williams et al.
(2013) 採用加入擴散項的二階中差分法，解析度為 100m 的軸對稱邊界層模式，
(b)WENO5 解析度為 500m 的卡氏座標邊界層模式以及 (c)加入 Lancozs filter 的 波譜法，解析度為 390m 的卡式座標邊界層模式。橫軸為中心距離(km)，縱軸 為風速(m s-1)。(上圖摘自 Williams et al., 2013，下圖摘自程, 2014)
(a) 徑向風速
(b) 切向風速
圖 28：WENO5 單層邊界層模式解析度測試結果。強度 category 3 的渦旋在模 式時間第3 小時的邊界層風場結構。(a)徑向風速 u(m s-1)，(b)切向風速 v(m s
-1)。橫軸為中心距離(km)。黑色實線為解析度 250 m，紅色實線為解析度 500 m，
綠色實線為解析度750 m，藍色實線為解析度 1000 m，黑色虛線為初始條件。
圖 29：WENO5 單層邊界層模式解析度測試結果。強度為 category 3 的渦旋在 模式時間第3 小時的邊界層上升速度 w(m s-1)。橫軸為中心距離(km)。黑色實
圖 29：WENO5 單層邊界層模式解析度測試結果。強度為 category 3 的渦旋在 模式時間第3 小時的邊界層上升速度 w(m s-1)。橫軸為中心距離(km)。黑色實