一、結果
根據前述的討論，歸納本研究的結果如下：
(一) 具體角情境知識階段的發現
具備明顯的角形特徵之具體角情境，以及良好的幾何語言能力，有助於學童對角 知識的建構，以邊長的概念為例，A 組四位參與者的描述分別為「一樣長」、「都斜 斜的」、「路平平的」和「都有斜坡」，參與者對於「邊長」意義的認知不足，無法 協助參與者注意到情境中的「邊長」屬性；而學童「全無」的概念是否發展完成，影 響學童對於 0 度角的認知；此外，情境知覺的統合是否完成，影響參與者對於情境中 某一概念的認知是否一致。
(二) 具體角情境擴展階段的發現
角落、傾斜、旋轉和彎曲路徑等四種角脈絡，對於三年級參與者而言，具備明顯 的個別脈絡屬性，角情境可依上述四種角脈絡進行分類；而彎曲物體與交叉二角脈絡 之脈絡屬性，參與者並不容易知覺。此外，具體角情境的表面性特徵，為參與者分類 角情境的主要依據。
(三) 抽象角模擬活動階段的發現
在彎曲物體角脈絡的標準角模擬上，參與者使用 3 號和 6 號模型兩種模型模擬角
情境時，表現出標準角模擬的次數較高，至於其他角脈絡，七個模型的表現則沒有明 顯差異。在參與者所選取的最佳抽象角模型中，3 號和 6 號抽象抽象角模型被選取的 次數較高。至於參與者認知角脈絡中標準角的難易度，由易而難，依序為交叉脈絡、
角落脈絡、彎曲物體脈絡、彎曲路徑脈絡、傾斜與無限制旋轉脈絡。
(四) 認知脈絡對相似性階段的發現
參與者所選擇的最佳角模型較前一階段，有集中化的趨勢，參與者傾向選擇與角 脈絡明顯具有構造上相似性的抽象角模型，如與角形相類似的「V」形模型，或與交 叉相似的「X」形模型。回答角脈絡對相似性的問題時，以交叉與彎曲物體脈絡對的 回答具有標準角相似性的比例最高；角落與傾斜面脈絡對以及旋轉與彎曲路徑脈絡 對，則各有一半的參與者認為其具有標準角的相似性。受幾何語彙能力不足的影響，
參與者以日常生活語彙描述角形，例如以「尖」、「彎的地方」與「頂點」來表示脈 絡對所具有的角形「相似性」。
(五) 造角形活動階段的發現
參與者較容易從交叉與彎曲物體脈絡對中，抽離出抽象角形，而其它二脈絡對中 的造角形表現相接近。參與者對於角概念的認知，是「形」先於「定義」的。在 Mitchelmore 與 White（1998）的類似研究中，只要參與者能以抽象角模型對齊具體角情境中的角，
便被歸類為已認知具體角情境中的標準角；本研究以為，上述的表現只能表示參與者 認知兩者的相似形，並不必然表示參與者已認知其抽象意涵，也就是大部分的參與者 仍未建構出角形的抽象意義（即角的定義）。
若根據 Mitchelmore 與 White（1998）的評定規準，參與者在造角形活動中，顯示 有較高比例的解題能認知角脈絡對中的標準角，亦即經由造角形活動，大部分的參與 者已掌握「角形」的構造特徵。
(六) 建構角意義知識階段的發現
本研究的結果顯示，部分參與者受認知基模的影響，阻礙了新概念的建構，雖然 大部分的參與者在經歷五個晤談階段後能夠造出標準角形。而透過適當的學習情境設 計，參與者是有可能建構出抽象化的角概念。本研究的十二名參與者其角概念的發展，
平均分佈於 Mitchelmore 與 White（1998）角概念發展理論的三個階段中。而角概念發 展階段理論的意義在於提供以概念形成的觀點，讓研究者或教師從兒童本身的角度，
來重新省思兒童的角脈絡分類與角概念發展架構。三年級參與者藉由不同角脈絡具體
物的觀察與操作、角情境的擴展、抽象角模擬活動、認知不同角脈絡相似性與造角形 活動，有助於其從不同的角脈絡中建構出抽象的角意義。
二、建議
由本研究發現，三年級學童也可以學習不同脈絡的角，像是張開角或旋轉角，而 不單是圖形角。因此，為了避免學童形成角的迷失概念，以致於妨礙角概念的學習，
建議課程中應安排多樣化角脈絡的學習情境。在課程設計方面，圖形角的課程設計上 有必要做適當的修正，引入「兩個邊相交於一點」之整體角形的認識。而在教學設計 方面，教師應發展學童對幾何相關語彙的了解，可透過適當的輔助工具或活動設計，
讓學童建構抽象化的角概念。此外，在評量活動方面，由本研究中可發現，學童在晤 談的各個階段，無法以成人社群的用語來表達，而透過適當的教學設計，三年級參與 者能夠從不同的角脈絡的中抽離出抽象的角，具備了良好的角知識，可見，傳統的紙 筆評量不僅無法真正有效測量學童的認知結構，也由於評量的方式限制了教學的多樣 化，教師宜採取變通性的評量，才能夠有效地評量學童對角知識的認知結構。