第四章 與電磁波探測器
4.1 前言
台灣地區，每遇颱風豪雨常有崩塌、土石流等嚴重的災害發生。然而可能發生土石流的危 險區域甚多，如要一一加以整治，則費用將十分龐大且耗時甚久。因此以預警系統於土石 流發生前或發生後提出警告，用以保障下游居民之生命安全，為一較經濟之辦法。在許多 土石流的成因中，其誘發運動之原因均為土壤中水分含量超過某一程度而地下水位又甚 高，所以造成土石之集體運動。因此，地下水位的位置是決定土石流是否發生之重要因素。
而發生後土石流含水量也很高，故我們提出一個預警系統之基本構想─首先調查並判定出 會發生土石流的危險區域，之後用地下水模式計算其危險的地下水位，並同時監測其地下 水位。在水位即將達到臨界值前一段時間發佈警訊，使下游居民有時間逃離。而因為此種 危險水位均離地面不遠，因此本研究之著重點是在淺層地下水位（離地表兩公尺以內）。而 以電磁波接近光速的波速而言，地下水位的變化可視為靜止，即可以做到即時的測量。而 在土石流發生後，反射之訊號更可用來計算土石流之前鋒速度與剖面，因此可以用來記錄 土石流之運動，進而再修正土石流之規模與到下游之時間。
4.2 電磁波之模擬 4.2.1 控制方程式
電磁波的控制方程式為 Maxwell 方程式:
t E B
∂
∂G G =−
×
∇
t J D
H ∂
∂G G G = +
×
∇ ∇ D⋅ G = ρ
∇ B⋅ G =0
(4.1) 其中 EG
為電場，JG為電流，HG
為磁場，ρ為電荷密度， DG
為電通量密度， BG
為磁通量密度。
而電通量密度 DG
與電場 EG
則以線性介質處理（Chen, 1989, pp.110），因此 E
DG G ε
= BG HG µ
= JG EG σ
= (4.2)
其中，ε 為介質的介電係數(dielectric constant or permittivity)，µ為介質的導磁係 數(permeability)，σ 為介質的傳導係數(conductivity)。根據一般公認的研究，只要介
質中不含磁性物質，則µ為定值（µ =µ0，µ 為真空中的導磁係數）。ε 和σ 則視介質可能0 為空間和時間的函數。
本文將室內實驗土壤視為等向性介質，因此用層狀介質法(Ulaby, Moore and Fung, 1986) 來模擬電磁波。層狀介質法是把土壤在深度上分層，每一層的土壤特性不同，而同一層內 則有相同的土壤特性；將土壤特性代入土壤介電係數的模式，即在不同層可得不同的介電 係數。再針對某一特定頻率的入射波，以解析的方式解出該頻率下的反射波；最後再把各 個頻率的反射波組合，經過傅氏轉換 (Fourier transform)後得到時域 (time domain) 上 的解答。此法適用於室內實驗或現場，土壤分佈均勻時使用。
4.2.2 土壤與水的介電係數
要運用層狀介質法於土壤，則其物質參數即µ、ε 和σ 均得先知道，其中µ =µ0為真空中 的導磁係數，為一常數（其值為 107
14π× ）；σ 可由介電係數的虛部得到。
一般認為土壤可視為土壤顆粒、空氣和水的組合。水又可分成僅包含在土壤顆粒邊緣一層 薄膜內的包覆水 (bound water) 和可以四處流動的自由水 (free water)。由於包覆水被 土壤顆粒緊密吸引，使得電磁波入射在包覆水和自由水中的行為有很大的不同，所以土壤 的介電係數之行為表現需視為這四種成分的組合 (Ulaby，1985； Wang，1980; Shutko，
1982)。同時土壤的介電係數又為鹽度、含水量、土壤級配、溫度和入射波頻率的函數；其 中鹽度、頻率、和溫度只會影響土壤中自由水的介電係數，而土壤級配會造成土壤顆粒表 面積很大的變化，而影響到包覆水的多寡，進而影響到土壤的介電係數。在現存的文獻中，
大部份研究都集中於含水量、頻率和土壤組成對介電係數的影響，關於鹽度和溫度的影響 多併入水之介電係數中 (Ulaby，1986)。
4.2.2.1 水的介電係數
水的介電係數主要受溫度、頻率和鹽度的影響；而純水的介電係數可用 Debye equation (Debye, 1929)表示為：
w w w w
fw i πfτ
ε ε ε
ε 1 2
0
+ + −
= ∞ ∞ (4.3)
其中εfw為水在入射波頻率為 f 時的介電係數，f 為入射波頻率。而根據 Lane and Saxton
(1952)，ε =4.9 為在頻率趨近無窮大時之介電係數。且其受溫度影響很小，一般均視為w∞ 常數。 而溫度因子τ 則可由下式求得 (Stogryn，1971) : w
3 16 2
14 12
10 3824 10 6938 10 5096 10
10 1109 1
2πτw = . × − − . × − T + . × − T − . × − T (4.4)
w0
ε 則可由下式求得 (Klein and Swift，1977 ) :
3 5 2
4 4
0 88.045 0.04147T 6.295 10 T 6.295 10 T 1.75 10 T
w
−
−
− + × + ×
× +
−
ε = (4.5)
其中 T 為溫度 (℃) 。至於鹽度則會造成電磁波衰減得非常嚴重（Klein and Swift (1977)，
Ho and Hall (1977) ，Ho et. al (1974)）。一般土石流地區鹽份均低，故不考慮。本次 實驗中採用純水的式子來求水的介電係數。例如在溫度為 ，入射波頻率為 2.56GHz 時，
自由水之相對介電係數為 77.98-12.43i。
°C 25
4.2.2.2 土壤介電係數模式
有關土壤介電係數的模式，早在 1950 年代就有學者提出，這些早期的公式均是在特定的實 驗條件(土壤種類、頻率等)下所得到的結果，大多只視土壤為土壤顆粒和水兩種成分所組 成，但這些公式都只能預測出土壤介電係數的趨勢，而無法準確預測實驗值。而且，由於 沒有需檢定之參數，所以它們大致上都只能適用於特定的土壤種類和特定的頻率。
Shutko（1982）把這些公式做一整理，並以一些公認較準確且泛含各種土壤組成及實驗頻 率的實驗值來做比較，結果發現只有 refractive formula(Birchak，1974)較好，其餘不 是只適合於特定土壤就是只能用於極窄的入射波頻率範圍內。而在頻率 1GHz~30GHz 之間，
土壤種類從純砂(pure sand)到純黏土(pure clay)，refractive formula 都表現的不錯，
再加上簡單易用，適合作為初步估計用的公式。
約自 1980 年左右，學者們基於四種組成物混合 (four component mixing) 的概念，開始 提出半經驗甚至理論的模型。這些模型中，由於多考慮了空氣和包覆水 (bound water) 的 存在，較能準確預測出電磁波在土壤中的行為，並藉著一些需校正參數的改變，已能充分 反應出土壤成分和入射波頻率對介電係數的影響，所以較能適用於現地複雜的土壤成分。
由於其相當的複雜，再加上有 3~4 個參數要檢定，所以必須先對現地的土壤進行採樣，暸 解其成分，並在使用前加以檢定。
在上述概念下的土壤介電係數模式很多，但目前經最多人使用且經試驗證明最適合土壤用
之模式為 Ulaby(1985)所提出之模式。劉格非，黃名村，顏文儒（2000）也以實驗證實 Ulaby 模式確實優於其他之模式。Ulaby 根據四種組成物混合 (four component mixing) 的概念，
視土壤為土壤顆粒、包覆水、自由水和空氣所組成，提出一個半經驗模型，此模型易於使 用，加上其所測試的實驗資料幾乎包含了各種土壤級配，頻率也由 l GHz 到 l8 GHz 都有，
準確性又很好，所以本文將用此模型來模擬土壤的介電係數。其概述如下 : εα
α α
α α
α ε ε ε ε
εs =Vg g +Va a +Vfw fw+Vbw bw mvβ αεfw =Vfwεfwα +Vbw bw (4.6)
其中ε 、s εg、ε 、a εfw分別代表土壤、土壤顆粒、空氣與自由水之介電係數，Vg與 Va為土 壤顆粒和空氣所佔的體積百分比，mv為土壤的體積含水量，而α與β為要校正的參數。根 據 Ulaby 所做的研究
65
=0.
α βε′ =(127 48 0 519. − . S −0 152. C )/100 100
/ ) 166 . 0 603 . 0 33797 . 1
'' =( − S− C
βε (4.7) 其中，
ε'
β
及β
ε''分別代表由(7)式計算介電係數的實部與虛部時分別輸入的β值，S 與 C 為砂與黏土之體積百分比。土壤顆粒之介電係數ε 亦可用土壤顆粒之乾比重s ρ 表為 b 062
. 0 ) 44 . 0 01 . 1
( + 2−
= b
g ρ
ε (4.8) 例如石英砂之孔隙率 0.55，含水量 mv=0.375，入射波頻率 2.56GHz 時，其相對介電係數為 33.28-4.18i。
4.3 層狀介質法(LAYERED-MEDIA METHOD)
自然環境下，地表的改變尺度比起電磁波波長大很多，因此任何地面狀 況，我們都可以用層狀介質來看待，只是每壹層中的介電係數會因組成成分與 含水量而改變。
電磁波的控制方程式為麥克斯威爾方程式(
Maxwell＇s Equations
)2 2 2
t E t
E E
∂ µε ∂
∂ µσ ∂
G G G
+
=
∇ (4.9)
因為是線性方程式，因此可以把不同波長分開處理，令EG(r,t)=Re
[
EG(r)⋅eiωt]
並帶入(4.9)∇2EG(r)+ 2 cEG(r)=0 µε
ω (4.10)
其中 ε ε
ω ε σ
εc = −i = ′−i ′′為複數介電常數..
每壹層間的邊界條件為切線方向的電場與磁場強度連續
t
t E
E1 = 2 ; H1t = H2t (4.11)
下標數字為層數，t 表切線方向.
因水平項電場只有 Ey 因此 (4.10) 在每一層中可寫為
2 0
2 2 2 2
= +
+ m m )Eym z
( x ω µ ε
∂
∂
∂
∂ (4.12)
解上式可得
(
m ik z)
ik0xsinθ0z ik m
ym A e C e e
E = zm + − zm − (4.13)
其中 kzm =(ω2µmεm −k02 sin2θ0)12;k0 為空氣中波數; θ 為入射角 0 與 分別為入 社與反射的振幅。對電場取 Curl，得磁場為
Am Cm
0 θ0
ωµ
sin x ik z ik m z ik m m zm
xm k (A e C e )e
H = zm − − zm − (4.14)
0
0 0
0 θ
ωµ
θ ik z ikxsin
m z ik m m
zm k sin (A e C e )e
H = zm + − zm − (4.15)
自各層中間的邊界條件 (4.11) 可得
m ) m ( z m
) m ( m z
zm m
zm ik d
m d ik m d ik m d ik
me C e A e C e
A − + = +1 − +1 + +1 +1 (4.16)
) e
C e
A ( k ) e C e
A (
kzm m ikzmdm m ikzmdm m z(m ) m ikz(m )dm m ikz(m )dm
m
1 1
1 1
1 1
+ +
+
− + +
−
+ − =µ −
µ (4.17)
只要入射波大小給定，上兩市及可解得其他各層之入社與反射波。接下來我們就已試驗來 驗證理論與電磁波探測器的可行性。
4.4 地下水位之探測
土石流最常見的發生方式為河床堆積飽和後受沖刷形成或邊坡不穩崩落後與河川中水混合
而成，也有其他學者如 Sitar（1992）等認為土壤內的孔隙水壓突然上升，是導致土體不 穩定轉變成土石流的重要因素。促使水壓上升的原因可能為雨水的入滲，或者是暴雨帶來 的充沛水量由底岩向上湧升而導致土石流（王幼行，1994）。不論土石流形成原因為何，地 下水位過高均是導致土石流發生的重要因素。
4.3.1 實驗設備
在現地測量地下水位時，我們將電磁波打入土壤中，可得到一組即時的反射訊號。如何從 反射訊號中估計出水位的位置，便是此研究中最重要的課題。為了驗證電磁波探測地下水 水位之可行性，本研究用室內實驗將實驗結果與層狀介質法計算出之結果做比對。
4.4.1.1 實驗設備佈置
因為壓克力的介電係數較接近空氣的介電係數，在碰到電磁波時只會產生很小的反射，因 此整個砂箱以壓克力製成。實驗之樣品 (砂) 裝在一個長、寬、高均為一公尺之壓克力箱 子，在箱子底部每隔 2 公分便鑽一個洞，而每 4 個小洞便鑽一個較大的洞以讓水位計的管 子通過。在這個鑽過洞的箱子底部另有一 l 公尺長，l 公尺寬，4 公分高的充水段；當進水 時，水會先進入充水段，把充水段填滿後再透過上方箱底的小洞慢慢進入土體；同樣的，
排水時水先進入充水段再由出水口排出。如此才能確保水位會均勻的抬升與下降。是否均 勻更可用水位計來檢視箱內水位。
發射電波之天線架於一個底座有輪子且高度可調整之天線架上，整個架子以塑膠製成以減 少雜訊。天線並與 HP8722 網路分析儀（精度-50dB）相接。HP8722 網路分析儀為一可以產 生 0.6GHz 到 7GHz 的訊號源，並可以接收訊號、分析與記錄的機器。由網路分析儀所產生 之訊號，經由同軸電纜傳輸至天線，再以波的形式發射出去。本研究使用頻率由 1GHz 到 4GHz 的波。實驗用粒徑均在#20 號篩和#40 號篩之間的石英砂來試驗。
發射電波之天線架於一個底座有輪子且高度可調整之天線架上，整個架子以塑膠製成以減 少雜訊。天線並與 HP8722 網路分析儀（精度-50dB）相接。HP8722 網路分析儀為一可以產 生 0.6GHz 到 7GHz 的訊號源，並可以接收訊號、分析與記錄的機器。由網路分析儀所產生 之訊號，經由同軸電纜傳輸至天線，再以波的形式發射出去。本研究使用頻率由 1GHz 到 4GHz 的波。實驗用粒徑均在#20 號篩和#40 號篩之間的石英砂來試驗。