莊承瀚 (高師大附中) 林于瑈 (鳳山高中)

中華民國九十四年五月

姓名：王乃玉學校：高雄女中日期：94 年 1 月指導老師：呂宗澤教授

★ 前言：

有一個常見的有趣問題是，「在一個正方形的四頂點上任意寫 4 個正整數，

把任兩頂點的非負數值差寫在兩數的中間，再將新產生的四點連成一正方形，依此動作重複下去。求最後的結果？」大家都知道答案是 0，我們把它用向量表達可寫成（0，0，0，0），就此我們想去探討，除了四個數字（n＝4），其他是否也會有特殊的結果。

★ 問題：

探討 n＝3，4，5，6，7 時整體的走向與分類，並說明。

★ 基本性質：

已知φn(αb1，αb2，、、、，αbn)＝αφn(b1，b2，、、、，bn)

★ 成果：

如下，

◎ 1. 當 n＝3、4、5、6、7 時，循環的圖形

首先，我們先設定這些向量皆由（0，1）所組成，再去分析他們最後的走向，並加以討論。

（1） n＝3 時

由下圖可知，全部 2³個向量皆往此兩種循環走。其中一種會開始作無止境的循環，此由三個向量合成的循環，每一個向量除的本身循環外，還有另一向量藉由它進入此循環；另一種是個終止性的循環，最後會全部都變成 0 向量，不再改變。

1 1 1 1 0 0

0 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0

（2） n＝4 時

根據下圖我們得知，不論從哪個向量開始，皆會往 0 向量走，而沒有所謂的循環。

↓

1 0 0 1 ← 0 1 1 1

0 0 1 0 ↓ 0 1 0 0 1 0 1 1 → 0 1 1 0 → 1 0 1 0 ↓

1 1 0 1 ↓ 1 1 0 0

1 1 1 1 ← 0 1 0 1 ← 0 0 0 1 ↓ 0 0 1 1 ←

0 0 0 0 1 1 1 0

（3） n＝5 時

此圖的類型和 n＝3 時的圖形有相當高的雷同，皆由 2 個循環所形成，一個趨往 0 向量，另一個不斷在循環。

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1

，一共分成四大循環。不同之前的是，從外是一個藉著一個了。

1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1

（4） n＝6 時

這次產生比之前都還要多的循環

分支藉由其一向量進入循環的向量變多了，不再

（Ⅰ）

1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0

1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

（Ⅲ）

0 1 0 0 0

1 1 1

1 0

1 0 1 1 1

1 0

1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

（Ⅳ）

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0

由圖得知，共產生了 10 個循環，其中 9 個更是分別由 7 個循環所構造，且目。

↓

↓ ↓

↓

1 0 0 1 1 0 → 1 1 0 1 0 1 0 ↓

1 0 1

0 0 ← 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 ← 1 0 1 1 1 1 0 0

0 ← 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 → 0 1 1 0 1 0 1

↓

0 0 0 0 0 0 0 每一向量皆由另一向量藉此進入，是一組非常整齊的數

（Ⅰ）

1 0 0 0 0 0 1 ← 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 → 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 1 ← 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 → 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 ← 0 1 1 0 1 1 1 ↓

0 1 1 1 1 1 1 ← 0 0 1 0

（Ⅱ）

1 1 0 0 0

↓ 0 0 1 1 1 1 1 → 0 1 0 0 0 0 ↓ 1 1 0 0 0 ↓ 0 0 1 1 1 0 0 → 0 1 0 0 1 0 ↓ 1 1 0 1 1 0 ↓ 0

1 0 1 1 1 1 1 ← 1 0 0 1 0 1

（Ⅲ）

1 1 1 1 1 1 1 →

0 1 1 0 0 0 0 ← 0 0 1 0 0 0 0

← 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 → 0 0 1 0 0 1 0

↓

0 1 1 0 1 ↓

0 0 1 0 0 1 → 1 0 1 1 0 1 0 ↓

0 1

0 ← 0 0 0 1 0 0 0 0

0 ← 1 0 1 0 1 1 1 1

1 ← 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 → 0 1 0 1 1 0 1

↓

0 0 ← 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 ← 1 1 0 1 0 1 1 0 0

↓ 1 0 0 1 1 1 1 → 1 0 1 0 0 0 0 ↓ 1 1 1 0 0 0 1 ↓ 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1 0 ← 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 ← 0 1 0 0 1

（Ⅴ）

0 0 1 1 0 0 ↓ 1 1 0 0 1 1 1 → 0 1 0 1 0 0 ↓ 1 1 1 1 0 0 ↓ 0 0 0 0 1 1 1 → 0 0 0 1 0 0 ↓ 0 0 1 1 0 1 ↓ 1

1 1 1 0 1 1 1 ← 1 0 1 0 0 1

（Ⅵ）

0 0 0 1 1 ↓ 1 1 1 0 0 1 1 → 0 0 1 0 1 0 ↓ 0 1 1 1 1 ↓ 1 0 0 0 0 1 1 → 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 ← 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 → 1 0 1 0 1 1 0

↓

1 0 ← 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 ← 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0

0 ← 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 → 0 1 0 1 0 1 1

↓

0 0

1 ← 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

1 1 1 ← 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 ← 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 → 1 0 1 0 1 0 1

↓

1 0 ↓

1 1 1 1 0 1 1 ← 0 1 0 1 0 0

（Ⅶ）

0 0 0 0 1 ↓ 1 1 1 1 0 0 1 → 0 0 0 1 0 ↓ 0 0 1 1 1 1 ↓ 1 1 0 0 0 0 1 → 0 1 0 0 ↓ 1 1 0 0 1 1 ↓ 0

1 1 1 1 1 0 1 ← 1 0 1 0 1

（Ⅷ）

0 0 0 0 0 1 ↓ 1 1 1 1 1 0 0 → 0 0 0 0 ↓ 0 0 0 1 ↓ 1 1 1 0 0 0 0 → 0 0 1 0 ↓ 0 1 1 0 0 ↓ 1

1 1 1 1 1 1 0 ← 0 1 0 1 0

（Ⅸ）

1 1

0 0 ← 0 1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 ← 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 → 1 1 1 0 0 1 0

↓

1 0 1

← 1 1 0 0 0 1 0

← 0 0 1 0 1 1 0

← 0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 → 1 1 1 0 1 0 0 ↓

6、7 時的情形，假設我們把它推展環，但如有

，則不合。

0 而不循環，但事實上並非如此。

會符合上述 ↓

1 0 0 0 1 1 0 → 1 0 0 1 0 ↓ 1 0 1 1 1 ↓ 0 1 0 0 0 1 1 → 1 1 0 0 1 0 ↓ 0 1 0 1 ↓ 1

0 0 1 0 1 1 1 ← 0 0 0 1

（Ⅹ）

0 1 0 0 1 1 1 ↓

1 0 1 1 0 0 0 → 1 1 0 1 0 0 1 ↓

0 1 1 1 0 1 0 ↓

1 0 0 0 1 0 1 → 1 0 0 1 1 1 0 ↓

1 0 1 0 0 1 1 ↓ 0

0 0 1 1 1 0 1 ← 0 0 0 1 0 1 以上就（0，1）向量討論 n＝3、4、5、

到 N∪﹛0﹜上是否也會正確呢？

把偶數當成 0，奇數視為 1，我們可發現，似乎也符合上述的循公因數應先提出，這樣才會符合，若否

EX.：（8，6，2，14，16）

若直接把偶數看成 0，則此向量應歸

如果先把他們的公因數提出→2（4，3，1，7，8），則括號內的數就的（0，1）向量循環。

----繼續推展下去，整數也符合此規則。

由上面的圖形，我們大抵把它們歸類成四大類。

A. 趨於 0 的向量如：

(a) （1，1，1）→（0，0，0）

(b) n＝2²

旋轉出的向量，也會做另一

Ex. n＝5 時

後的 SⁿP，會在同一循環內。

Ex. n＝6 時

，2³，2⁴之向量等，皆成 0 向量而不再循環。

B. 假設一向量 T，此向量會一直作循環，而由 T 所循環。

Ex. n＝6 時

一向量 K 及由 K 旋轉後的 SK，會進入同一循環。

D. 一向量 P，旋轉 n 次

姓名：蘇昱丞、陳柏岡學校：高雄中學

日期：93/01/09 指導老師：呂宗澤教授

（一）簡介

先固定一正整數 n≧3，對任意 n 個正整數、、……、，我們考慮下列運算：

a1 a₂ a_n

(

ψn 、a₂、……、an

)

＝

(

a1 −a2 、 a₂ −a₃ 、……、a_n −a1

)

極數學之領域範疇，浩瀚如海。前輩之努力無非是要使後浪能站在巨人的肩膀上看世界。今天，我們以一項看似易瞭的運算，進而研究任意 n 個數，經過 ψn的連續作用後，究盡會出現什麼有趣的現象？而數字之深奧美，在一次次的會面交流中更顯其淋漓莫測。

試想：若 n 只有三個數（n＝3），經ψ₃連續作用後，（3、4、5）→（1、1、2）

→（0、1、1）→（1、0、1）→（1、1、0）→（0、1、1）……如此循環，若（6、

6、6）→（0、0、0）→仍為（0、0、0）。此兩式中，前式進入了一個無盡的循環，但後式反倒為一個固定點的向量。又想：n＝3 時，到底會不會有他種最終極限？抑是僅此爾？

再舉例：n＝4 時，無論數字為何，ψ₄（、a 、a 、a ）作用後必進入（0、

0、0、0）固定點的零向量，其道理為何？如何證明？n 再大又會如何？是否可做出

a1 ₂ ₃ ₄

ψn之圖形？有無極限、其他性質與獨特性？有關ψ_n林林總總，在在皆屬於我們探討範圍之內。在這個 n 數的探討中，想之愈深，則嘆其變化之妙；變化愈妙，則怪諸己之思想淺薄，並嘆乎“數”之蘊含高妙。

下列皆為數月來，經小組集思廣益再與教授討論的成果，願列出諸目與大家共享之。

（二）成果條列

經過數月的獨立研究極為數不少的會面交流，我們能夠將所有雜亂無章的結論及推測大略歸類成以下數點：

（1）旋轉性質：

設 S（a₁、a₂、……、 a ）＝（_n a₂、 a 、……、 a 、₃ _n a₁）則ψ S（a₁、a₂、……、 a ）＝S_n ψ （a₁、a₂、……、a_n）（2）互補性質：

100

則ψ（Ｌ－a₁、Ｌ－a₂、……、Ｌ－a_n）＝ψ（a₁、a₂、……、a_n）（3）n 中元素 a 的倍數性質。

設 k＞0，且 k（a₁、a₂、……、a_n）＝（ka₁、ka₂、……、ka_n）則ψ k（a₁、a₂、……、a_n）＝kψ （a₁、a₂、……、a_n）

（4）n＝∞和巴斯卡三角形。

（5）等差數列被ψ_n作用的情況

（6）利用 n 的循環得出 2n、3n 等 n 的倍數中的部分循環。

（7）當 n＝2^k（k∈N）時，必進入零向量。

（8）當 n＝2^k＋1 時，其獨特的特性。

其中，上述之（1）、（2）、（7）三項，已有找到前人給予之證明，故只有簡略敘述介紹之。

（三）當 n＝∞時之規律；巴斯卡三角形

因為循環種類太多，且無法有效分辨 n 為何時進入何種循環，所以我們利用「01 向量」（即此向量之分量只有 0 或 1）討論出了無窮長的初步形式，

並且作出下圖：

００００００００００００００００００００………０００００００１００００００００００００００００００００………００００００１１００００００００００００００００００００………０００００１０１００００００００００００００００００００………００００１１１１００００００００００００００００００００………０００１０００１００００００００００００００００００００………００１１００１１００００００００００００００００００００………０１０１０１０１００００００００００００００００００００………１１１１１１１１此圖形令人不自主的聯想到巴斯卡三角形。經過對照後發現，若將巴斯

卡三角形依奇偶數之分別寫成 0 和 1，則和此圖完全吻合。

（詳見附錄）

另外，我們也利用其對稱性及重複性找出了它的運算規律。

運算方法：

設 w 為奇偶化簡過的巴斯卡三角形的第 w 行，則求得 w 之數列之步驟如下：

１．將 w 化為二進位：

w＝ 2^k +2^m +2ⁿ +LL+2^u +2^v。（其中，k＞m＞n＞……＞u＞v）

２．寫下2^v個”1”。

(

²^u ⁻²^v

)

^{個 0。}

４．重複 3.的對稱性所得出之數列，中間補上²^t ⁻

(

²^u ⁺²^v

)

^個零。

５．將步驟 4.中之”3.”改為 4.；²^t ⁻

(

²^u ⁺²^v

)

^改為²^s ⁻

(

²^t ⁺²^u ⁺²^v

)

^。

６．依此類推直到2^k。

以 w＝22 為例：

1. w＝22＝ 2⁴ +2² +2¹ 2.（11）

3. 110011

4. （1100110000000000110011）為 w＝22 之簡化巴斯卡數列。

不僅如此，再此巴斯卡數列之前，可以加上任意個０，便可看成是 n＝∞時之ψ_n作用，我們為了使此方法是用於所有的ｎ，便發展出下列理論：

當得到所求之巴斯卡數列後，可由右至左以ｎ個為一組，再將每組重疊相加，便可得出ψ_n作用之確切結果。

在此以ψ²¹（0、0、1）為例子做說明

1. 將（0、0、1）對應到化簡巴斯卡三角形的第一列

2. 被ψ 作用 21 次，所以要求出化簡巴斯卡三角形之第二十二列 3. 利用上述方法，得第 22 列為（1100110000000000110011）

4. 從右到左３個一組分類，不到三個的組往前補 0，一共分成（0、1、1）、

（1、1、0）、（0、0、0）、（0、0、0）（0、0、0）（1、1、0）（1、0、0）

（0、0、1）

5. 重疊相加，得（3、3、2），並化簡為（1、1、0）

6. （1、1、0）即為ψ²¹（0、0、1）

（四）等差數列被ψ_n作用的情形

一開始，我們先由特殊的數列討論起，而等差數列應該可以說是最基本的數列，所以就由等差數列開始。

（ａ、ａ＋ｄ、ａ＋2ｄ、……、ａ＋(ｎ－1)ｄ）

→（ｄ、ｄ、ｄ、……、ｄ、(ｎ－1)ｄ）

→（0、0、0、……、0、(ｎ－2)ｄ、(ｎ－2)ｄ）

做到此，我們可以利用ψ_n之「元素之倍數性質」，將(ｎ－2)ｄ提出，得到一個非常簡單的數列（0、0、……、0、1、1），並可以對應到上述巴斯卡三角形中的第二列，故可利用巴斯卡三角形做出其所有之運算結果。

102

（五）利用 n 的循環找出 2n、3n……等 n 的倍數的部分循環

在發現巴斯卡三角形的運算中可以分區重疊之後，我們便開始考慮將向量作拆解及加長，因而發現可以利用重覆 n 而得到 n 的倍數的循環。

例 n＝3× 2

（0、0、1、0、0、1） ⇒ （0、0、1）

→（0、1、1、0、1、1） →（0、1、1）

→（1、0、1、1、0、1） →（1、0、1）

→（1、1、0、1、1、0） →（1、1、0）

→（0、1、1、0、1、1） →（0、1、1）

n＝5× 2

（0、0、0、0、1、0、0、0、0、1） ⇒ （0、0、0、0、1）

→（0、0、0、1、1、0、0、0、1、1） →（0、0、0、1、1）

→（0、0、1、0、1、0、0、1、0、1） →（0、0、1、0、1）

→（0、1、1、1、1、0、1、1、1、1） →（0、1、1、1、1）

→（1、0、0、0、1、1、0、0、0、1） →（1、0、0、0、1）

→（1、0、0、1、0、1、0、0、1、0） →（1、0、0、1、0）

→（1、0、1、1、1、1、0、1、1、1） →（1、0、1、1、1）

→（1、1、0、0、0、1、1、0、0、0） →（1、1、0、0、0）

經過運算，得知以下皆相同。

n＝3× 3

（0、0、1、0、0、1、0、0、1） ⇒ （0、0、1）

→（0、1、1、0、1、1、0、1、1） →（0、1、1）

→（1、0、1、1、0、1、1、0、1） →（1、0、1）

→（1、1、0、1、1、0、1、1、0） →（1、1、0）

→（0、1、1、0、1、1、0、1、1） →（0、1、1）

反過來想，便是『如果某向量可分解成重複的 x 段，則只需討論其中一段，在將之加長，即能得出原向量。』之結果，如此一來，在 n 很大時，便可將之化簡，並利用其因數的循環做出正確的判斷。

（六）n 可表成特殊形式時之特性

我們可以很明顯的知道 n＝4 時，必進入零向量。

另外，我們也已找到科展資料將 n＝4 必進入零向量之證明，它並將 n

＝4 推廣至 n＝2^k必進入零向量。我們亦有簡單嘗試 n＝8、n＝16 的例子，

除此之外，我們發現 n＝3、n＝5 時皆只有一個大循環，而 n＝7 卻有許多循環。很巧的是，n＝3＝ +1，n＝5＝ +1。故我們推論：當 n＝2k+1 時，只有一個大循環【其他小循環及（1、1、1……）→（0、0、0……）不在考慮範圍內】。

21 2²

在測試過 n＝2³+1＝9 的情形後得其性質如下：

設向量 e ＝（0、0、0、0、0、0、0、0、1） /₉ 向量 S e ＝（1、0、0、0、0、0、0、0、0） /₉

e/ ＝（0、0、0、0、0、0、0、0、1） → （0、0、0、0、0、0、0、1、1） 9

→（0、0、0、0、0、0、1、0、1）

→（0、0、0、0、0、1、1、1、1）

→（0、0、0、0、1、0、0、0、1）

→（0、0、0、1、1、0、0、1、1）

→（0、0、1、0、1、0、1、0、1）

→（0、1、1、1、1、1、1、1、1）

S e ＝（1、0、0、0、0、0、0、0、0） →（1、0、0、0、0、0、0、0、1） /₉ 和 n＝7 比較，發現：

n＝7 時， e/ 、₇ Se/₇、 7、……等，分別進入各自的循環。

2e S /

而 n＝9 時， e/ 、、、……等，皆進入相同向量，成為一個超級大的循環。

9 Se/9 9

2e S /

經過和 n＝3，n＝5 分析比較之後，我們發現了一項驚人的特性：

定理１：當 n＝2ⁿ +1作循環時，ψ₂ⁿ₊₁

(

Se/₂ⁿ₊₁

)

=ψ₂²ⁿⁿ₊₁

( )

e/₂ⁿ₊₁ 必成立。

若只考慮循環的部分，則可將上式作些微的修正：

定理２：設 e 有 2 個連續的 1 分量，其他皆為 0，即（0、0、……、0、1、1） / 則 ψ₂²nⁿ₊⁻₁¹

( )

e/ =Se/ 必成立。

並且能夠利用定理２證明定理１：

( )

^e ⁿ

( ( )

)

( )

^S^e

n / =ψ ⁻ ψ / = ψ / =ψ /

ψ² ² ¹

此即當 n 可以表為2ⁿ +1時，所具有的特殊性質。

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（七）其他尚未完全作出和證明之項目 1.等比數列

由於公比無法提出或消去，使得整個數列越來越複雜，遂未完成。

2.（a、b、c、d、e、f），其中 a>>b>>c>>d>>e>>f

也是無法消去，數列越作越複雜，不過一開始有點像巴斯卡，但是後來就全亂了。

3.ψ 的推廣

以上皆是用「01 向量」作討論，故我們試著將之推廣，目前已知：

①複數作用一次變成實數。

②有理數可用提公因數變成整數。

③整數作用一次會變正整數。

如能再將⑴實數對應到整數。

⑵正整數對應到「01 向量」。

便可以把ψ 推廣至所有的數，進而成為定理或定律。

（八）附錄

以下為前３２行數列

1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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在文檔中高雄區高中數學科資優生培育計畫A Developmental Program for Kaohsiung Area High School Students with Mathematical Talent (頁 94-110)

中 華 民 國 九 十 四 年 五 月

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中華民國九十四年五月