第二章、 研究背景
2.3 證明數演算法(Proof Number Search)
證明數演算法(Proof Number Search)[8][9][10]，簡稱 PNS，是 Allis 在 1994 年提出，為一種 best first search，建構在 AND/OR 樹上，用在兩位玩家的遊戲上 面，像是六子棋、五子棋、象棋、圍棋等等，其目的是在證明 true or false，像是 棋局勝敗、圍棋是否吃子等問題，該演算法也實際的解決了許多棋局勝敗問題。
PNS 是個適用於證明勝敗的演算法，但是其存在著一些問題，像是記憶體的 限制，因此之後有很多人提出 PNS 變形的演算法，來彌補這些不足。
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為了解釋方便，以下假設 PNS 目的是證明勝敗。
2.3.1 AND/OR 樹
AND/OR 樹上的節點分為兩種，AND 節點及 OR 節點；正方型的節點代表 OR 節點，圓形的節點代表 AND 節點(如圖 7 所示)。
圖 11 AND/OR 樹
OR 節點要證明為必勝，必須其中一個子節點為勝；AND 節點要證明為必勝，
必須所有子節點都為勝。反之，OR 節點要證明為必敗，必須所有子節點為敗；
AND 節點要證明必敗，必須其中一個子節點為敗(如圖 11 所示)。
圖 12 AND/OR 樹勝敗關係
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2.3.2 證明數(Proof Number)
證明數(之後簡稱 PN)代表要證明目前盤面必勝，至少還需展開多少節點(如 圖 13 所示，節點左下方的數字代表 PN)。
圖 13 證明數
其更新方式:
OR 節點 : 取子節點中最小的 PN
AND 節點 : 取子節點中 PN 的加總
2.3.3 反證數(Disproof Number)
反證數(之後簡稱 DN)代表要證明目前盤面必敗，至少還需展開多少節點(如 圖 14 所示，節點又下方的數字代表 DN)。
圖 14 反證數
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其更新方式:
OR 節點 : 取子節點中 DN 的加總
AND 節點 : 取子節點中最小的 DN
2.3.4 PNS 演算法步驟
上面介紹了 PNS 建構在怎麼樣子的搜尋樹上面，並介紹節點上 PN/DN 所代 表的意義，接來下要說明 PNS 搜尋的方式。
PNS 主要分為三個步驟:選點、展開、更新 PN/DN 數值。接下來依依介紹這 三個步驟。
2.3.4.1 選點
決定哪一個 leaf 節點要展開。
當在 OR 節點時，要證明必勝只需一個子節點勝，就可以證明該節點必勝，
然而要證明該節點敗，則需要證明所有子節點必敗；因此在 OR 節點時，會去選 擇子節點中 PN 值最小的子節點，因為在證明敗的角度上，所有子節點皆須證明 必敗，選哪個子節點並沒有差別。反之在 AND 節點時，由於證明必勝，則需證 明所有子節點勝，證明必敗只需其中一個子節點敗即可，因此在 AND 節點時，
會去選擇子節點中 DN 值最小的子節點(如圖 15)。
依上述選擇方式，會選擇到一個 leaf 節點，該 leaf 節點稱為最佳證明節點 (Most Proving Node)，簡稱 MPN，接下來會對 MPN 做展開的動作。
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圖 15 PNS 選擇 MPN
2.3.4.2 展開
展開選定的 MPN。將該節點所有的下法產生出來。圖 15 展開如圖 16。
圖 16 PNS 展開節點
2.3.4.3 更新 PN/DN 數值
首先要先決定新產生出來節點的 PN/DN 數值，主要分為三種狀況，必勝、
必敗、無勝敗；在必勝的情況下，則令 PN/DN 為 0/∞ ；在必敗的情況下，則令 PN/DN 為∞/0；無勝敗的情況下，則令 PN/DN 為 1/1。接著在依照 2.3.2 中的規
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則，更新目前 PNS 搜尋樹上的 PN/DN 值。
圖 17 PNS 更新 PN/DN 數值
2.3.4 PNS 的缺點
本章介紹 PNS 演算法兩個常見的缺陷，記憶體限制和重複盤面問題。
2.3.4.1 PNS 記憶體限制
PNS 為一種 Best First Search，會去往最有機會證明結束的分支去搜尋，其 會將整顆搜尋樹儲存在記憶體裡面，以尋找最佳的節點，相較於 Depth First Search，只會儲存目前搜尋節點走的路徑上的節點，記憶體的用量相對大非常 多。
為了彌補 PNS 記憶體用量大的不足，有許多改良自 PNS 的演算法，像是 PN2， PDS、Df-PN 接是其變型[11][12][13][19][20][23][24]。
PN2 為一種兩階層式的 PNS，演算法如同 PNS 一樣，差別在於會對新展開 的節點做另一次的 PNS，來估計該節點初始的 PN/DN 值。
PDS、Df-PN 則是一種 Depth First 的 PNS，搜尋樹會往某一個分支挖深搜尋 下去，該演算法中會有一組門檻(Threshold)，證明數門檻(Proof Number Threshold)
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及反證數門檻(Disproof Number Threshold)，來決定何時停駛繼續挖深。
JL-PNS 由於每個節點都是由 NCTU6 產生，這些節點都是經由程式些做第 一次篩選而產生，搜尋樹通常只會有數萬個節點，因此在 JL-PNS 沒有記憶體的 問題。
2.4.3.2 PNS 重複盤面
在許多的搜尋樹中，常常會有相同盤面的問題，如圖 18 所示，而如果以上 述的邏輯，更新 PN/DN 值時，就會發生數值更新錯誤，以圖 18 的例子，在根節 點實際的 PN/DN 應該是 1/1，然而卻會錯誤的更新程 1/2。由於 PN/DN 值錯誤的 更新，會使得在展開節點時，可能選擇到較差的節點。
根節點錯誤的 PN/DN 值 實際 PN/DN 值
圖 18 PNS 相同盤面問題