資料包絡分析法之理論

資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis, DEA)係為透過資料來進行包絡 分析的方法，是透過數學線型規劃( Linear Programming )的方式，產生一組最適 的權數，俾能客觀地結合多項投入與多項產出項目，化約成一個綜合指標，以衡 量個別企業的資源使用效率。此係由 Charnes, Cooper and Rhodes (1978)所提出，

是指在構建生產函數之過程中，所有的投入資料(Data)，均被包絡(Envelope)於生 產函數之下而得名。基於資料包絡分析法在進行中，無須事先設定效率邊界的數 學函數形態，故又稱非參數規劃法(Non-Parametric Programming Approach)。此外，

資料包絡分析法可同時處理多項投入與多項產出之間的效率衡量問題，可有效解 決多項投入與多項產出問題。亦可視為總要素生產力的一般化形式，即能將多投 入多產出的作業特徵，彙集成單一的效率值。為紀念 Charnes, Cooper and Rhodes 三位學者的貢獻，基本的資料包絡分析模型特稱為 CCR 模式。資料包絡分析法 包括以下主要模型，分別為：

一、技術效率模型:CCR模型

資 料 包 絡 分 析 法 是 由 Charnes 、 Cooper 與 Rhodes (1978) 首 先 提 出 ， 其 係 根 據 柏 拉 圖 最 適 的 觀 念 ， 應 用 數 學 規 劃 模 型 來 衡 量 效 率 邊 界 (efficienc y fronti er) 。 在 生 產 理 論 分 析 中 ， 就 某 個 技 術 水 準 下 ， 生 產 函 數 是 以 數 學 方 式，將 投 入 轉 換 成 產 出 的 過 程 表 達 出 來，例 如 超 對 數 (translog) 生 產 函 數。也 因 此 吾 人 可 定 義 出 生 產 可 能 集 合 的 邊 界。然 而 在 CCR-DEA 模 型 中 ， 生 產 可 能 集 合 的 邊 界 是 根 據 實 際 決 策 單 位 (decision m aking uni t, DMU)，亦 稱 受 評 單 位 的 資 料，建 立 一 條 效 率 值 為 1的 目 標 生 產 邊 界 ， 當 某 個 決 策 單 位 其 投 入 ∕產 出 的 組 合 ， 是 位 在 資

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料 包 絡 分 析 法 的 邊 界 上，則 將 其 歸 入 為 效 率 單 位，而 稱 之 為 柏 拉 圖 最 適 單 位 (pareto optimum unit)，而 成 為 其 他 決 策 單 位 的 比 較 標 準。至 於 其 他 決 策 單 位 其 投 入 ／ 產 出 組 合 位 於 資 料 包 絡 分 析 法 邊 界 內，則 該 決 策 單 位 被 視 為 無 效 率 單 位。企 業 如 果 被 視 為 柏 拉 圖 最 適 單 位，則 其 相 對 效 率 值 為 1， 表 示 在 其 他 產 出 不 減 少 或 投 入 不 增 加 的 情 形 下 ， 該 企 業 無 法 再 減 少 投 入 或 增 加 產 出。反 之，企 業 若 被 視 為 無 效 率 單 位，其 相 對 效 率 值 必 定 小 於 1，表 示 在 投 入 不 變 下，產 出 將 可 再 增 加，或 是 產 出 不 變 下 ， 投 入 將 可 再 減 少 。 在 投 入 導 向 (input-oriented)的 模 型 ， 無 效 率 值 係 介 於 0與 1之 間，而 若 為 產 出 導 向 (output-oriented)模 型，無 效 率 值 則 介 於 1與 ∞ 之 間 ， 至 於 其 效 率 值 的 計 算 ， 則 是 依 照 無 效 率 單 位∕柏 拉 圖 最 適 單 位 之 值 來 加 以 計 算 。

上 述 的 柏 拉 圖 最 適 化 ， 是 指 資 源 的 配 置 運 用 已 達 到 無 論 再 如 何 重 新 配 置，在 不 損 害 其 他 人 利 益 的 情 況 下，無 法 再 提 高 任 何 一 個 人 的 利 益 。 相 反 地 ， 非 柏 拉 圖 最 適 化 即 表 示 ， 在 不 損 害 其 他 人 利 益 的 情 況 下 ， 尚 可 以 提 高 某 個 人 的 利 益 。 透 過 CCR-DEA 模 型 的 分 析 ， 可 建 立 出 一 條 效 率 值 為 1的 目 標 生 產 邊 界 。 當 某 個 決 策 單 位 落 在 生 產 邊 界 上，我 們 視 其 為 柏 拉 圖 最 適 化，它 們 是 其 他 決 策 單 位 的 比 較 標 準，至 於 其 餘 的 決 策 單 位 則 被 歸 為 非 柏 拉 圖 最 適 化 ， 其 效 率 值 小 於 1。 在 資 料 包 絡 分 析 法 的 有 效 率 單 位，它 們 乃 是 其 他 決 策 單 位 的 比 較 標 準，是 相 對 效 率 (relative efficiency) ， 而 非 絕 對 效 率 (absolute efficiency) 。

圖 3-1 柏 拉 圖 最 適 境 界 示 意 圖

至 於 資 料 包 絡 分 析 法 技 術 效 率 (technical efficiency, TE) 值 的 估 計，可 由 分 數 線 性 規 劃 (fractional linear programming) 問 題 來 解 決。以 Yjn 表 示 第 j 個 決 策 單 位 的 第 n個 產 出，以 Xjm 表 示 第 j個 決 策 單 位 的 第 m 個 投 入 ， 若 第 j 個 決 策 單 位 係 以 M種 投 入 來 生 產 N種 產 出 ， 則 該 決 策 單 位 的 相 對 效 率 值 TEj，即 為 分 數 線 性 規 劃 問 題 的 解 (CCR--DEA模 型 )，

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如 式 3-1：

Un 及 Vm 分 別 為 第 n 個 產 出 及 第 m 個 投 入 的 虛 擬 乘 數 (virt ual multipli er) 。 將 上 述 的 分 數 線 性 規 劃 問 題 轉 換 為 可 以 運 算 的 線 性 規 劃 問 題 ， 也 就 是 求 解 如 式 3-2：

由 於 此 問 題 的 限 制 式 個 數 大 於 變 數 的 個 數 ， 故 將 原 比 率 形 式 (ratio form)，取 其 對 偶 (dualit y) 問 題，即 轉 換 為 包 絡 形 式 (envelopm ent form )，

如 式 3-3：

(3-1)

(3-2)

(3-3)

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其 中 Sm-與 Sn+為 惰 變 數 (slack variable)，在 投 入 與 產 出 已 知 下 ， 資 料 包 絡 分 析 法 是 根 據 各 決 策 單 位 所 形 成 的 可 行 解 集 合 (feasible soluti on s et ) 中，尋 找 對 決 策 單 位 最 有 利 的 虛 擬 乘 數，盡 量 使 該 決 策 單 位 之 效 率 最 大 。 由 模 型 中 可 衡 量 出 技 術 效 率 值 。

二 、 純 技 術 效 率 模 型 : BCC 模型

BCC 模型係由 Banker Charnes and Cooper (1984)提出，主要在分析企業的 純技術效率(Pure Technical Efficiency)與規模效率(Scale Efficiency)。係將 CCR 模 型加以延伸，加上生產技術滿足凸性假設、且可變動規模水平的情形下的限制條 件要求，如此可確保所衡量的是純粹的技術效率(即避開規模變動之效果)。DEA 模 型 係 假 設 規 模 報 酬 是 固 定。當 這 個 假 設 不 成 立 時，我 們 可 衡 量 出 純 技 術 效 率 值 ， 則 規 模 效 率 值 亦 可 由 技 術 效 率 值 及 純 技 術 效 率 值 中 衡 量 出。因 為 技 術 效 率 為 純 技 術 效 率 (pure technical efficiency,PTE) 及 規 模 效 率 (scale efficiency) 二 者 之 相 乘 積。 此 即 是 由 Banker、Charnes 與 Cooper (1984) 三 人 提 出 的 BCC -DEA 模 型 。 純 技 術 效 率 可 由 式 3-4 求 得 ：

另 外 ， 只 要 將 CCR-DEA 模 型 的 技 術 效 率 除 以 BCC-DEA 模 型 的 純 技 術 效 率 ， 即 可 得 出 某 個 決 策 單 位 的 規 模 效 率 。 亦 即 ， 技 術 效 率 =規 模 效 率 × 純 技 術 效 率 。

至 於 BCC -DEA 模 型 所 得 出 的 效 率 值 其 含 義 包 括 以 下 四 者：第 一 ， 利 用 技 術 效 率 值 ( 來 自 CCR-DEA 模 型 ) ， 等 於 純 技 術 效 率 值 ( 來 自 BCC -DEA 模 型 )， 乘 以 規 模 效 率 值 的 數 學 關 係 。 故 可 藉 由 技 術 效 率 值 的 分 解，而 求 得 規 模 效 率 值。第 二，經 由 規 模 效 率 及 純 技 術 效 率 數 據

(3-4)

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的 比 較，可 以 判 斷 分 析 對 象 其 無 效 率 的 主 要 來 源，究 竟 是 生 產 要 素 組 合 數 量 的 技 術 問 題 ， 例 如 就 資 產 總 額 、 勞 動 人 數 、 投 資 等 投 入 ， 重 新 調 整 其 產 出 與 投 入 組 合，或 是 整 體 規 模 大 小 的 規 模 問 題。第 三，如 就 非 效 率 決 策 單 位 中，若 其 純 技 術 效 率 值 大 於 規 模 效 率 值，即 須 調 整 其 生 產 規 模，以 提 高 其 技 術 效 率 值。第 四，若 其 純 技 術 效 率 值 小 於 規 模 效 率 值，則 顯 示 其 非 效 率 的 原 因，主 要 來 自 於 要 素 組 合 的 技 術 性 因 素，

可 能 使 用 過 多 的 投 入 要 素，或 生 產 太 少 的 產 出。若 欲 提 高 其 效 率 值 ， 當 由 此 重 點 著 手 改 善 。

三 、 成 本 效 率 模 型

成本效率(Cost Efficiency,CE)模型係由 Aly, Grabowski, Pasurka and Rangan (1990)所提出，主要衡量企業的成本效率(Cost Efficiency)與配置效率(Allocative Efficiency)。成 本 效 率 =技 術 效 率 × 配 置 效 率 ， 亦 即 要 將 成 本 效 率 模 型 的 成 本 效 率 ， 除 以 CCR-DEA 模 型 的 技 術 效 率 ， 即 可 得 出 某 個 決 策 單 位 的 配 置 效 率。此 外，亦 可 使 用 售 價 資 料 取 代 成 本 資 料，則 成 本 效 率 即 成 為 價 格 效 率 (price efficiency) 。

同 樣 地 ， 成 本 效 率 (cost efficiency,CE) 模 型 係 將 CCR--DEA 模 型 加 以 延 伸 與 擴 充，加 上 單 位 要 素 投 入 成 本 或 單 位 產 品 價 格 的 資 料，如 此 可 得 出 所 衡 量 的 是 成 本 效 率 。 成 本 效 率 即 可 由 式 3-5 求 得 ：

其 中 ， 成 本 效 率 =技 術 效 率 × 配 置 效 率 (allocative efficiency) ， 亦 即 要 將 成 本 效 率 模 型 的 成 本 效 率 ， 除 以 CCR-DEA 模 型 的 技 術 效 率 ， 即 可 得 出 某 個 決 策 單 位 的 配 置 效 率 (Aly,Grabowski,Pasurka,and Rangan,1990) 。 此 外 ， 亦 可 使 用 售 價 資 料 取 代 成 本 資 料 ， 則 成 本 效 率 即 成 為 價 格 效 率 (price efficiency)。

(3-5)

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四、麥氏生產力指數分析

Malmquist (1953) 提出麥氏生產力指數概念，用來衡量效率可能集合邊界變 動之量化指標。由 Cave et al. (1982)構建投入導向與產出導向的 Malmquist 生產 力指數，用來衡量受評單位在不同時期生產力的變動情形，藉以尋求改善空間。

Färe et al. (1992)將其加以改善整合，首先以 DEA 法計算 Malmquist 生產力指數；

高 強 等 人 (2003) 定 義 總 效 率 (Technical and scale efficiency,TSE) 、 追 趕 效 率 (Catching-up in efficiency,CIE)、前緣移動效率(Frontier-shift effect)與 Malmquist 生產力指數(Malmquist productivity index,MPI)三項指標，用以衡量跨期效率之變

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