資料包絡分析法

資絡包絡分析法(Data Envelopment Analysis, DEA)是邊界分析法之非參數法 的一種，它不受觀察值多寡限制，即評估組織內一群的決策單位(Decision Making Unit, DMU)的相對效率，且無須估計函數參數係數，更無須要素及產出 之價格，透過數學線性規劃的方式，產生一組最適的權數，能夠客觀地結合多 項投入與多項產出的項目，計算出一個綜合性績效衡量指標，用以衡量決策單 位的相對效率，因而廣泛的為學界所運用。

資料包絡分析法的基本理論，是基於經濟學的理論中，利用「生產可能集 合」(Production Possibility Set)，在各種投入組合能使產出最大的組合，謂之生 產可能集合的「效率前緣」(Efficiency Frontier)；而各投入組合與效率前緣之間 所形成的數學關係，稱之為「生產函數」(Production Function)，包絡曲線 (Envelop)所顯示出來的意義，即是在所有生產可能集合中最有利組合點所形成 的邊界。

此觀念最早可追溯自 Farrell(1957)的研究。後繼學者依 Farrell 理論持續討 論, 其中主要理論基礎為 1978 年 CCR(Charnes, Cooper 與 Rhodes)模式、1984 年 BCC(Banker,Charnes 與 Cooper)模式及 2001 年 Tone 提出差額變數模式

(Slacks Based Measure, SBM)， 依據 Cooper, Seiford 與 Tone(2007)的統計，DEA 自 Charns, Cooper 與 Rhodes 於 1978 年提出至今，目前有 37 類，157 種的 DEA 分析模式，若再加上模糊 DEA、三階段 DEA 等擴張模式，已超過 160 種，而 這 160 種模式均由 BCC、CCR 與 SBM 等為基礎發展出來，以下先介紹 Farrell(1957)、 CCR、BCC 與 SBM 四種模式。

壹、Farrell(1957)

Farrell(1957)將效率區分為技術效率(Technical Efficiency, TE)及配置效率 (Allocative Efficiency, AE)。技術效率係指廠商在固定之投入要素量下，所可以

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生產的最大產量之可能；配置效率係指廠商在給定生產技術與投入要素之相對 價格的情況下，以最適當之投入去生產產品之能力。因其並未假設函數型態，

故又被認為是非參數法(Non-parametric Approach)。其理論主要基於以下三個基 本假設：

1. 生產前緣是由最有效率的單位所構成，無效率之單位，皆落於此前緣之外。

2. 固定規模報酬。

3. 生產邊界是凸向原點，每一點的斜率皆不為正。

假設有一廠商使用兩種投入(x1‚x2)，且為固定規模報酬之廠商，生產單一 產品為 Y，UU'為等產量曲線，表示生產一單位的 Y，所需投入(x1‚x2)之最小可 能組合，在線上每一點皆具完全技術效率。

圖 3- 1 技術效率與配置效率圖

如圖 3-1 所示，若生產組合落在 UU'右上方，如 Q 點，其表示此生產組合 不具有技術效率，因為在 S 點的生產組合，亦可生產出與 Q 點相同的產量，因 此，在 Q 點的技術效率可定義為：

TE = 𝑂𝑆

𝑂𝑄 = 1 −𝑆𝑄

𝑂𝑄，0 ≤ TE ≤ 1

38

當 _𝑂𝑄^𝑂𝑆 = 1時，表示這廠商為完全技術效率之廠商，其觀察值會落在 UU'上(如 S

點)；若 _𝑂𝑄^𝑂𝑆 < 1時，表示該廠商不具完全技術效率。假如此時廠商所面對的要 素市場為完全競爭市場時，則投入要素的相對價格比為 AA'之斜率，由此可定 義 Q 點之配置效率(AE)為 ^𝑂𝑃

𝑂𝑆，而 SP 表示其配置無效率之部分，並可定義總經 濟效率(total economic efficiency, EE)：

EE = 𝑂𝑃 𝑂𝑄

由此可知，總效率為技術效率與配置效率之乘積：

TE × AE = (𝑂𝑆

𝑂𝑄) × (𝑂𝑃 𝑂𝑆)

= 𝑂𝑃 𝑂𝑄

= EE

所以在圖 3-1 中，P'點表示其不但具有技術效率也具有配置效率。

貳、 CCR 模式

CCR 模式為 Charnes, Cooper and Rhodes 於 1978 年提出，在固定規模報酬的 假設下，將各決策單位之多項投入與多項產出予以線性組合，並以兩線性組合的 比值代表各決策單位的效率值，其值介於 0 到 1 之間。CCR 模式可分為投入導 向與產出導向。

一、投入導向

投入導向是在相同產出水準下，比較投入資源之使用情況。假設有 n 個決策 單 位 ， 即𝐷𝑀𝑈_𝑗 = (𝐷𝑀𝑈₁, 𝐷𝑀𝑈₂, … … … 𝐷𝑀𝑈_𝑛) ， 使 用 m 種 投 入 𝑋_𝑗=(𝑋_1𝑗, 𝑋_2𝑗, … … . , 𝑋_𝑚𝑗)，生產 S 種產出𝑌_𝑗=(𝑌_1𝑗, 𝑌_2𝑗, … … . , 𝑌_𝑠𝑗)，而第 k 個決策單位𝐷𝑀𝑈_𝑘 之效率值可以分數線性規劃式來表示，即為：

𝑀𝑎𝑥 ℎ_𝑘 =∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑘

∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑘 𝑠. 𝑡. ∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑗

∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑗 ≤ 1, 𝑗 = 1,2, … … … , 𝑛 (式 3 − 1)

39 出因素均不得忽略不計。ε則代表一極小的正值，Charnes et al. (1979)稱ε為非阿 基米德數(non-Archimedean number)，在實際應用上常設為 10^-4或 10^-6。

由於分數線性規劃式在實際求解時，可能會產生無窮解的情況，因此，可將 (式 3-1)予以轉換為線性規劃(linear programming)式，即令分母為 1，並求取分子 之最大值：

40

𝑠. 𝑡. ∑ 𝜆_𝑗𝑋_𝑖𝑗 − 𝜃𝑋_𝑖𝑘 + 𝑠_𝑖⁻ = 0, 𝑖 = 1,2, … … . . , 𝑚

𝑛

𝑗=1

(式 3 − 3)

∑ 𝜆_𝑗𝑌_𝑟𝑗− 𝑠_𝑟⁺ = 𝑌_𝑟𝑘

𝑛

𝑗=1

, 𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠

𝜆_𝑗, 𝑠_𝑖⁻, 𝑠_𝑟⁺ ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … … … , 𝑛 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚

𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠 𝑠_𝑖⁻, 𝑠_𝑟⁺分別為差額變數(slack)與超額變數(surplus)，是線性規劃中將不等式轉 化為等式所使用的變數。而變數 θ 為(式 3-2)中之等號限制式∑^𝑚_i=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑘 = 1，根

據對偶性質，此變數之數值雖無正負限制，但因變數θ 代表的是受評單位之效率

值，故其最適解必為一正值。

當一受評單位位於效率前緣上時，其為相對有效率之充分且必要條件是 𝜃^∗ = 1且𝑠_𝑖^−∗= 𝑠_𝑟^+∗ = 0。又當要從(式 3-3)計算第 k 個決策單位𝐷𝑀𝑈_𝑘之效率值時，

𝜆_j^∗ ≠ 0所對應之 DMU，即為𝐷𝑀𝑈_𝑘之參考集合(reference set)，亦可視為𝐷𝑀𝑈_𝑘之 學習標竿(benchmark)。因此，若無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，

則需做以下調整，即為(式 3-4)：

∆X_𝑖𝑘 = 𝑋_𝑖𝑘 − (𝜃^∗𝑋_𝑖𝑘− 𝑠_𝑖^−∗), 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚 (式 3 − 4) ∆𝑌_𝑟𝑘 = (𝑌_𝑟𝑘+ 𝑠_𝑟^+∗) − 𝑌_𝑟𝑘, 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑠

藉由(式 3-4)便能知道無效率之決策單位若減少投入∆𝑋_𝑖𝑘及增加產出∆𝑌_𝑟𝑘就 可以達到有效率，此即 CCR 模式以投入為導向之差額變數分析。

二、產出導向

產出導向是在相同投入水準下，比較產出之達成狀況。在假設條件與投入導 向相同之情況下，第 k 個決策單位𝐷𝑀𝑈_𝑘之效率值以分數線性規劃式表示，即為：

𝑚𝑖𝑛 1

𝑓_𝑘 = ∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑘

∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑘 𝑠. 𝑡. ∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑗

∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑗 ≥ 1, 𝑗 = 1,2, … … … , 𝑛 (式 3 − 5)

41

42

∆X_𝑖𝑘 = 𝑋_𝑖𝑘− (𝑋_𝑖𝑘− 𝑠_𝑖^+∗), 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚 (式 3 − 8) ∆𝑌_𝑟𝑘= (𝜃^∗𝑌_𝑟𝑘+ 𝑠_𝑟^−∗) − 𝑌_𝑟𝑘, 𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠

藉由(式 3-8)便能知道無效率之決策單位若減少投入Δ𝑋_𝑖𝑘及增加產出Δ𝑌_𝑟𝑘就 可以達到有效率，此即 CCR 模式以產出為導向之差額變數分析。

參、BCC 模式

Banker, Charnes and Cooper 於 1984 年提出 BCC 模式，將 CCR 模式原本假 設 的 固 定 規 模 報 酬 修 正 為 變 動 規 模 報 酬 ， 並 以 生 產 可 能 集 合 之 凸 性 性 質 (convexity)、非效率性質(inefficiency)、射線無限制性質(ray unboundedness)及最 小外插性質(minimum extrapolation)等四個公理與 Shephard 距離函數，將總技術 效 率 分 解 為 純 粹 技 術 效 率 (pure technical efficiency, PTE) 及 規 模 效 率 (scale efficiency, SE) ， 且 純 粹 技 術 效 率 與 規 模 效 率 之 乘 積 即 為 總 技 術 效 率 ( 即

SE PTE

TE  )。BCC 模式可分為投入導向與產出導向：

一、投入導向

BCC 模式比 CCR 模式多了一個變數𝑢₀(代表規模報酬之型態)。假設有 n 個 決策單位，即𝐷𝑀𝑈_𝑗 = (𝐷𝑀𝑈₁, 𝐷𝑀𝑈₂, … … , 𝐷𝑀𝑈_𝐾, … … , 𝐷𝑀𝑈_𝑛)，使用 m 種投入 𝑋_𝑗 = (𝑋_1𝑗, 𝑋_2𝑗, … … , 𝑋_𝑚𝑗)，生產 s 種產出𝑌_𝑗 = (𝑌_1𝑗, 𝑌_2𝑗, … … , 𝑋_𝑠𝑗)，而第 k 個決策 單位𝐷𝑀𝑈_𝑘之效率值以分數線性規劃式表示，即為：

𝑀𝑎𝑥 ℎ_𝑘 =∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑘− 𝑢₀

∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑘 𝑠. 𝑡. ∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑗− 𝑢₀

∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑗 ≤ 1, 𝑗 = 1,2, … … … , 𝑛 (式 3 − 9) 𝑈_𝑟, 𝑉_𝑖 ≥ 𝜀 > 0, 𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠

𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚

𝑢₀無正負限制

為了解決無窮解的情況，將(式 3-9)轉換為線性規劃式，即令分母為 1，並求 取分子之最大值：

43

44

從(式 3-11)得知 BCC 模式比 CCR 模式多了一凸性限制式 ∑^𝑛_j=1𝜆_𝑗 = 1。而

∑^𝑛_j=1𝜆_𝑗^∗可判斷規模報酬之型態：

當∑^𝑛_j=1𝜆_𝑗^∗> 1時，代表規模報酬遞減；

當∑^𝑛_j=1𝜆_𝑗^∗= 1時，代表規模報酬固定；

當∑^𝑛_j=1𝜆_𝑗^∗< 1時，代表規模報酬遞增。

由上述可知，當無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，所應改善之 數量為減少投入∆X_𝑖𝑘及增加產出∆𝑌_𝑟𝑘如(式 3-12)所示：

∆X_𝑖𝑘 = 𝑋_𝑖𝑘 − (𝜃^∗𝑋_𝑖𝑘− 𝑠_𝑖^−∗), 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚 (式 3 − 12)

∆𝑌_𝑟𝑘 = (𝑌_𝑟𝑘+ 𝑠_𝑟^+∗) − 𝑌_𝑟𝑘, 𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠 2.產出導向

在假設條件與投入導向相同之情況下，第 k 個決策單位𝐷𝑀𝑈_𝑘之效率值以分 數線性規劃式表示，即為：

𝑚𝑖𝑛 1

𝑓_𝑘 =∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑘+ 𝑣₀

∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑘 s. t. ∑^𝑚_𝑖=1𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑗 + 𝑣₀

∑^𝑠_𝑟=1𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑗 ≥ 1, 𝑗 = 1,2, … … … , 𝑛 (式 3 − 13) 𝑈_𝑟, 𝑉_𝑖 ≥ 𝜀 > 0, 𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠

𝑖 = 1,2, … … … , m 𝑣₀無正負限制

為了解決運算不易與可能產生無窮解的情況，(式 3-13)予以轉換為線性規劃 式，即令分母為 1，並求取分子之最大值, 如(式 3-14)：

𝑚𝑖𝑛 1

𝑤_𝑘= ∑ 𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑘 + 𝑣₀

𝑚

𝑖=1

𝑠. 𝑡. ∑ 𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑘 = 1

𝑠

𝑟=1

∑ 𝑉_𝑖𝑋_𝑖𝑗 − ∑ 𝑈_𝑟𝑌_𝑟𝑗+ 𝑣₀ ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … … … , 𝑛

𝑠

𝑟=1 𝑠

𝑟=1

(式 3 − 14)

45 𝑣₀無正負限制

當𝑣₀ > 0時，代表規模報酬遞減；

當𝑣₀ = 0時，代表規模報酬固定；

當𝑣₀ < 0時，代表規模報酬遞增。

(式 3-14)可轉換為對偶型式，如(式 3-15)所示：

𝑀𝑎𝑥 1

𝐸_𝑘 = 𝜃 + 𝜀 (∑ 𝑠_𝑖⁺+ ∑ 𝑠_𝑟⁻

𝑠

𝑟=1 𝑚

𝑖=1

)

𝑠. 𝑡. ∑ 𝜆_𝑗𝑌_𝑟𝑗− 𝜃𝑌_𝑟𝑘− 𝑠_𝑟⁻

𝑛

𝑗=1

= 0, 𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠

∑ 𝜆_𝑗𝑋_𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

+ 𝑠_𝑖⁺ = 𝑋_𝑖𝑘, 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚 (式 3 − 15)

∑ 𝜆_𝑗 = 1

𝑛

𝑗=1

𝜆_𝑗, 𝑠_𝑖⁺, 𝑠_𝑟⁻ ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … … . . , 𝑛

𝑟 = 1,2, … … … , 𝑠 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚

當∑^𝑛_𝑗=1𝜆_𝑗^∗ > 1時，代表規模報酬遞減；

當∑^𝑛_𝑗=1𝜆_𝑗^∗ = 1時，代表規模報酬固定；

當∑^𝑛_𝑗=1𝜆_𝑗^∗ < 1時，代表規模報酬遞增。

當無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，所應改善之數量為減少投 入∆X_𝑖𝑘及增加產出∆𝑌_𝑟𝑘如(式 3-16)所示，此即 BCC 模式以產出為導向之差額變 數分析：

∆𝑋_𝑖𝑘 = 𝑋_𝑖𝑘 − (𝑋_𝑖𝑘− 𝑠_𝑖^+∗), 𝑖 = 1,2, … … … , 𝑚 (式 3 − 16) ∆𝑌_𝑟𝑘 = (𝜃^∗𝑌_𝑟𝑘+ 𝑠_𝑟^−∗) − 𝑌_𝑟𝑘, 𝑟 = 1,2, … … … , s

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肆、差額變數模式(Slacks-Based Measure, SBM)

由於 CCR 模式與 BCC 模式衡量的是射線效率(radial efficiency)，即假設投 入項或產出項可以等比例增加或減少，然而，此項假設並非在所有情況下皆適用。

因此，Tone 於 2001 年提出差額變數模式(Slacks-Based Measure, SBM)，利用差額 變數為衡量基礎，同時考慮投入項與產出項之差額(slack)，並以非射線(non-radial) 的估計方式與單一數值(scalar)來呈現 SBM 效率，其效率值介於 0 到 1 之間；而 當一決策單位之效率值為 1 時，代表此決策單位在生產邊界上不論投入項或產出 項皆無差額存在。利用 SBM 模式求算出之效率值具有以下特性：

1. 單位不變性(units invariance)：即受評單位之效率值不會隨投入項與產出項之 衡量單位改變而改變。

2. 單 調 性 (monotone) ： 係 指 投 入 過 剩 或 產 出 短 缺 之 差 額 會 呈 現 單 調 遞 減 (monotone decreasing)，亦即投入或產出差額會逐漸減少。

(式 3-17)為一分數線性規劃式，目的為求算出一決策單位之 SBM 效率，其中ρ為 非射線差額指標，𝑠_𝑖⁻及𝑠_𝑟⁺分別代表投入差額及產出差額，Xλ及Yλ分別代表投入項 及產出項效率邊界之標竿值：

𝑚𝑖𝑛 𝜌 =1 − 1

𝑚 ∑ 𝑠_𝑖⁻ 𝑋_𝑖𝑜

𝑚𝑖=1

1 +1

𝑠 ∑ 𝑠_𝑟⁺ 𝑌_𝑟𝑜

𝑠𝑟=1

s. t. 𝑋₀= 𝑋𝜆 + 𝑠⁻ (式 3 − 17) 𝑌₀ = 𝑌𝜆 − 𝑠⁺

λ, 𝑠⁻, 𝑠⁺ ≥ 0 如果X ≥ 0且𝑋_𝑖𝑜 = 0，則必須把_𝑋^𝑠𝑖−

𝑖𝑜從目標函數中刪除；又若𝑌_𝑟𝑜 ≤ 0，將必須 將𝑌_𝑟𝑜以一極小的正值取代，以凸顯_𝑌^𝑠𝑟+

𝑟𝑜對 SBM 效率之負面影響。當所有投入差額 𝑠_𝑖⁻及產出差額𝑠_𝑟⁺均為 0 時，代表該決策單位的所有投入項及產出項皆無差額存 在，此時ρ = 1，即該決策單位為有效率。經過運算，(式 3-17)可為(式 3-18)所示：

47 效率(output mix inefficiencies)之倒數。因此，ρ為平均投入混合無效率與平均產出 混合無效率之比率。

其中𝑡 > 0代表轉換具有可還原性(reversible)。當得知最適解為 (𝜏^∗, 𝑡^∗, Λ^∗, 𝑆^−∗, 𝑆^+∗)，則 SBM 的最適解為(式 3-21)如下：

48 𝜌^∗= 𝜏^∗, 𝜆^∗ =Λ^∗

𝑡^∗, 𝑠^−∗= 𝑆^−∗

𝑡^∗ , 𝑠^+∗ =𝑆^+∗

𝑡^∗ (式 3 − 21) 由上式的最適解可判斷一決策單位是否具有 SBM 效率，亦即若且唯若 𝜌^∗ = 1 (即𝑠_𝑖⁻ = 𝑠_𝑟⁺ = 0)，則該決策單位具有 SBM 效率，且無任何投入差額及產 出差額存在。

而不具有 SBM 效率之決策單位，可藉由減少投入過剩的數量與增加產出短 缺的數量作為改善，以達到 SBM 效率之境界。(式 3-22)為不具有 SBM 效率之決 策單位其調整方式，其中

 

Xˆo,Yˆo 代表效率邊界之投射點：

ˆ X s^*

X_{o o} (式 3 − 22)

ˆ Y s^*

Y_{o o}

在文檔中 OECD經濟體環境績效評估—動態SBM模型 (頁 44-56)