作图法 （1）分别在射线 OA, OB 上各取一点 E, F ，使 OE = OF = l 4；
（2）过点 E 作 OA 的垂线，过点 F 作 OB 的垂线，两垂线交于点 G；
（3）过点 P 、G 作弧，使 P G 所对的圆周角等于∠AOG；
（4）所作圆弧与 OA, OB 的交点 C, D 即为所求。
A
B C
D P
E F
S
T
图 3.4.1
A
B C
D
P Q
S
E F
图 3.4.2
例 3.4.2. 给定△ABC 和定点 P ，求作过点 P 的直线，这条直线平分三角形的面积。
解 利用例 3.4.1 的方法可以证明满足条件的直线必定存在。
（1）若点 P 在△ABC 的一边上，不妨假设在边 CA 上，若能在边 AB 上找到一点 Q，使 AQ = AB· AC 2AP ， 则直线 P Q 就是所求的直线。类似地在可以在边 BC 上找符合条件的点。
证明是很容易的，这里就省略了。
（2）若点 P 不在△ABC 的边上，作 CA 的中点 D，作点 E，使 △ADP 与 △AEB 顺相似。若点 P 、E 重合，则 AP =√
AB· AD = S△ABC
2 sin 2α，设满足条件的直线与 AB 的交点到点 A 的距离是 x，满足条件的直线 与 CA 的交点到点 A 的距离是 y，AP = d， ∠BAC
2 = α，则
dx sin α + dy sin α = xy sin 2α，
所以
d = 2xy cos α
x + y ≤√xy cos α =S△ABC 4 sin α 。 与 d = S△ABC
2 sin 2α矛盾，所以点 P 、E 不会重合。
过点 P 、E 作圆，使与点 A 在 P E 同侧的弧所含的圆周角等于∠CAE，圆与线段 AB 相交于点 Q，如果 直线 P Q 与线段 CA 有交点，则直线 P Q 就是所求的直线。类似选取 AB、BC 的中点按上述作图法找符合条 件的点。
这是因为△ADP ∼ △AEB，所以
AD· AB = AP · AE。
连结 QE，因为 ∠EQS = ∠EAS，故点 A、Q、E、S 四点共圆，所以 ∠AEQ = ∠ASP ，又得 △AQE ∼
△AP S，这样就得
AQ· AS = AP · AE。
所以
AQ· AS = AD · AB = 1
2AB· CA，
因此△AQS 的面积就是 △ABC 的面积的一半。
对例 3.4.2 进行推广，我们得如下问题的作图法：
给定∠AOB、不与点 O 重合的定点 P 、线段 a、b，求作过点 P 的直线与射线 OA、OB 相交于点 C、D，
使 OC· OD = a · b。
作图法 A：若点 P 在 OA 或 OB 上，则在另一边上截取到点 O 距离为 ab
OP 的点，这个点与点 P 的连线 就是所求。
B：若点 P 不在 OA、OB 上，则作图法如下：
（1）分别在 OA, OB 上取点 E, F ，使 OE = a，OF = b；
（2）作点 G，使△OEP 与 △OGF 顺相似；
（3）过点 P 、G 作圆，使与点 A 在 P G 同侧的弧所含的圆周角等于∠EOG，如果圆与线段 OA 相交于点 C，圆与线段 OB 相交于点 D，则直点 C、D 就是所求的点。
定理 3.4.1. （1）若一条直线平分三角形的周长和面积，则这条直线必定过这个三角形的内心；
（2）过三角形内心的直线如果平分三角形的周长，则同时平分三角形的面积；
（3）过三角形内心的直线如果平分三角形的面积，则同时平分三角形的周长。
证明 设△ABC 中 BC = a，CA = b，AB = c，p = a + b + c
2 ，△ABC 的面积是 S，内心是 I，内切圆 半径是 r。
（1）若直线 l 平分△ABC 的周长和面积，并且与边 BC 和 CA 分别相交于点 D、E，则 CD + CE = p，
S△CDE=S
2。设∠C 的内角平分线于 l 相交于点 P ，点 P 到 ∠C 两边的距离是 x，则1
2CD· x +1
2CE· x =S 2， 即 x = S
p = r，所以点 P 就是△ABC 的内心。
（2）若直线 l 过△ABC 的内心并且平分 △ABC 的周长，直线 l 与边 BC 和 CA 分别相交于点 D、E，则 CD + CE = p，所以 S△CDE= 1
2CD· r +1
2CE· r = S
2，所以直线 l 同时平分△ABC 的面积。
同理可证（3）。
下面来讨论同时平分三角形的周长和面积的直线的条数：
（1）当三角形是正三角形时，设边长是 1，平分周长和面积的直线与相邻两边交点到公共顶点的距离分别
是 x, y，则得
x + y = 3 2， xy = 1
2，
解这个方程组，得
x = 1
2， y = 1，
或
x = 1，
y = 1
2，这条直线就是这个公共顶点对边的中 垂线，三条中垂线都满足条件。
（2）当三角形是等腰三角形但不是正三角形时，设腰长是 a，底边长是 b，a̸= b，令 b a = u。
若平分周长和面积的直线与一腰和底边相交，交点到公共顶点的距离分别是 x, y，则得
x + y = 2a + b 2 ， xy = ab
2，
解这个方程组，得
x = a，
y = b 2，
或
x = b
2， y = a。
当 u < 1 时满足这种条件的直线只有一条；当 u > 1 时满足这种条
件的直线有三条。
若平分周长和面积的直线与两腰都相交，交点到公共顶点的距离分别是 x、y，
x + y = 2a + b 2 ， xy = a2
2，
要使方
程组有实数解必须 (2a + b)2≥ 8a2，即 u≥ 2√
2− 2，满足上述条件时解这个方程组，得
x = 2a + b−√
−4a2+ 4ab + b2
4 ，
y =2a + b +√
−4a2+ 4ab + b2
4 ，
或
x = 2a + b +√
−4a2+ 4ab + b2
4 ，
y =2a + b−√
−4a2+ 4ab + b2
4 ，
此时必须 2a + b−√
−4a2+ 4ab + b2
4 ≤ a，所以得 u ≤ 1。当时满足这种条件的直线有两条；当 2√
2− 2 <
u < 1 时满足这种条件的直线只有一条，此时 x = y =
√2
2 a；当 u < 2√
2− 2 或 u > 1 时候没有满足这种条件 的直线。
（3）当三角形不是等腰三角形时，设三边长由小到大分别是 a、b、c，令 b
a = u，c a = v。
若平分周长和面积的直线与长是 a、b 边相交，交点到公共顶点的距离分别是 x, y，则 x、y 是方程 f1(t) = 2t2− (a + b + c) t + ab = 0 的两根，此时 f1(0) = ab > 0，f1(a) = a (a− c) < 0，f1(b) = b (b− c) < 0，
这个方程不可能有满足 x≤ a，y ≤ b 的根。
若平分周长和面积的直线与长是 a、c 边相交，交点到公共顶点的距离分别是 x, y，则 x、y 是方程 f2(t) = 2t2−(a + b + c) t+ac = 0 的两根，此时 f2(0) = ac > 0，f2(a) = a (a− b) < 0，f2(c) = c (c− b) > 0，
此时方程有一根在 (0, a) 内，另一根在 (a, c) 内，所以只有满足这种条件的直线只有一条。
若平分周长和面积的直线与长是 b、c 边相交，交点到公共顶点的距离分别是 x, y，则 x、y 是方程 f3(t) = 2t2− (a + b + c) t + bc = 0 的两根，此时 f3(0) = bc > 0，f3(b) = b (b− a) > 0，f3(c) = c (c− a) > 0，
要使这个方程有满足 x ≤ b，y ≤ c 的根，必须 a + b + c
4 < b，(a + b + c)2− 8bc ≥ 0，即 1 + v < 3u，
u2− 6uv + v2+ 2u + 2v + 1≥ 0。因为 u > 1，v > 1，1 + u > v，所以 1 + v < 2 + u < 3u，即 1 + v < 3u 这个条 件必定能满足。由 u2− 6uv + v2+ 2u + 2v + 1≥ 0 又得 v ≤ 3u − 1 − 2√
2u2− 2u 或 v ≥ 3u − 1 + 2√
2u2− 2u，
但 3u− 1 + 2√
2u2− 2u > 3u − 1 > u + 1，与 1 + u > v 矛盾，所以只能 v ≤ 3u − 1 − 2√
2u2− 2u。因为当 u > 1 时候必然有 3u− 1 − 2√
2u2− 2u < u + 1，所以只需要满足 1 < u <
√2 + 1
2 ，u < v≤ 3u − 1 − 2√
2u2− 2u。
综合上述讨论就得，当 1 < u <
√2 + 1
2 ，u < v < 3u− 1 − 2√
2u2− 2u 时满足这种条件的直线有两条；当
1 < u <
√2 + 1
2 ，v = 3u− 1 − 2√
2u2− 2u 时满足这种条件的直线只有一条；其余情况无满足这种条件的直
线。
4.1 增乘开方法与开方的笔算法——何万程
中国古代把开方法与二次、三次或高次数字方程解法统称为开方术。《九章算术》少广章提出了完整的开 平方、开立方程序。
开方术曰：
置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。
折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。
若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不 可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。
开立方术曰：
置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折 而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副 以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。
开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开 者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。
这些文字对现代人来说比较难以理解，对上述方法加以推广，并用现代汉语表述，便得一般的开方笔算方 法。这种笔算开方的方法对有计算机计算的今天虽然实用性不大，但从中我们可以看出我们祖先的智慧。
因为负数 a 开 2k + 1 次方等于正数−a 开 2k + 1 次方的相反数（其中 k 是正整数），而负数是没有偶数次 算术根的。另外，0 开任意 k 次方都是 0，这种情况没有什么讨论的价值。所以我们只需要讨论正数的算术根 的笔算方法。
笔算开 n 次方的方法如下：
1. 把被开方的整数部分从个位起向左每隔 n 位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔 n 位 为一段，用撇号分开；
2. 根据左边第一段里的数，求得开 n 次算术根的最高位上的数，假设这个数为 a；
3. 从第一段的数减去求得的最高位上数的 n 次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；
4. 把 n (10a)n−1去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于 10，就用 9 做试 商）；
5. 设试商为 b。如果 (10a + b)n− (10a)n 小于或等于余数，这个试商就是 n 次算术根的第二位； 如果 (10a + b)n− (10a)n大于余数，就把试商逐次减 1 再试，直到 (10a + b)n− (10a)n小于或等于余数为止。
6. 用同样的方法，继续求 n 次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了 k 位数字，则 a 要取为全部 k 位数 字）。
下面对笔算法的原理进行简要的说明。
（1）每 n 位用撇号分开，这是因为 10n一共有 n 个 0。
（2）如果已经计算了前 k 位后去掉小数点的整数是 a，设被开方数的前 k + 1 段去掉小数点的整数是 x，
根据算法的步骤用数学归纳法容易证明：当前步骤的余数就是 x− (10a)n。
（3）假设算术根的第 k + 1 位精确值是 y，必然有 (10a + y)n≤ x，(10a + y + 1)n> x。设余数是 r，则 (10a + y)n− (10a)n≤ r，
(10a + y + 1)n− (10a)n> r。
而
r≥ (10a + y)n− (10a)n = y (
n (10a)n−1+· · · + yn−1)
≥ ny (10a)n−1，
设试商是 b，则 b≥ y。
如果首次试商就有 (10a + b)n− (10a)n≤ r，则必然 b = y，这是因为若 b ≥ y + 1，则
(10a + b)n− (10a) n ≥ (10a + y + 1)n− (10a)n> r，
与 (10a + b)n− (10a)n≤ r 矛盾。
如果首次试商就有 (10a + b)n− (10a)n> r，经过调整后的 b 有 (10a + b)n− (10a)n ≤ r，
(10a + b + 1)n− (10a)n > r，
则必然 b = y，这是因为：
（a）若 b≥ y + 1，则
(10a + b)n− (10a)n≥ (10a + y + 1)n− (10a)n> r，
与 (10a + b)n− (10a) n ≤ r 矛盾；
（b）若 b≤ y − 1，则
(10a + b + 1)n− (10a)n ≤ (10a + y)n− (10a)n≤ r，
与 (10a + b + 1)n− (10a)n> r 矛盾。
无论哪种情况，总可得 b = y。
根据（1）、（2）、（3）的说明，我们可以肯定笔算开方的方法计算出来的每一位数字都与精确值对应位的 数字相同，所以笔算开方的方法是正确的。
下面举例说明笔算方法。
例 4.1.1. 求以下根式的值：
（1）√
6167608340089；
（2）√3
178567680163328；
（3）√5
987654321987654321（取三位小数的近似值）。
解 （1）√
6167608340089 = 2483467。
√2 4 8 3 4 6 7 6′16′76′08′34′00′89
4 · · · 22
2 16 · · · 216 ÷ (2 × 20) 的整数部分是 5，但 252 − 202 = 225 > 216，改用 4 作试商 1 76 · · · 242− 202
40 76 · · · 4076 ÷ (2 × 240) 的整数部分是 8，用 8 作试商 39 04 · · · 2482− 2402
1 72 08 · · · 17208 ÷ (2 × 2480) 的整数部分是 3，用 3 作试商 1 48 89 · · · 24832− 24802
23 19 34 · · · 231934 ÷ (2 × 24830) 的整数部分是 4，用 4 作试商 19 86 56 · · · 248342− 248302
3 32 78 00 · · · 3327800 ÷ (2 × 248340) 的整数部分是 6，用 6 作试商 2 98 01 16 · · · 2483462− 2483402
34 76 84 89· · · 34768489 ÷ (2 × 2483460) 的整数部分是 7，用 7 作试商 34 76 84 89· · · 24834672− 24834602
0
（2）√3
178567680163328 = 56312。
√3 5 6 3 1 2 178′567′680′163′328 125 · · · 53
53 567 · · · 53567 ÷(
3× 502)
的整数部分是 7，但 572− 502= 60193 > 53567，改用 6 作试商 50 616 · · · 563− 503
2 951 680 · · · 2951680 ÷(
3× 5602)
的整数部分是 3，用 3 作试商 2 837 547 · · · 5633− 5603
114 133 163 · · · 114133163 ÷(
3× 56302)
的整数部分是 1，用 1 作试商 95 107 591 · · · 56313− 56303
19 205 572 328· · · 19205572328 ÷(
3× 563102)
的整数部分是 2，用 2 作试商 19 205 572 328· · · 56313− 56303
0
（3）√5
987654321987654321≈ 3971.193。
√5 3 9 7 1. 1 9 2 9
987′65432′19876′54321.00000′00000′00000′00000
243 · · · 35
744 65432 · · · 74465432 ÷(
5× 304)
整数部分是 18，改用 9 作试商 659 24199 · · · 395− 305
85 41233 19876 · · ·854123319876÷(
5× 3904)
整数部分是 7，用 7 作试 商
83 92970 61757 · · · 3975− 3905
1 48262 58119 54321 · · ·1482625811954321÷(
5× 39704)
整数部分是 1，用 1 作 试商
1 24265 57094 08851 · · · 39715− 39705
23997 01025 45470 00000 · · ·23997010254547000000÷(
5× 397104)
整数部分是 1，用 1 作试商
12433 44352 06091 99551 · · · 397115− 397105
11563 56673 39378 00449 00000 · · ·1156356673393780044900000÷(
5× 3971104)
整数部分 是 9，用 9 作试商
11191 17001 57043 20516 21599 · · · 3971195− 3971105
372 39671 82334 79932 78401 00000 · · ·3723967182334799327840100000÷(
5× 39711904) 整数 部分是 2，用 2 作试商
248 70419 01386 56554 83574 43232 · · · 39711925− 39711905
123 69252 80948 23377 94826 56768 00000· · ·123692528094823377948265676800000÷(
5× 397119204) 整数部分是 9，用 9 作试商
111 91704 90192 14028 71518 74119 30649· · · 397119295− 397119205 11 77547 90756 09349 23307 82648 69351