近軸近似下的馬克斯威爾方程式

考慮一無點源存在介質中的波動方程式，可將馬克斯威爾方程式表示成下面 四個式子[1]：

t E H

∂

− ∂

=

×

∇ µ （1）

t H E

∂

= ∂

×

∇ ε （2）

=0

⋅

∇ E （3）

=0

⋅

∇ H （4）

將（1）式代入∇×∇×E =∇∇⋅E+∇²E可以將電場化簡成：

t E E

∂

= ∂

∇² µε （5）

將E =E

(

x,y,z

)

e^iωt代入上式得到：

(

∇² +k²

)

E

(

x,y,z

)

=0 （6）

其中， c

k nω

= 為波向量。而（6）式就是 homogeneous 的 Helmholtz’s 方

程式。在雷射電磁波行進時，主要沿著 Z 軸前進，由此我們可將電場表示成

(

x y z

)

U

(

x y z

)

e ^ikzz

其中ψ

( )

x,y 為雷射光波橫向波形、w 為光腰（Beam waist），即為光斑₀ w

( )

z

( ) ( )

0 無關 Schrödinger equation 之間發現其相似性[2]，因此我們假設（14）式的解為

( ) ( )

^{x u x e wx( )z}

( )(

2 1

)

(

, ,

)

0

( )

dt

1 間的關係[3]。在此，將簡短敘述兩者之間關係，並重新表示 Laguerre polynomials：

( )

^{= −}

_∫

^{∞ − ++}

( )

Bessel function 替換：

( ) ( )

^{[ ( )]}

( )

[ ( )]

( )

⁼

^{( )}

^{− − −}

_∫

^{+ ∞}

_∫

^{− + ( − ) ++}

將 Hermite polynomial 表示成積分式，並將積分式之卡笛耳座標轉換為圓柱 座標（x= ρcosφ、y =ρsinφ、t_x =tcosθ 、t_y =tsinθ ）：

( ) ^{( )}

i C C H

( )

x H

( )

y

LG_1,3 LG_2,1 HG_1,4

LG_0,5

LG_0,5

HG_3,2 HG_5,0 HG_1,4

3.4 產生 Laguerre Gaussian Modes（LG_0,l）：

在此章節中，將探討如何利用單端激發之固態雷射產生不同階數的Laguerre Gaussian modes[4]。其中產生 LG 模態的關鍵在於一離焦激發的半導體雷射，並 利用理論模擬探討離焦程度與高階模態產生的關係。

對一個多模態（multi-mode）光纖耦合半導體雷射光源經過聚焦鏡，其波形

在聚焦平面上，就像是一個top-hat分佈。然而，波形不在聚焦平面上時，其光

波的橫截面就有如一甜甜圈（doughnut-shaped）如下圖：

r

z

z = z_o

θ_p

利用此特性，將一離焦激發光源與腔內光斑有一適當之重疊，就可以產生高階之 Laguerre Gaussian mode。在下圖中，將簡單敘述出經過光纖耦合所得到之雷射，

在聚焦面附近其波形與位置之關係：

由此關係，可將激發光源之光波分佈近似成（43）式：

( )

^⋅Θ

(

^{− −}

)

^⋅Θ⎜_⎝^⎛

( (

⁻

) )

^{+ − ⎟}_⎠^⎞

= − ⁻₋ r z z z z w r

e e z w

r

r _{l p p p}

z

p

p _c

2 2 0 2 0

1

, 1 α θ θ

π ^α

α

（43）

其中w 為激發光之腰束（beam waist）、α 為增益晶體在激發光源波長下的吸收_p 係數、l 為雷射共振腔的長度、_c θ_p為光波在近似線下的發散角（半角）、z 為₀

為聚焦點在晶體上的位置、z=0定義在增益晶體入射表面上、Θ

( )

為 Heaviside function。此方程式控制激發光波的波形在焦平面上為 top-hat 的形式；在離開焦 平面時，是一個 ring-type 的分佈。

由於LG_0,l模態具有最好的重疊在環形激發光源中，所以LG_0,l模態是我們預 期最佳的雷射模態。一單端激發固態雷射產生LG_0,l模所需要的臨界激發功率為 [5]：

z_o (mm)

( )

₂

(

^{2 2 2}

)

∆x=0mm

∆x=0.06mm

∆x=0.095mm

∆x=0.115mm

實驗結果 模擬結果

HG

₀₀

HG

₁₀

HG

₂₀

HG

₃₀

∆x=0.14mm

∆x=0.165mm

∆x=0.19mm

∆x=0.215mm

實驗結果 模擬結果

HG

₄₀

HG

₅₀

HG

₆₀

HG

₇₀

實驗結果 模擬結果

∆x=0.225mm

∆x=0.245mm

∆x=0.25mm

∆x=0.28mm HG

₈₀

HG

₉₀

HG

₁₀₀

HG

₁₁₀

近軸近似下的馬克斯威爾方程式與量子力學中簡諧振子所得到的方程式有 極大的相似處。在上面的討論中，明瞭雷射光束可用簡單的 Hermite-Gaussian mode 和 Laguerre-Gaussian mode 表示，並探討兩者之間的關係。產生一純 Laguerre-Gaussian mode 所使用的方法在於光纖耦合離焦的程度；產生一純 Hermite-Gaussian mode 所使用方法主要在光纖耦合離軸的程度。並使用理論模擬 預測兩者離焦與離軸程度所產生之高階模態。

參考文獻：

[1]. David K. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”,2^nd, ADDISON WESLEY.

[2]. L.I. Schiff, “Quantum Mechanics”,McGraw-Hill Book Company, New York, 1972.

[3]. Isidoro Kimel and Luis R. Elias, IEEE J. Quantum Electron. 29, No.9, pp.2562-2567(1993).

[4]. Y.F Chen, Y.P. Lan, S.C. Wang, Appl. Phys. B, 72, pp.167-170, 2001.

[5]. Q. Deng, H. Deng, and D.G. Deppe, Opt. Lett. 22, 463 (1997).

[6]. Y.F. Chen, T.M. Huang, C.F. Kao, C.L. Wang, S.C. Wang, IEEE J. Quantum Electron. 33, No.6, pp.1025-1031 (1997).

第四章 非純單一模態雷射其時空分佈情形

4.1 導論

與主動式 Q 開關雷射相比，被動式 Q 開關雷射能以簡單的架構去產生脈衝 式雷射。一般被動式 Q 開關具有更小巧、更堅固耐用和可參與多種工作，舉如 雷射雕刻至雷射測距等工作。操控在雷射測距的使用下，輸出雷射橫模的品質就 成為影響測距結果一不抗拒的變因；一橫模品質較佳的雷射，經過遠距離傳輸依 舊可以維持較小光班（Spot size）。將雷射光應用於精確度高的測距儀中，雷射 脈衝必須均勻地到達目標上；量測時脈衝抵達目標物時間有所變異或是雷射光斑 上不同位置打擊到目標物將會造成量測結果有所誤差。以主動式 Q 開關雷射研 究遠場時差效應已被討論過，在此將介紹以被動式 Q 開關所造成的遠場時差效 應。

3.2 動機

以下將簡述 Magnus Arvidsson 在 2001 年所發表之論文[1]：在被動式 Q 開關 雷射中，飽和吸收體扮演著一開關的閥門。當雷射開始啟動時，飽和吸收體基態 電子吸收能量躍遷至激發態，飽和吸收體開始變透明。光子的強度控制著飽和吸 收體透明的程度，由於共振腔內的光束呈現一 Gaussian 分佈曲線，因此飽和吸 收體的中央應較易達到透明。這告訴我們，在脈衝產生的過程中，飽和吸收體上 透明的程度也隨之改變。也可想像飽和吸收體受熱之後，產生熱透竟效應，形成 一聚焦透鏡。此聚焦透鏡在雷射共振腔中，將造成雷射光斑大小的改變與雷射發 散角的改變。下圖（a）表示，在脈衝產生的初期，雷射光強度較弱、光斑較小，

所造成的繞射效應將有叫大的發散角；下圖（b）表示，雷射強度開始增加，發 散角開始變小、遠場的雷射光斑也變小；下圖（c）表示，雷射強度開始下降，

但飽和吸收體仍保持透明狀態，使得發散角與光斑並無太大變化。綜合上述討 論，由於脈衝產生過程中光束大小與強度的改變，造成在遠場雷射光斑上不同的 位置，其脈衝激發時間將有所不同。

（a）

（b）

（c）

圖一

下圖二中，將模擬在時、空座標下雷射強度的分佈。由此圖可以看出在距離 中心較遠的位置，其脈衝出現時間叫中心位置早；換句話說，中心點與邊緣處的 脈衝產生時間並不相同。

t t t

Ref: Magnus Arvidsson, “Far Field timing effects with passively Q-switched lasers”, Opt. letters, vol.

26, No. 4, 2001

圖二

在 Magnus Arvidsson 所使用之實驗架構為（下圖三）：激發光源使用 500mW 半導體雷射，耦合入光纖，經過一焦距為 4.5mm 的耦合聚焦鏡，入射至增益界 質，此增益介質為 2mm 1.1% Nd:YAG，前端鍍上對 1064nm 波段高反射的金屬 鍍膜後端與飽和吸收體 1mm Cr⁴⁺:YAG 接和，在飽和吸收體後端接合上

0.4mmYAG 與反射率為 90%@1064nm 的金屬薄膜，並加入溫控。在此架構下，

可產生脈衝寬度 3ns、重複率 6kHz、輸出 20mW 的脈衝雷射。在雷射輸出端加入 分光鏡，使雷射光束分成兩道，一為實驗組、一為對照組。在此量測架構下，其 誤差約在 5ps。

L_cavity=3.4mm

Cr⁴⁺:YAG T₀=75%

LD

Couple lens f=4.5mm

R=90%@1064nm 1.1% Nd:YAG

Beam split

Single-mode fiber

detector

L_cavity=3.4mm L_cavity=3.4mm

Cr⁴⁺:YAG T₀=75%

LD

Couple lens f=4.5mm

R=90%@1064nm 1.1% Nd:YAG

Beam split

Single-mode fiber

detector

圖三

下圖四為實驗結果，三角點代表的是x方向位移所造成的時間差、圓點代表的是 y 方向位移所造成的時間差。由實驗結果可以發現最大的時間差大約為 270ps，

使用在量測上將造成大約 81mm 的誤差。

圖四

3.3 Multi-mode 脈衝雷射：

由前面討論，我們試著以同樣架構之雷射討論在橫模非單一模態時，其脈衝 產生是否會有上述文章之現象。下圖五（a）為此次實驗的裝置，激發光源為輸 出波長 808nm 半導體雷射，經由光纖耦合至聚焦鏡，聚到一端面接鍍有 1064nm 抗反射膜的雷射晶體（Nd：YAG），滲雜濃度為 1%，長為 2mm、寬與高皆為 3mm，

另一端與飽和吸收體（Cr⁴⁺：YAG）接和，在飽和吸收體另一端鍍上 1064nm 部 分反射膜，此晶體外層包銦，放入銅製通水座中將溫度控制在 25^oC。在固定激 發功率為 2.4W，輸出為 225mW、脈衝寬度約為 1ns 的架構下，利用 Beam split 將雷射光分成兩道。利用空間濾波器將雷射光束中心點打入光偵測器中，以此為 參考光訊號；再將另一光偵測器加上空間濾波器固定一可 2D 移動的平台上，以 便於記錄光偵測器移動的距離，並確定兩道光束到達光偵測器的距離一致。下圖 五（b）為雷射輸出的橫模。

LL_cavitycavity=3mm=3mm

LD

Couple lens 2:1

1% Nd:YAG

Cr⁴⁺:YAG T=70%

圖五（a）

圖五（b）

為了觀察橫模不同位置上，其脈衝產生時間得差異，將利用 Beam split 將光 束分成兩道，一為參考組：將光偵測器之偵測孔至於橫模中心點位置，用以量測 橫模中心點脈衝到達時間；另一為實驗組：將光偵測器架在一可二維移動的平台 上，以便於量測 x 方向與 y 方向二維平面上脈衝到達時間。下圖六為使用示波器 在 x 方向位移所偵測所得到圖形，其中深色為觀察組，淺色為參考組。由下圖得 知，當距離中心點位置越遠時，第二發脈衝的強度將趨近第一發脈衝的強度。兩 發脈衝時間差最大可達 20ns，將此雷射使用在精確度高的距離量測上，會產生 大約 6m 的嚴重誤差。

2.3mm

∆x=0mm

∆x=2.3mm

∆x=4.3mm

∆x=5.78mm

∆x=10mm

2.3mm

∆x=0mm

∆x=2.3mm

∆x=4.3mm

∆x=5.78mm

∆x=10mm

圖六

參考資料：

[1]. Magnus Arvidsson, Optics letter, vol. 26, no. 4, February 15, 2001

第五章 單一高階橫模脈衝雷射其時空分佈情形

Cr⁴⁺:YAG / Gain media Radiative lifetime at 1% Nd doping, ~100

µs Effective laser cross section, cm²

(emission cross section at1064nm)

0.45 0.8

Emission bandwidth, nm 0.8 (linewidth at 1064nm)

1064.2 Laser wavelength, nm

Nd:YAG c-cut Nd:YVO₄

a-cut Nd:YVO₄

Cr⁴⁺:YAG / Gain media Radiative lifetime at 1% Nd doping, ~100

µs Effective laser cross section, cm²

(emission cross section at1064nm)

0.45 0.8

Emission bandwidth, nm 0.8 (linewidth at 1064nm)

1064.2 Laser wavelength, nm

Nd:YAG c-cut Nd:YVO₄

a-cut Nd:YVO₄

表一

LD

Couple lens 2:1

L_cavity Nd:YVO4 0.5%

CR⁴⁺:YAG

T=80%，R=80%@1064nm

R1= 1.5 cm HR@1064nm, HT@808nm

LD

Couple lens 2:1

L_cavity Nd:YVO4 0.5%

CR⁴⁺:YAG

T=80%，R=80%@1064nm

R1= 1.5 cm HR@1064nm, HT@808nm

圖二

圖三

圖四中將指出雷射高階橫模其每一片橫模之間時間差的情形。光子在 1.5cm 腔長的共振腔來回一趟需要 100ps，由圖四可以發現，每片橫模之間所具有的時 間差約為 100ps 的 N 倍；也就是說，每片橫模的產生約為 N 趟光子來回震盪的時

Iinput=2.2A

pattern 片 數

0 2 4 6 8 10 12 14

Pave (W)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Energy (µJ)

0 2 4 6 8 10

P.W. (ns)

8 10 12 14 16 18 20 22

P_ave Energy P.W .

間。由實驗數據得知，假設一HG_10,0模態其脈衝寬度約為 17ns，其整個完整橫模 產生的時間，約為光子在共振腔中來回震盪 170 次而產生。由此推算，每一不同 高階橫模的產生，所約要的光子震盪次數不同，所產生時間也有所不同。

無delay

無delay Delay 400psDelay 400ps

Delay 400ps Delay 500ps

Delay 400ps Delay 500ps

Delay 400ps Delay 700ps

Delay 500ps

Delay 400ps Delay 700ps

Delay 500ps

Delay 600ps

Delay 500ps Delay 400ps

Delay 700ps

Delay 600ps

Delay 500ps Delay 400ps

Delay 700ps

Delay 600ps Delay 900ps

Delay 700ps

Delay 800ps

Delay 600ps Delay 900ps

Delay 700ps

Delay 800ps

Delay 600ps

Delay 200ps

Delay 400ps Delay 500ps

Delay 600ps

Delay 200ps

Delay 400ps

Delay 500ps Delay 800ps

Delay 200ps Delay 1200ps

Delay 900ps Delay 700ps

Delay 800ps

Delay 200ps Delay 1200ps

Delay 900ps Delay 700ps

Delay 700ps

Delay 200ps

Delay 300ps Delay 600ps

Delay 400ps

Delay 700ps

Delay 200ps

Delay 300ps Delay 600ps

Delay 400ps

Delay 800ps

Delay 500ps

Delay 200ps Delay 400ps

Delay 900ps Delay 700ps Delay 600ps

Delay 800ps

Delay 500ps

Delay 200ps Delay 400ps

Delay 900ps Delay 700ps Delay 600ps

Delay 800ps

Delay 200ps

Delay 200ps Delay 800ps

Delay 200ps

Delay 200ps

圖四

5.3 強聚焦下所產生之橫模：

保留圖二所使用雷射架構，在輸出耦合鏡端改變其前後位置；也就是改變腔

長。當腔長越往後拉，聚焦在飽和吸收體上的光斑相對越小，在增益介質上光斑 相對越大，在此架構下將產生兩種效果：1.增益介質上激發光源之光束大小將比 共振腔中光斑（ A ）小，此效果將造成光波在增益介質上，有光程差的產生。2.

強聚焦於飽和吸收體上，將有熱透鏡效應的產生。此兩效果的影響下，我們觀察 橫模產生的情形如下。在實驗架構中，飽和吸收體將使用兩種不一樣的材料，一

強聚焦於飽和吸收體上，將有熱透鏡效應的產生。此兩效果的影響下，我們觀察 橫模產生的情形如下。在實驗架構中，飽和吸收體將使用兩種不一樣的材料，一

在文檔中 半導體激發式被動式Q開關雷射時空分布之研究 (頁 17-0)