附錄 B：層級貝式混合多維常態聯合分析模式的參數的估計方法

有 N 個受訪者 (i=1,…, N)，S 次的選擇組合 (s=1,…, S)，消費者的異質性服從混合 K 個多 維常態分配。則欲估計的個人化參數 的後驗機率分配可以 (A-1) 式來表示。 _i

 

(

_i

Data )  

_i

( Data

_i

)  p (

_i

)

1 1

Pr( , ) ( )

S J isj

is is i i

s j

y j X p



 

 

 

         

(A-1)

~ (

_i

, )

i

N

ind indi

 



(A-2)

~ Multinomial( )

i i

ind

 (A-3)

~ Dirichlet( )

  (A-4)

~ ( ,

1

)

k

N

k

a

_

 

 

^ (A-5)

0 0

~ ( , )

k

IW v V



(A-6)

(A-1) 式中 

(

_i

Data )

為消費者 i 之個人化的偏好結構係數之後驗分配，根據貝氏統計理 論，對個人化參數的後驗分配之推論乃結合個人選擇的資訊

_

_i

( Data

_i

)

與群體的先驗資訊

(

_i

)

p

 。

X _is

為消費者 i 在第 s 次的選擇組合中所面對的產品屬性組合。

y

_is代表第 i 個消費者，

在第 s 個購買情境的選擇

y

_is=1, 2,.., J，s=1,2,..., S。

Pr( y

_is

 j X

_is

,

_i

)

表個人選擇的資訊，即消 費者 i 在第 s 次的選擇組合中選則 j 產品的機率。 為 1 若消費者 i 在第 s 次的選擇中，選擇 j_isj 產品。 為 0 若選非 j 產品。(A-2) 式為先驗機率_isj

p (

 的分配假設。本文假設消費者的_i

)

 參_i 數的先驗機率

p (

 服從混合常態分配_i

) ~ (

_i

, )

i

N

ind indi

 



。該式表示消費者 i 的個人化參數_i 可能來自其中一個多維常態母體，以

ind

_i來代表他所來自的多維常態母體 (

ind

_i=1, …, K)。

另外，模式中相關參數之先驗分配可根據貝氏定理之自然共軛分配設定如下:

ind

_i名目變 數，其先驗服從多項式分配。

ind

_i

~ Multinomial(

 ，_i

)

 代表消費者 i 來自 K 個多維常態母體_i 的機率 (   _i

=

_i1

,

_i2

,.,

 )。(A-3) 式中_ik  代表每個市場區隔的機率值的資訊，其先驗服從_i

Dirichlet( )

 分配。多維常態的平均數 先驗為常態分配_k _k

~ N ( ,



 

_k

a

_^1

)

。第 k 個多維常態 分 配 的 共 變 異 矩 陣



_k 之 先 驗 分 配 服 從 Inverse-Wishart 分 配 ， 以



_k

~ IW v V ( ,

_{0 0}

)

表 示 。

 ,  ,

a

_^1 ,

v

₀ ,

V

₀ 為 資 訊 。 如 在 混 合 兩 個 常 態 的 情 況 下 ， d 為 的 維 度 ，_i  =(5,5),

a

_^1=0.01,

v

₀=d+3,。

V

₀= 0

  1

v  diag

d d_ 。^

^{ }   ⁰

_d1^。

MCMC 的過程包含反覆下列四個步驟以推估模式的參數。

起始值 ⁰

^{, {}

k⁰

^, 

k⁰

^{} ,}  

i⁰

步驟 1 ind^1|^{0 , {}k^0,k^{0} ,}

 

i⁰ 步驟 2 ¹| ind¹

貝氏統計於選擇式聯合分析法之個人與市場區隔參數之推論 695

步驟 3

^{

_k¹

^, 

_k¹

^{} |} ind

¹

=1, 2,.., k K

步驟 4

 

i^{1 |}y X indi^, i^, i^1,k^1,  k¹

以 代表每個市場區隔的機率大小的資訊，上標 0 代表第 0 次的 MCMC 抽樣，也就是一⁰ 個起始值。給定⁰ , {_k⁰,_k⁰} , ⁰等起始值，我們可以抽樣出每一個個體是屬於的哪一個多維 常態母體的資訊

ind

¹，其中ind¹(ind₁,....,ind_N)表示在第一次 MCMC 抽樣中，標示每一個受訪 者分別是屬於哪一個區隔的資訊。上標 1 代表第 1 次的 MCMC 抽樣，給定

ind

¹我們可以得知每 個群體大小，故可得到 。同時，給定¹

ind

¹，亦可以推估每個多維常態的平均數與共變異資訊。

然後給定y X ind_i, _i, ¹_k,_k¹,  使我們可以推估_k¹  的資訊，並以此反覆抽樣達適當次數。以上每個_i¹ 步驟說明如下：

步驟 1: 抽出個體所屬的多維常態母體的編碼值

ind

_i

給定 的資訊， = ₁

,

₂

,.,

 為每個市場區隔機率大小的資訊 (其值可經由步驟 2 不斷更_K 新)。

_

_i為個體 i 分別屬於 K 個多維常態母體機率之後驗分配

_

_i= 

_{ }

_i1

,

_i2

,.,



_

_iK。i=1,…,N。每個受 訪者屬於哪一個多維常態母體

ind

_i可從 Multinomial (

_

_i) 分配中隨機抽出一個值。其值的計算 由 (A-8) 式而來。

f (

 _i

|

_k

, 

_k

)

為個體 i 評估其屬於第 k 個多維常態母體的邊際機率概似函數。



_

ik的值需除以其正規化常數 (Normalizing constant)，即個體 i 評估其在 K 個多維常態母體的概 似函數的總和，才可使



^K_k1

^

_ik

 1

^。

ind ~ Multinomial(

_i 

_

_i

)



_

_i= 

_{ }

_i1

,

_i2

,.,



_

_iK (A-7)

1

( | , )

( | , )

k i k k

ik K

k i k k

k

f f

  



  



 



 

 

k  1, 2...., K

(A-8) 步驟 2: 抽出反應每個多維常態母體相對大小的機率

 為 K 個機率值，代表每個多維常態母體相對大小的，可用來反應每個市場區隔資訊的大 小。 後驗分配為 Dirichlet(

_

₁

,....



_

_K)，

_

_k值可從 (A-10) 得到。 為_k 

_

_k先驗資訊。

~ D irichlet ( )

  

(A-9)

1

( )

n

k i k

i

I ind k

 



   



(A-10)

步驟 3: 抽出每個多維常態母體的平均數與共變異矩陣

{

_k

, 

_k

}

當知道每個消費者分屬於不同多常態母體資訊後

ind

_i，將可用此資訊將同一區隔之消費者 集合起來，然後運用貝氏 SUR (Seemingly Unrelated Regression) 模型 (Rossi et al., 2005) 的方法 可輕易得出每個多維常態母體的平均數與共變異矩陣

{

_k

, 

_k

}

的推論。在 (A-11) 式中，

B

_k是 屬於 k 多維常態母體的偏好參數， 為 1 的向量。 是欲估計的平均數向量。_k



誤差共變數矩 陣。又因為假設_k

~ N ( ,



 

_k

a

_^1

) 

_k

~ IW v V ( ,

_{0 0}

)

(A-5, A-6)，經由推導後可得出_k



_k的後驗

分配為 (A-12) 與 (A-13) 式。

k k

+

k

B 



^ 



_k

~ N (0, 

_k

)

k=1,…, K (A-11)

0 0

| , , , ~ ( , 1 / ( ) )

k k k k k k

u B   a_ N  I a_  (A-12)

0 0 0

| , , ~ ( , )

k

B v G

k o

IW v I V

k

SS

  

(A-13)

其中 I_k

 

ⁿ_i1I

(ind

_i



k

)

^，

^{SS  ( B}

^k

^

^

^

^k

^{) (  B}

^k

^

^

^

^k

⁾

^{, }

^

^k

^{ ( I}

^k

^{ a}

^0

^{) (}

^1

^I

^kk

^{ a}

^{0 }

^),

^k

^{ ( B}

^k

^

^

^{/ I}

^k

⁾

o

,

o

v V



, a

_0 為

{

_k

, 

_k

}

的先驗資訊。

步驟 4: 抽出個人化參數

 

 i

已知

y X ind

_i

,

_i

,

_i

,

_k

, 

_k的資訊，則 的後驗分配為 (A-14) 式 _i

(

_{i is}

, , rest)

X y

is

 

 

_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)  p (

_i

)

1 1

Pr( , )

S J isj

is is i

s j

y j X





 

 

         ^{. exp (} 

 i



indi

⁾  

ind^1i

⁽

 i



indi

⁾ 

1

exp( )

Pr( , )

exp( )

isj i

is is i J

ism i

m

y j X x

x

 

 

  

 

(A-14)

上式之x 表示消費者 i 在第 s 次的選擇組合中之第 j 個產品的屬性。(A-14) 式並不服從任_isj 何一個已知的分配形式，因此我們以高斯隨機漫步的 Metropolis-Hasting 的抽樣方法來抽出 _i (i=1,2,….,N)，方法如下：

起始狀態  _i^old

隨機抽樣 _i^candidate _i^old _i, _i ~ N(0, H )_i^1 , H_i^1scaling² _i 令 

 ^{min 1, (} 

 i^candidate

^{) / (}

 i^old

⁾ 

在 的機率下, _i^new



_i^candidate, 其它 _i^new



_i^old 對 N 個體依序抽樣 i=1,2,….,N

(A-15)

(

_i^candidate

)

  ,  

(

_i^old

)

為_i^candidate和 的後驗機率分配，即 (A-1) 式。_i^old



_i決定隨機漫步值

的變動量。作者對隨機漫步的變動量作如下的設定：



_i

~ N (0, H

_i^1

)

，

H

_i^1 的值影響隨機漫步 值的變動幅度。其值設定為

H

_i^1

 scaling

²



_i。據 Roberts and Rosenthal (2001) 的看法，scaling 設 定 為

scaling  2.93 / d

(d 為 的 維 度 ) 可 使 Metrolis-Hasting 方 法 得 到 良 好 的 結 果 ，_i

1 1

(Hessian )

i i indi

 

    代表對消費者 i 偏好之變異的近似推論。其資訊來源有二：

Hessian

_i以及

1 indi

 ，

Hessian

_i為

_

^*_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)

的 Hessian 矩陣 (A-16)。

_

^*_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)

是 個體偏好參數之概_i 似函數的一個近似推論 (A-17)，用以協助我們決定

H

_i^1。 ¹

indi



 表該次 MCMC 抽樣中，消費者 i 所屬區隔的共變異矩陣，有代表 i 偏好變異矩陣之先驗之意，若消費者 i 屬第 k 個區隔，則 ¹

indi

 =  _k^1

貝氏統計於選擇式聯合分析法之個人與市場區隔參數之推論 697

(其值從步驟三得出)。故H_i^1亦結合 個體偏好參數之概似函數_i

Hessian

_i與先驗資訊 ¹

indi

 ，並可

透過 scaling 值調整。

2 *

'

log ( , )

Hessian

_i ^{i i is is}

i i

X y



 

  

 



(A-16)

*_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)



為一個加權平均的結果，它結合個體的概述函數資訊

_

^*_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)

，以及整 體概似函數的資訊

( )

 。w 為加權數值，介於 0 到 1 (設定 w =0.1，表個人的資訊給較大的權重)。

i Total n





N 為一參數用以根據個人觀察值多寡來調整總體樣本之概似機率值的權重，

n

_i為個人觀 察值數目 (本研究

n

_i=8 樣本內)，

N

_Total是所有觀察值數目。因^*_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)

結合個體與全體概述 函 數 的 資 訊 ， 故 會 有 極 大 值 。 而 其

Hessian

_i 矩 陣 可 透 過 數 值 分 析 之 Broyden-Fletcher- Goldfarb-Shanno 法求之，亦可求得 的起始值_i

 

 。 i⁰

*_i

(

_i

X

_is

, y

_is

) 

_i

(

_i

X

_is

, y

_is

)

(1^w)

 ( )

 ^w

  

(1 ) *

1 1 1 1 1

Pr( , ) Pr( , )

i

isj Tota

isj

w w n

S J N S J N

is is i is is i

s j i s j

y j X y j X



  



    

   





  



  ^(A-17) where 



ⁿⁱN_Total

N

_Total

 

_i^N_1

n

_i

在文檔中 貝氏統計於選擇式聯合分析法之個人與市場區隔參數之推論 (頁 22-25)