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陸、 延伸討論
前述「正四面體」的研究就到一段落，而我們對於同屬柏拉圖多面體的「正六面體」與
「正八面體」也感到好奇，其中前者底圖為方形網格，後者為三角網格，將之分別按照遊戲 規則操作，並開始了我們以下的研究。
一、 正六面體
對於「正六面體」，發現其與正四面體最大的差異在於正 六面體在方形網格上滾動時，其滾動方向將不會有任何限制，
即在任何位置皆可選擇上、下、左、右滾動，如圖 6-1-1。
(一) 正六面體在考慮回黏條件下的最小有解之底圖尺寸
在研究過程中，我們發現若底圖網格為2 × 3時即有解，且在不斷嘗試中目前 以15步為解題之最少步數，以下就15步之滾動路徑作說明。
○
1○
2○
3○
4圖 6-1-1
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(二) 正六面體在任兩方格間最少滾動步數(距離) 1. 單純考慮任兩方格間滾動步數
由於正六面體的滾動方向不受限制，故任兩方格𝑃(𝑥1, 𝑦1)、𝑄(𝑥2, 𝑦2)距 離，即𝑃𝑄̅̅̅̅ = ∆𝑥 + ∆𝑦，其中∆𝑥 = |𝑥2− 𝑥1|、∆𝑦 = |𝑦2− 𝑦1|，不過此結果無法 確認滾動至𝑄時正六面體為哪一面朝下，將由下列兩點繼續討論。
2. 需特定面朝下之兩方格滾動步數
當任兩方格分別為𝑃(𝑥1, 𝑦1)、𝑄(𝑥2, 𝑦2)，並令∆𝑥 = |𝑥2− 𝑥1|, ∆𝑦 = |𝑦2 − 𝑦1|，以下皆由𝑃點滾至𝑄點來說明，並將正六面體六面分別標上
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹，其中𝐴對面為𝐹、𝐵對面為𝐸、𝐶對面為𝐷。
當(∆𝑥, ∆𝑦) = (2,4)時，由𝑃滾至𝑄的最短路徑共有 15種，如圖 6-1-2，當正六面體滾至𝑄時，其各面朝下 與路徑數統計如下表，其中包含各面朝下的 6 種情形。
3. 需特定兩面分別朝前及朝下之兩方格滾動步數 承 2，若考慮正六面體朝下及朝前的面，則 共有24種組合。當(∆𝑥, ∆𝑦) = (4,5)時，如圖 6-1-3，由𝑃滾至𝑄最短路徑的126種中，即包含前述 的 24 種組合。
綜合上述 1、2、3，整理為以下性質：
性質 3 已知𝑃(𝑥1, 𝑦1)、𝑄(𝑥2, 𝑦2)，並令∆𝑥 = |𝑥2− 𝑥1|、∆𝑦 = |𝑦2− 𝑦1|。
若由𝑃滾至𝑄且以最短路徑滾動，即𝑃𝑄̅̅̅̅ = ∆𝑥 + ∆𝑦，則：
○1 當∆𝑥, ∆𝑦 ≥ 2且∆𝑥 × ∆𝑦 ≥ 8時，正六面體可任意指定面朝下。
○2 當∆𝑥, ∆𝑦 ≥ 4且∆𝑥 × ∆𝑦 ≥ 20時，正六面體可任意指定兩面分別朝前及朝下。
朝下面 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑭 路徑數 5 2 2 1 1 4
圖 6-1-3 圖 6-1-2
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由此可知，若正六面體及六塊色漆的初始位置兩兩之間皆符合性質 3 的○1 時，則其 最短路徑即七點的最短路徑(前述定理 3-2 即五點的最短路徑)；若其中有一段以上的路 徑不符合性質 3 的○1 時，則需再考量各路徑是否符合性質 3 的○2 ，由於此情形較為複雜 且篇幅有限，故在此不再做更詳細的討論。
二、 正八面體
對於「正八面體」的研究，由於底圖與正四面體同為三角網格，其於「△」、「▽」
上可滾動的方向亦與正四面體相同，因此我們依此特性繼續往下探討
。
⚫ 正八面體色漆初始位置與有無解關係
正多面體的各面與底圖網格是否有對應關係一直是此篇研究的重點，在探討正 八面體時，使用研究正四面體的方法，將其各面依序標上𝐴至𝐻，如圖 6-2-1。
如圖 6-2-2 為由底圖擷取的部分三角網格，若將圖 6-2-1 與 6-2-2 的紅色頂點重 合，並依順時針方向滾動正八面體，則可發現「𝐴, 𝐸」兩面只會與「△」接觸，
「𝐵, 𝐻」兩面則只會與「▽」接觸，如圖 6-2-2 所標示，將此結果延伸至整個底圖 網格，可完整推論出正八面體各面與網格的對應關係為「𝐴, 𝐶, 𝐸, 𝐺」對應「△」，
「𝐵, 𝐷, 𝐹, 𝐻」對應「▽」。
圖 6-2-1 圖 6-2-2
按照上述結果，正八面體的有無解情形可由以下來描述：
定理 4 當遊戲滿足下列所有情形時，則此題有解，反之則無解。
○1 「正八面體」位於任意位置。
○2 「八塊色漆」恰分別落在4個「△」及4個「▽」上。
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正八面體的研究到此，其滾動路徑及規律雖與正四面體相似，但因面數較多且各面與網 格並無一一對應關係，故無繼續進行最短路徑長的計算，本篇作品便也在此結束，以下將
「正四面體、正六面體、正八面體」的所有研究結果統整為結論。