2.1 半導體雷射操作原理
2.1.2 雷射的臨界條件
半導體雷射又稱做雷射二極體，類似於一般的發光二極體是透過導電帶的電 子與價電帶再主動層復合(recombination)，自發性發光(Spontaneous emission)產生 光子(photon)。而不同於一般發光二極體的地方，雷射必須有四大要件才能夠形 成雷射。分別為：（1）增益介質(gain medium)（2）幫浦系統(pumping system)（3）
光學共振腔（4）輸出耦合。除了少部分的光材料吸收外，大部分光子在共振腔 內中來回反射傳播，產生受激吸收(Stimulated absorption)和受激放射(Stimulated emission)激發其他電子電洞對復合產生產生同調(Coherent)的光子，如圖 2.3 所示，
新生成的光子會與入射光子有相同的頻率與方向，當累積足夠多的電子電洞，光 子可以不斷地激發新的光子克服吸收和損耗及產生雷射。
圖二.3 兩能階模型與載子三種交換作用圖
在熱平衡條件下，𝑛 × 𝑝 = 𝑛𝑖2，其中 n 為電子濃度，p 為電洞濃度，ni為本 質半導體的濃度。為了克服半導體內散射和吸收所造成的損耗，需要導電帶上的 電子數目大於價電帶上面的電子數目而產生居量反轉(Popμlation inversion)n × p > 𝑛𝑖2，使得有足夠的載子產生受激放射以克服損耗。為了方便描述電子電洞的 濃度，我們在此引入了非平衡的費米能階，𝑓𝑐 𝐸𝑐 和𝑓𝑣 𝐸𝑣 ，居量反轉為導電帶 上的電子數目𝑓𝑐 𝐸𝑐 大於價電帶上的電子數目 𝑓𝑣 𝐸𝑣 。𝑓𝑐 𝐸𝑐 > 𝑓𝑣 𝐸𝑣 ，然而居量 反轉在半導體中需要遵 Fermi-Dirac 分布：
𝑓𝑐 𝐸𝑐 = 1
1+𝑒𝑥𝑝 𝐸𝑐−𝐹𝑐 /𝑘𝐵𝑇 (2.10)
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𝑓𝑣 𝐸𝑣 = 1
1+𝑒𝑥𝑝 𝐸𝑣−𝐹𝑣 /𝑘𝐵𝑇 (2.11)
居量反轉必須滿足下列的不等式(2.12)，
𝐹𝑐 − 𝐹𝑣 ≥ 𝐸𝑐 − 𝐸𝑣 = 𝐸𝑔 (2.12) 上面不等式為電子和電洞的費米能階能量差大於或等於半導體中導電帶和價電 的能隙差距 𝐸𝑔 ，當等號情形發生時，雷射光共振腔裡面不會被放大也不會被吸 収，稱之為透明狀態（Transparency condition），此時的電流密度稱為透明載子濃 度（Transparency carrier density），此時我們將其增益視為零。因此我們可以瞭解 當半導體雷射主動層中注入越多的載子後，準費米能階會分裂成 𝐹𝑐和𝐹𝑣，當注入 的載子越來越多， 𝐹𝑐和𝐹𝑣就分別越往 𝐸𝑐 和𝐸𝑣移動，當準費米能階之間的能量差 大於能隙時，半導體會開始有增益的能力，當雷射的增益和損耗平衡時，雷射就 可以穩定的操作，圖 2.4 為量子點雷射基態和激發態能階圖。
圖二.4 量子點雷射基態和激發態能階圖
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當雷射光在共振腔內來回震盪時，我們假設其強度為Φ，雷射光的強度會因 為材料內部的吸收而產生衰減， α 為吸收係數（absorption coefficient），雷射光 從鏡面射出時也會造成共振腔內的光強度衰減，我們利用 𝛼𝑖來表示雷射光在共 振腔內的總損耗， 𝛼𝑚來代表從鏡面射出的鏡面損耗。當半導體發生居量反轉時，
由於受激放射大量產生，所以雷射內部的吸收係數 α 從正號變成負號。為了方便 描述光吸收（light absorption）和受激放射所產生的光放大（light amplification），
我們在這裡定義光增益係數（Optical gain coefficient），Ｇ。
現在我們考慮一個 Fabry-perot 共振腔，如圖 2.5 所示，左右兩邊𝑅1 及 𝑅2 為 自然劈裂鏡面的反射率，可以直接利用材料折射率計算，如式(2.13)，其中 nr為 等效折射率。
𝑅1 = 𝑅2 = 𝑛𝑟−1
𝑛𝑟+1 2
(2.13)
現在我們假射光從左邊的鏡面往右邊的鏡面傳遞，光在左邊鏡面時的原始強度為 Φ0，當光經由 L 的長度前進至右邊鏡面時，強度變為 Φ0𝑒𝑥𝑝 𝐺 − 𝛼𝑖 𝐿 ，光打 到右邊反射率為 𝑅2 的鏡面反射後，其光準備開始往左邊的鏡面傳遞，強度改變 為𝑅2Φ0𝑒𝑥𝑝 𝐺 − 𝛼𝑖 𝐿 ，經過 L 的距離後回到左邊鏡面起始的位置，強度變為 𝑅2Φ0𝑒𝑥𝑝 2 𝐺 − 𝛼𝑖 𝐿 ，當光受到左邊鏡面反射回到共振腔內時，強度變更為 𝑅1𝑅2Φ0𝑒𝑥𝑝 2 𝐺 − 𝛼𝑖 𝐿 ，以此類推。我們知道當雷射在穩定操作的情況下，左 右來回一次鏡面後的強度要和原是強度一樣，如(2.14)式。
Φ0 = 𝑅1𝑅2Φ0𝑒𝑥𝑝 2 𝐺 − 𝛼𝑖 𝐿 (2.14) 利用(2.14)式，我們可以推導出(2.15)式。
𝐺𝑡 = 𝛼𝑖+ 1
2𝐿ln 1
𝑅1𝑅2 = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑚 (2.15) 𝐺𝑡 為閾值增益（threshold gain），當 𝐺𝑡 產生時的電流密度我們為閾值電流密度
（threshold Current density）。我們更進一步的考慮載子和光的作用，這裡定義一
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個新參數Γ，光學侷限因子 (optical confinement factor)，Γ 為居量反轉造成的載 子所佔的體積 𝑉𝑛 除以光強度在共振腔內所佔的體積 𝑉𝑝，式(2.16)。
不同的橫向光學模態（transverse optical mode）和主動層會有不同的重疊方式，
所以閾值增益 𝐺𝑡 要乘以Γ 才是真實的增益，Γ𝐺𝑡 為模態增益（modal gain）。
Γ =𝑉𝑛
𝑉𝑝 (2.16)
Γ𝐺𝑡 = Γ 𝛼𝑖+ 1
2𝐿ln 1
𝑅1𝑅2 (2.17)
圖二.5 光強度在 Fabry-perot 共振腔中變化的情形
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