電腦化適性測驗一般可分為兩大類：一類是以試題反應理論（item response
theory, IRT）為基礎，另一類則是以知識結構或試題結構為基礎的順序理論
（ordering theory, OT）。以試題反應理論為基礎的電腦化適性測驗，施測後，受 試者的成績為一「能力值」或「量尺分數」，較適用於教育資源分配情境（郭伯 臣等，2005）。數學領域中，概念與概念之間具有階層性、結構性與順序性，且 本研究之重點為結合行動載具，有效找出學習者的學習困難，因此較接近第二類 電腦適性測驗之意涵。本節以順序理論為主，探討其原理及相關應用。
一、順序理論
Airasian 與 Bart 於 1973 年所提出的順序理論（ordering theory），能提供試題 或概念間的順序及階層。Perkins 與 Brutten 認為，順序理論是一組用來決定某一 技能或能力是否為學習其它更高階技能或能力時的「先備條件」（prerequisite）之 程序（引自余民寧、陳嘉成，1998）。在順序理論中，所有的題目皆為二元計分，
也就是說只有答對（以 1 表示）和答錯（以 0 表示）兩種可能，於是兩個試題之 間的反應組合有（0, 0）、（0, 1）、（1, 0）及（1, 1） 共四種。
表 2-4-1 試題 i 和試題 j 的答題人數之列聯表
資料來源：“次序理論分析取向的等量公理概念結構探討”（頁 7），
林原宏、陳紹銘（民 95）。
表 2-4-1 為試題 i 和試題 j 的答題人數之列聯表，其中 Bart 與 Krus（1973）
將（0, 1）稱為不確定（disconfirmatory）的反應組型。
二、順序理論之分析步驟
(一) 計算順序性係數
定義試題 i 為試題 j 的先備條件（i→j）的次序性係數 rij為：
rij = n01/n （公式 1）
公式 1 中的 rij介於 0 與 1 之間，若 rij愈小，則表示愈符合假設，即試題 i 為試題 j 的先備條件。
(二) 計算階層關係
Airasian 與 Bart（1973）提出以容忍水準ε（建議介於 0 與 0.2 之間），也就 是定義容忍範圍的數值。階層的決定，如公式 2：
1 , rij ＜ε
Rij = （公式 2）
0 , rij ≧ε
將第一步驟的 rij與ε比較後，可決定 Rij之值。Bart 與 Krus（1973）針對十 五位受試者測試在十二種情境之下內心的不安程度，完成第一步驟後，得到 的結果如表 2-4-2。
表 2-4-2 15 位受試者在 12 個題目的反應資料
Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 row totals Subject1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 10 Subject2 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 9 Subject3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 10 Subject4 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 4
Subject5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 6 Subject6 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 Subject7 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 9 Subject8 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 5 Subject9 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 5 Subject10 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 5 Subject11 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 6 Subject12 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 7 Subject13 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 8 Subject14 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 8 Subject15 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 8
column
totals 7 13 8 11 7 0 13 6 9 13 9 15 資料來源："An ordering-theoretic method to determine hierarchies among
items.", Bart & Krus (1973). Educational and psychological measureement ， 33，
296。
(三) 繪製順序階層圖
當 rij 小於ε時，Rij = 1，表示試題 i 為試題 j 的先備條件（i→j 成立），將試題
i 與試題 j 以一線段相連，並將試題 j 由階層 k 提昇至階層 k+1（k = 1,2,3…）。 反之則表示試題 i 不為試題 j 的先備條件，不必以線段連結。圖 2-4-1（引自 林原宏、陳紹銘，2006）是 Bart 與 Krus（1973）根據表 2-4-2 所繪製出來的 順序階層圖。
圖 2-4-1 順序階層圖（Bart & Krus, 1973).
三、順序理論之相關應用
順序理論發展之初，主要應用於 J. Piaget 認知發展理論的發展階段之探討，
Bart 與 Mertens（1979）應用於認知發展之形式操作期（formal operative period）
的基模（scheme）之階層結構。該研究顯示在同一基模內的某些試題是等價的
（equivalent），雖然反應組型不同，但可發現形式操作期的基模階層結構之特徵。
Bart、Frey 與 Baxter（1979）利用次序理論比較不同背景受試者的形式操作期之 基模階層結構差異，發現其基模階層結構存在共同的特徵。Airasian、Bart 與
Greaney（1975）以次序理論分析形式操作期學生的命題邏輯（propositional logic）
之階層結構。Bart 與 Airasian（1974）以次序理論分析具體操作期（concrete operative
period）和形式操作期的次序性關係，研究結果支持具體操作期為形式操作期先 備條件之論點。
近年郭伯臣等（2005）比較了四種以結構理論為基礎的適性測驗演算法成 效，實驗結果顯示以試題順序理論的適性測驗演算法在節省試題和預測精確度兩 方 面 都 有 最 佳 的 表 現 。 在 傳 統 教 學 中 ， 教 師 依 照 自 己 的 經 驗 做 教 學 分 析
（instructional analysis），以擬定教學活動的前後順序，但這只是教師直覺式的建 構，未必符合學生發展的實際需求。順序理論除了能夠用來分析概念間的階層 性，余民寧、陳嘉成（1998）認為亦可透過順序理論，分析每個學習作業間的最 佳學習次序，將可以提供教師一個更客觀的教學參照與評量根據。