微分是一種瞬時變化率的概念。例如在物理的運動學中，考慮位置的變化率，就是速 度。而如果進一步考慮速度的變化率，就是加速度。這也就是說，我們有求出「導函數的 導函數」的實際需求。如果S(t )是一個位置函數，則其導函數v(t )= S′(t )就是速度函數。
而速度函數的導函數 a(t )= v′(t )，即是加速度函數。
定義 4.3.1 二階導函數
若g (x)為 f (x)的導函數，即 f′(x)= g(x)，且h(x)為g (x)的導函數，即g′(x)= h(x)， 則稱h(x)為 f (x)的二階導函數。符號上記作h(x)=(f′(x))′= f′′(x)，或者 d2y
dx2。 初學者對於二階導函數的萊布尼茲記號 d2y
dx2 較易感到困惑。在一階導函數的記號
dy
dx 中，我們可以視之為 d
dxy。就是說，有一個運算子 ( operator ) 作用在 y 上面，這 是一個微分運算子 ( differential operator )。例如要對 x4− 5x2+ 2x + 3 求導，可以寫成 (x4−5x2+2x +3)′= 4x3−10x +2，也可寫成 d
dx(x4−5x2+2x +3) = 4x3−10x +2。二階導函 數就是對一階導函數再求導的結果，所以是 d
dx
(dy
dx
)= d2y
dx2。 以此類推，又可以繼續寫更高階的導函數，符號整理如下：
一階導函數 y′ f′(x) dy
dx
d
dx[ f (x)] Dxy Dxf (x) 二階導函數 y′′ f′′(x) d
2y dx2
d2
dx2[ f (x)] D2xy D2xf (x) 三階導函數 y′′′ f′′′(x) d3y
dx3
d3
dx3[ f (x)] D3xy D3xf (x) 四階導函數 y(4) f(4)(x) d
4y dx4
d4
dx4[ f (x)] D4xy D4xf (x) ...
n 階導函數 y(n) f(n)(x) d
ny dxn
dn
dxn[ f (x)] Dnxy Dnxf (x)
函數y= f (x) = x5− 3x4+ 2x3− 7x2+ x + π，求 f (x)的三階導函數。
解
f′(x)= dy
dx = 5x4− 12x3+ 6x2− 14x + 1 f′′(x)= d2y
dx2= 20x3− 36x2+ 12x − 14 f′′′(x)= d3y
dx3= 60x2− 72x + 12 例題 4.31
微分的應用
伽利略
這本龐大的書 (我指的是宇宙) 中寫了自 然哲學，它一直敞開在我們的眼前，但 不首先學會理解它的語言，並識別它書 寫所用的字符，是不能讀懂它的，它是 用數學的語言寫的。
5.1 求切線與法線
欲寫出直線方程式，只要我們得知其斜率與其中所過一點，便可以寫出來。我們既然 已經學過微分求切線斜率，那麼只要再搭配一個點，就可以寫出切線方程，於是也能順便 求出法線方程式。
性質 5.1.1
若函數 f (x)在x= a處可導，點P(
a, f (a))
為其圖形上一點，則以P 點為切點的切 線方程式為
y− f (a) = f′(a)(x− a) 若 f′(a),0，則法線方程式為
y− f (a) = − 1
f′(a)(x− a) 若 f′(a)= 0，則法線方程式為
x= a
note
1. 在x= a處可導，表示 f′(a)存在，即曲線在P 點有非鉛直的切線，其切線斜 率為 f′(a)。
2. 互相垂直的兩條斜直線，兩者斜率互相倒數並差負號。因此只要 f′(a)不為0， 法線斜率就是− 1
f′(a)。而若 f′(a)= 0，即 y= f (x)在x= a處有水平切線，則 法線為鉛直線。
函數 f (x)=px，求其圖形在(4, 2)處的切線及法線方程式。
解
先求導函數 f′(x)= 1
2p
x，代入
x= 4 得到 f′(4)= 1
4，因此切線 方程式為
y− 2 =1 4(x− 4) 法線方程式為
y− 2 = −4(x − 4)
y = √ x y − 2 = 14(x − 4)
y − 2 = −4(x − 4) (4, 2) 例題 5.11
自拋物線y= x2− 2x + 2外一點 A(−1,1)作切線，求切線方程式。
解
函數 f (x)= x2− 2x + 2，設切點P (t , t2− 2t + 2) 則在P 點處切線斜率為 f′(t )= 2t − 2，
在P 點處切線方程式y− (t2− 2t + 2) = (2t − 2)(x − t)
A在此切線上，將A(−1,1)代入 ⇒ 1 − (t2− 2t + 2) = (2t − 2)(−1 − t) ⇒ t = 1or − 3 故切線方程式為y− 1 = 0ory− 17 = −8(x + 3)。
例題 5.12
note
A(−1,1)並不在拋物線上，所以不可將−1代入 f′(x)，須設切點再代切點的x坐標。
求y= x3− 3x與 y= x3− 3x + 32之公切線方程式。
解
兩個函數的導函數皆為 y′= 3x2− 3
設兩切點(x1, y1), (x2, y2)分別在y= x3− 3x與y= x3− 3x + 32 因兩點在同一切線上，故3x12− 3 = 3x22− 3 ⇒ x2= −x1
⇒ y2= x23− 3x2+ 32 = −x31+ 3x1+ 32 = −y1+ 32 得到此關係後，代回斜率表示法
y1− y2
x1− x2= 3x12− 3
⇒ 2y1− 32
2x1 =x31− 3x1− 16
x1 = 3x21− 3
⇒ 2x13= −16 ⇒ x1= −2 ⇒ y1= −2 故所求為 y+ 2 = 9(x + 2)。
例題 5.13
鉛直切線，也可以藉由求導來找出，方式如下。
性質 5.1.2 鉛直切線
若函數 f (x)在x= a處連續，且滿足
x→alim¯¯f′(x)¯¯=∞
則其圖形在(a, f (a))有鉛直切線x= a。
找出函數 f (x)= p
x圖形的鉛直切線。
解
由導函數 f′(x)=2p1
x，可看出 lim
x→0¯¯f′(x)¯¯ = lim
x→0
¯¯¯¯
¯ 1 2p
x
¯¯¯¯
¯ = ∞，故鉛直切線為x= 0。 這是唯一的鉛直切線，因為若x0> 0，則 lim
x→x0
1 2p
x =2p1 x0
都是有限的值。
例題 5.14
5.2 函數的單調性
微分學雖來自切線斜率問題，但它並不只是單純用在求切線上。其中一個直接的應 用就是分析函數的單調性，也就是遞增或遞減。
定理 5.2.1 函數的單調性
若函數f (x)在[a, b]上連續，且在(a, b)恆有 f′(x)> 0，則 f (x)在[a, b]上嚴格遞增。
這件事還挺直觀的，導數即瞬時變化率，如果在一個區間上導數恆正，就是變化率始 終是正的，其趨勢是一直在增加，便為嚴格遞增。
嚴 格 證 明 須 用 到 大 學 才 學的定理，故 這 裡 使 用 直 觀說明。
然而，開區間(a, b)上 f′(x)> 0，為什麼不是只能保證 f (x)在(a, b)上嚴格遞增，而 是保證在更大一點點的區間 [a, b]上嚴格遞增呢？舉 y= x3 為例，其導函數 y′= 3x2在 x,0處皆正，但它在整個實數上都是嚴格遞增的，無須去掉x= 0這一點。粗略地解釋當 中緣由，變化率只有在x= 0為0，就是說它幾乎一直在增加，只是那麼一瞬之間變化率 為0。例如我們可以取x= 0和x= 0.001來看，y= x3雖在x= 0導數為0，但在 x= 0和
x= 0.001之間，它還是爬升了，因此在x= 0.001處的函數值，還是比較大。
函數 f (x)= 3x4− 4x3− 12x2+ 5在哪些區間嚴格遞增？在哪些區間嚴格遞 減？
解
導函數 f′(x)= 12x3− 12x2− 24x = 12x(x + 1)(x − 2) 故 f (x)在[2,∞)及[−1,0]嚴格遞增，
在[0, 2]及(−∞,−1]嚴格遞減。
−1 0 2
− +
− +
例題 5.21
證明函數 f (x)= x5+ 2x3+ x 無正根。
解
在x= 0處，f (0)= 0。導函數 f′(x)= 5x4+ 2x2+ 1 > 0恆成立，
故 f (x)在[0,∞)為嚴格遞增，則對於正數k，必有 f (k)> f (0) = 0，因此無正根。
例題 5.22
5.3 函數的凹凸性
為了更深刻了解函數的特性，除了分析函數的遞增遞減 外，還可進一步分析凹凸性。
比方說 y= x3，它處處皆是遞增，但在 x> 0處與x< 0 處⻑得就是不太一樣。若是作幾條切線來觀察，雖然切線斜 率總是正的，但在左半邊的切線斜率越來越小；右半邊的切 線斜率越來越大。關於右半邊的圖形特徵，我們可以用y= x2 來進行類比，右半邊就像y= x2一樣是往上凹的；至於左半 邊，它就像y= −x2一樣往下凹。因此，我們可以由切線斜率
的遞增遞減來定義凹凸性。 圖 5.1: 函數的凹凸性 定義 5.3.1 凹凸性
若可微函數 f (x)滿足 f′(x)在區間(a, b)上遞增，則 f (x)在(a, b)為凸 (convex)，或 稱為凹向上 (concave up)；若滿足 f′(x)在區間(a, b)上遞減，則 f (x)在(a, b)為凹 (concave)，或稱為凹向下 (concave down)。
我們已學過利用導數的正負號來看遞增遞減，所以定義又可寫成：
定義 5.3.2 凹凸性
若二次可微函數 f (x)在區間(a, b)上恆有 f′′(x)≥ 0，則 f (x)在(a, b)為凸，或稱為 凹向上；若在區間(a, b)上恆有 f′′(x)≤ 0，則 f (x)在(a, b)為凹，或稱為凹向下。
研究這些，就是為了幫助我們了解函數圖形的特性，讓我們對於函數有比較深刻的 了解。我們又想知道函數的凹凸性在何處發生改變，於是有了反曲點的概念。
定義 5.3.3 反曲點
若函數 f (x)在x= a處連續，且在x= a 的兩側凹凸性不同，則稱(a, f (a))為反曲 點，又稱為拐點。
以上面y= x3的例子來說，x= 0左右兩側的凹向性不同，所以(0, 0)就是y= x3的反 曲點。
除了分析二階導函數 f′′(x)的正負區間外，大家也常先找二階導數為0處，這的確好 用，但是這裡要糾正一下常見誤解。
性質 5.3.1
若(a, f (a))為函數 f (x)圖形的反曲點，則必有 f′′(a)= 0或 f′′(a)不存在。
(a, f (a)) 為函數 f (x) 圖形的反曲點，那麼在 x = a 的左右兩側的二階導數異號。
若 f′′(x)在x= a處連續，則必有 f′′(a)= 0。但f′′(x)並不見得連續，所以也有可能f′′(a) 不存在。我們來看看一個簡單的具體例子：
f (x)=
{ x2 , x≥ 0
−x2 , x< 0
則
f′(x)=
{ 2x , x≥ 0
−2x , x < 0 f′′(x)=
2 , x≥ 0
−2 , x < 0
, x= 0
f′′(x)在x= 0處是跳躍間斷點，其左右兩側的二階導數分別正與負，然而在x= 0處本身 卻不存在二階導數。另外還有個更簡單的例子：y= x13，這個留給你自己檢驗！
note
高中教材往往是說：反曲點處的二階導數必為0。這樣說也不能算錯，因為高中談 的是多項式函數的微積分，而多項式函數必可微分無限多次，所以不必講二次導數 不存在的情況。但為了避免你觀念根深蒂固，帶入大學去，這裡還是要強調這一點。
note
反曲點與二階導數為0，兩者是既不充分，也不必要。換句話說，反曲點並不必然 二階導數為0，這點如前所示；二階導數為0之處，亦不見得是反曲點，這可以舉 y= x4為例，明顯y′′(0)= 0，但左右兩側都是凸，(0, 0)並不是反曲點！
5.4 函數的極值
微分學一個相當重要的應用就是求極值，這在物理學、經濟學、工程、生物學及藥學 等等都有相關應用。比方說造一個固定容量的罐頭，我會想知道如何控制半徑與高最節 省材料；經濟學上有收益函數，我會想知道如何使利潤極大；物理的光學中，光折射走的 是所花時間最少的路徑。諸如以上問題，都是學過微積分的同學可以表演的場合。
定義 5.4.1 函數的最值
若k 為函數 f (x)定義域中的某一點，並且對函數定義域中任意一點x，恆滿足
f (k)≥ f (x)
則稱函數 f (x)在x= k 處取得最大值 f (k)。類似地，t 為 f (x)定義域中的某一點，
並且對函數定義域中任意一點x，恆滿足 f (t )≤ f (x) 則稱函數 f (x)在x= t 處取得最小值 f (t )。
實用上，許多對象都是連續函數，又經常有個範圍限制。若範圍是個閉區間，連續函 數有個很方便的定理讓我們知道一定有最大最小值：
定理 5.4.1
Weierst ass
最值存在定理如果函數y= f (x)在閉區間[a, b]上連續，則函數 f (x)在此區間上存在最大值與最
小值。
閉區間這個前提是重要的，例如 f (x)= x 在開區間(0, 1)上並沒有最大最小值；函數 要連續也是重要的，例如 f (x)=1
x 在[−1,1]上沒有最大最小值，這就是因為 f (x)=1
x 並
沒有在[−1,1]上連續。
1
−1
y= 1x
1
−1
note
在介紹函數的連續性時，曾提到連續性是重要的課題，函數的連續性會影響到許多 性質與定理的成立與否，這裡便是一例。
定義 5.4.2 函數的極值
若k 為函數 f (x)定義域中的某一點，並且對函數定義域中 x= k 附近 任意一點x，
恆滿足
f (k)≥ f (x)
則稱函數 f (x)在x= k 處取得極大值 f (k)。類似地，t 為 f (x)定義域中的某一點，
並且對函數定義域中x= t 附近 任意一點 x，恆滿足 f (t )≤ f (x) 則稱函數 f (x)在x= t 處取得極小值 f (t )。
目前我們區分了最值與極值。最大值，又可稱為 絕對極大值 ( absolute maximum )，
它是全域最大的函數值；極大值，又可稱為 局部極大值 ( local maximum ) 或相對極大值 ( relative maximum )，它僅是其附近來說較大的，但可能不是在全域中最大。
定理 5.4.2 費馬極值定理
a 為函數 f (x)定義域中的內點，若函數 f (x)在x= a 處取得極值，並且在x= a處
可導，則必有 f′(a)= 0。
note
1. 對於定義域的內點a，若是 f′(a)正或負，表示函數在x= a處嚴格遞增或嚴格 遞減，那就不會是極值。
2. 請注意敘述邏輯，不可反過來說，若 f′(a)= 0則在該處取得極值。例如下圖 左，函數 f (x)= x3，f′(0)= 0，但x= 0處並非極值。
3. 說 f′(a)= 0，那是在 f (x)於x= a處可導的前提下，也有可能該點是不可導的。
例如 f (x)= |x|，在x= 0處有極小值，但 f′(0)不存在。
4. 若a 不是內點，而是邊界，便不成立。如下圖右，邊界x= −1及x= 1處。
1
−1 −1 1
有了費馬極值定理，我們可以找出存在極值的「嫌疑犯」：導數為0處、不可導處、邊 界，其中前兩者稱為 臨界點 (
critical point
)。但這些只是嫌疑犯，不見得就是極值，我們還 須要進一步檢定到底是不是極值。檢定的方法有三個，分別是一階檢定法、二階檢定法以 及代點檢定法。其中前兩個方法是正確的，而第三種是錯誤的。錯的我講來幹嘛？我不是 無聊，是提醒你避免此種常犯錯誤，很多人代 x= a的左右邊各一個點，都比 f (a)還小，就說 f (a)是極大值。a 附近的點有無限多個，你代有限個點不能說明什麼。
5.4.1 一階檢定法
若是函數 f (x)在x= a左方嚴格遞增、在x= a右方嚴格遞減。那麼顯然 f (x)在x= a 處取得極大值；若 f (x)在x= a 左方嚴格遞減增、在x= a 右方嚴格遞增減。那麼顯然
f (x)在x= a處取得極小值。而我們又學過利用導數的正負號來研究遞增遞減，因此我們
可以透過分析 f′(x)在x= a附近的正負，來確定是否極值、是極大還是極小。
定理 5.4.3
設c 為區間 I 的內點，函數 f 在區間 I 上連續且在I 上c 的附近可導（f 在c 本身 可以不可導），則
1. 若在c 的左側有 f′(x)< 0，在c 的右側有 f′(x)> 0，則 f (c)是 f (x)在I 上的 相對極小值。
2. 若在c 的左側有 f′(x)> 0，在c 的右側有 f′(x)< 0，則 f (c)是 f (x)在I 上的 相對極大值。
3. 若 f′(x)在c 的兩側同號，則 f (c)既不是極大值也不是極小值。
求函數 f (x)= x3− 3x2+ 1在[−2,3]上的最大最小值。
解
端點的函數值為 f (−2) = −19及 f (3)= 1 導函數 f′(x)= 3x2− 6x = 3x(x − 2) 故在x= 0處有極大值 f (0)= 1 x= 2處有極小值 f (2)= −3
因 f (−2) < f (2)，最小值為 f (−2) = −19，最大值為 f (0)= f (3)= 1。
0 2
− + +
例題 5.41
求函數 f (x)= |x|的極大極小值。
解 注意
f (x)= |x| =
{x , x≥ 0
−x , x < 0 ⇒ f′(x)=
{1 , x> 0
, x= 0
−1 , x < 0 故 f (x)在x= 0處有極小值 f (0)= 0。
例題 5.42
5.4.2 二階檢定法
對於一階導數為0處，若該點位於曲線凹向下的部分，則該點為極大；若位於凹向下 部分，該點為極小。如下圖所示。
而我們又學過以二階導數的正負號來判定凹凸性，於是就有了土尖原理：
定理 5.4.4 土尖原理
二次可導函數 f (x)滿足 f′(k)= 0，則
二次可導函數 f (x)滿足 f′(k)= 0，則