數值分析與結果

本章節為了測試本文 RQT+QST 殼元素的性能，先使用一個線性例題測試 RQT 元素的準確性與收斂性，而 QST 元素的線性分析在文獻[11]有詳細的 測試，故本文不再多加描述 QST 元素的性能。本章節亦使用多個幾何非線 性例題和挫屈例題測試本文 RQT+QST 元素的性能，並且與文獻

[6]DKT+QST 元素和文獻[4]、[24]DKT+OPT 元素的結果相互比較。本章節 最後測試了文獻[13]中聚酯圓柱薄殼受兩階段負荷作用的例題，並且跟文獻 [13]的實驗結果和文獻[5]、[13]的數值分析的結果相互比較。

4.1 RQT 元素線性分析

本例題考慮一個平面方形薄板分別受到中點集中力 P 與均勻分布力 作 用。文獻[16]中曾用此 RQT 分析此例題，本例題採用與文獻[16]相同形式的 網格及邊界條件來驗證本文程式的正確性及確認 RQT 元素的準確性。圖 4.1(a)為本例題的結構示意圖，圖 4.1(b)為本例題的網格示意圖，根據不同 網格形式，網格可以分為 Q type 和 T type。本例題考慮了兩種邊界條件：

簡支邊界(Simply supported boundary)與固定邊界(Clamped boundary)。因對 稱之故，與文獻[16]一樣本文分析時僅考慮左下角

q0

4

1 薄板，分析時的邊界條

件如下

簡支邊界的邊界條件：

0

w X 0,Y 0 0

,_x

w Y 0,X  L 0

,_y

w X 0,Y  L 0

,_xx 

w Y 0,X  (不包含L (L,L)) 0

,_xy 

w X  ,L Y  L 0

,_yy 

w X 0,Y  (不包含L (L,L)) 固定邊界的邊界條件：

0

w X 0,Y 0

0 ,_x

w X 0,Y 0,X  L 0

,_y

w X 0,Y 0,Y  L 0

,_xx 

w X 0,Y 0,X  (不包含L (L,L)) 0

,_xy 

w X 0,Y 0,X  ,L Y  L 0

,_yy 

w X 0,Y 0,Y  (不包含L (L,L))

本例題分析的結果文獻[16]的結果完全一樣，所以本文的程式應是正確的，

另外本文還用文獻[6]的 DKT 元素分析了本例題。表 4.1 至 4.4 為本文的結

果及文獻[16]、[22]的解析解。表 4.1 至 4.1 中

) 1 ( 12 ²

3



 Eh

D ，W_C為中點C的 側向位移，表中的百分誤差是相對於解析解的誤差。表 4.1、4.2 分別是簡 支板受到中點集中力及分佈力的無因次化C點側向位移，表 4.3、4.4 分別

4.4 可以看出在本例題，不管是 RQT 元素或是 DKT 元素，使用 Q type 的網 格在收斂性上是優於 P type 的網格，而 RQT 元素的收斂速度也是遠大於 DKT 元素。

4.2 RQT+QST 殼元素的幾何非線性與挫屈分析 例題一：圓柱殼片段受集中力作用

本例題為一個圓柱殼片段受到單點集中力作用。圖 4.2(a)及圖 4.1(b)為圓柱 殼片段的幾何形狀及受到集中力之示意圖。圓柱殼片段 AD 和BC兩邊為鉸 接， AB 和DC兩邊為自由端，結構 E 點受到集中力負荷，其邊界條件設定 為：AD和BC兩邊U V W _x _y 0。本例題使用的網格為10 ，10 容許誤差值取 。圖4.3是本例題的平衡路徑圖，其中包含主要路徑及次 要路徑。在主要路徑分析過程中使用了 個增量，每個增量平均迭代次數 為 4 次。在次要路徑分析過程中使用了 個增量，每個增量平均迭代次數 約為

4

10

27 21 5

~

4 次。在主要路徑上偵測到的挫屈負荷F_cr 530.803，此時 E 點向 下位移9 mm。由圖4.3 可以得知，本文的結果與文獻[23]相當吻合，故 本文的數值程序可以準確的找出主要平衡路徑、分歧點及次要路徑。

783 .

例題二：槽型梁受扭矩(Channel section in torsion)

圖4.4(a)、4.4(b)為槽型梁受力和網格示意圖，結構線段 AB、BC、CD和 EF 、

FG、GI 為鉸接，結構J、K 點受到集中力負荷，線段 AB、BC、CD和 EF 、 FG、GI 受到均勻力負荷，其邊界條件為：在 M 點的U 0， B 、 點的F

0

V ，線段BC及FG的W 0。本例題使用(121)20和(242)40兩 種網格，取用的容許誤差為 。表4.1為本文和文獻[4]、[6] 使用相同網 格偵測到極限點的結果，由表中的結果可發現本文的結果與文獻的結果相 當接近。本例題如果在迭代過程中加入幾何剛度，則會造成迭代難以收斂，

並且無法求出完整的平衡路徑，圖4.5為網格

5

10

20 ) 1 1

( 2  、(242)40使 用當前位置的線性剛度迭代所求出的位移-負荷曲線圖，由圖4.5可以發現 本文的結果與文獻[6]的結果較接近，與文獻[4]的結果有相當的差距。

例題三：受均勻壓縮位移之簡支板(Simply supported compressed plate)

圖4.6(a)、4.6(b)為受均勻壓縮位移之簡支板及網格示意圖，結構線段AB、

BC、CD及AD 為簡支端，結構線段 AD 及BC受到均勻位移負荷 ，其邊 界條件為：在線段AB及CD的W _y _z 0，線段BC及AD的

0

x 



W  _z ， A點的V 0。本例題使用4 、6 4 10 、612和820四 種網格，取用的容許誤差為 。表4.6為本文和文獻[4]、[6]的挫屈負荷。

本例題在網格4

5

10

 的分析過程中使用了6 16個增量，每個增量平均迭代次數 為 2 次，偵測到的挫屈負荷為61.8281，在網格4 的分析過程中使用了10 13 個增量，每個增量平均迭代次數為 2 次，偵測到的挫屈負荷為58.6947，在

網格 的分析過程中使用了11個增量，每個增量平均迭代次數為 次，

偵測到的挫屈負荷為 ，在網格

12

6 2

4172 .

58 820的分析過程中使用了 個增量，

每個增量平均迭代次數為 2 次，偵測到的挫屈負荷為 。使用網格 分析，並且在偵測到分歧點後給予模態擾動即可進入次要路徑。在次 要路徑的分析過程中使用了18個增量，每個增量的平均迭代次數為 次，

圖4.7為點

8 8975

. 57 0

2 8

2

E 、 AD 線段的位移-負荷曲線，圖中之反力為垂直 AD 邊的全部 反力。圖4.8為本例題在平衡路徑圖 4.7上對應點 I 、J、 K 之側向位移場 的等高線圖， I 、J 、 K 點對應的及W_E分別為( 0.596 W_E 0.223)、

( 3.069 W_E 5.142)、( 10 W_E 9.017)。

例題四： 槽型梁受均勻位移負荷之側向扭轉挫屈(Lateral torsional buckling)

圖4.9(a)、4.9(b)為槽型梁受到均勻位移負荷及網格示意圖，圖中結構線段

BC及CD為固定端，結構線段 、FG及GI

AB、 EF 受到均勻軸向位移負荷

，除了軸向位移外，其它位移、旋轉都受到拘束，其邊界條件為：在線段

EF、FG及GI 的 V W _x _y _z 0，固定端線段AB、BC及CD的

0







W

V

U _x _y _z ，沿線段AB、BC、CD、EF、FG及GI 方向 的正應變為0。本例題使用(222)14和(444)60兩種網格，取用 的容許誤差為 。表4.7為本文在不同網格和文獻[4]、[6]的挫屈負荷。本

例題在網格 的分析過程中使用了12 個增量，每個增量平均迭

10^4

2

 2)14 2

(

代次數為1次，偵測到的挫屈負荷為 ，在網格 的分析 過程中使用了12 個增量，每個增量平均迭代次數為1次，偵測到的挫屈負荷

為 。本文RQT+QST結果與DKT+QST[6]的結果很接近，但與文獻[4]

的結果有一些差異。

16 .

2921 (444)60

65 . 2965

例題五：T形斷面梁受集中側力(Transversally loaded T profile)

圖4.10(a)及圖4.10(b)為T形斷面梁受到集中力負荷之示意圖和網格分割示意

圖，結構線段 AB 、CD和 EF 、GI 為絞接，結構J點受到集中力負荷，其 邊界條件設定為：C點的V 0，線段CD、GI 的U W 0，線段 AB 及 EF 的W 0，線段CD及GI 沿線段方向的正應變為0。本例題使用

、(3 和(5 20

(224) 35)30 58)50三種網格，取用的容許誤差 為 。表4.8是本例題在不相同網格下，本文RQT+QST、DKT+OPT[22]

和DKT+QST[6]元素的挫屈負荷。本例題在網格

10^4

20 4) 2

(2  的分析過程中 使用了7個增量，每個增量平均迭代次數為 2 次，偵測到的挫屈負荷為

，在網格(3 19

.

2899 35)30的分析過程中使用了7個增量，每個增量平 均迭代次數為 2 次，偵測到的挫屈負荷為2908.74，在網格(558) 50

2

 的 分析過程中使用了7個增量，每個增量平均迭代次數為 次，偵測到的挫屈 負荷為2857.16。使用網格(335)30分析，並且在偵測到分歧點後將模 態當擾動位移，使其進入次要路徑。由圖4.11可發現，在次要路徑W_J、V_J的

UJ的變化較為明顯，由圖4.11亦可發現梁挫屈後的負荷先增加後再減少。

例題六：角型梁受軸向集中力(Angle section beam)

圖4.12為角型梁其受到集中力負荷之示意圖。角型梁前端為固定端，末端 為自由端，並且在自由端施加到一個單點的集中力，其邊界條件設定為：

線段BD及BF 的U V W _x _y _z 0，沿線段BD及BF方向的正應 變為0。本例題使用(22)25和(46)60兩種網格，取用的容許誤差為

。本例題在網格

10^4 (22)25 5

的分析過程中使用了10個增量，每個增量平 均迭代次數為4~ 次。在網格(46)60的分析過程中使用了9個增量，每 個增量平均迭代次數為 4 次。圖4.13為Angle section beam之位移負荷曲線 圖，其中包含文獻[4]DKT+ALL、DKT+OPT元素和文獻[6]DKT+QST元素 及本文使用的RQT+QST 元素的結果，由圖可以看出把平面元素ALL換成 OPT元素時明顯影響了位移負荷曲線，把 OPT元素換成QST元素也稍微 影響位移負荷曲線，而把板元素DKT換成RQT 時，位移負荷曲線變化很 小，因此推測本例題使用不同平面元素會影響幾何非線性的平衡路徑，使 用DKT板元素或 RQT板元素則對曲線的影響較小。

例題七：懸臂圓柱殼受一對端點集中力(Pinched cantilever cylinder)

圖4.14為懸臂圓柱殼受集中力負荷及網格示意圖。圓柱殼前端為自由端，末 端為固定端，在Pinched cantilever cylinder上端及下端各受到一個單點的集

中力。由於結構為上下、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構來進 行分析，其邊界條件為：線段BC的W _x _y 0，線段AD的

0



 _{x z}

V   ，線段CD的U V W _x _y _z 0。本例題使用1616 的網格，取用的容許誤差為10^4。本例題在網格1616的分析過程中使用了 個增量，每個增量平均迭代次數為7次。圖4.15為本例題之位移-負荷曲 線圖，由圖4.15可見本文的結果與文獻[6]、[24]的結果非常接近。文獻[6]、 [24]與本文用的元素數及網格皆相同。

14

例題八：半球殼受到二對集中力(Pinched hemispherical shell)

圖4.16(a)、4.16(b)為半球殼受集中力負荷及網格示意圖。半球殼的頂端為固

定端、底端為自由端，在底端前後左右端各受到一個單點的集中力，由於 結構前後、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構進行分析，其邊界 條件為：在C點的U V W 0，在前後結構對稱處線段AC的

 0

 _{y z}

U    ，在左右結構對稱處線段BC之邊界條件為V _x _z 0。 本例題使用 的網格，總共276個元素，採用的容許誤差為 。本例 題在分析過程中使用了16個增量，每個增量平均迭代次數為3次。圖4.17為 半球殼之位移負荷曲線圖。由圖4.17可見本文的結果與文獻[6]、[22]的結果 非常相近。

12

12 10^4

例題九：聚酯圓柱薄殼受兩階段負荷作用

本例題為文獻[16]的實驗，實驗的流程詳見附錄A。圖4.18為聚酯圓柱薄殼 的示意圖。本例題第一階段的邊界條件設定為：

線段FG的V W _x _z _y w,_yy0 線段HI的U V W _x _z _y w,_yy 0

第一階段的位移負荷為：線段FG受到U 28.64787748、_y 的位移 負荷，線段HI受到_y 的位移負荷，其中為位移負荷參數。當到達

時進入第二階段。第二階段的邊界設定為：

349066 .

0

線段FG的U V W _x _y _z _y w,_yy 0 線段HI的U V W _x _y _z _y w,_yy 0

第二階段設定的力負荷為： E 點受到W ，其中為力負荷參數。本例 題使用3060的網格，第一階段採用的容許誤差為10^6，第二階段採用的 容許誤差為10^5。圖4.19為第一階段E點側向位移W 之負荷參數-位移圖，

本文得到的負荷參數-位移曲線幾乎與文獻[5]的曲線重合。圖4.20為第二階 段本文與文獻[5]、[13]數值分析以及文獻[13]實驗得到的

E

E 點側向位移-負荷

曲線圖。本文在第二階段 E 點向下位移 時找到第一個分歧點，在

曲線圖。本文在第二階段 E 點向下位移 時找到第一個分歧點，在

在文檔中 高階平面三角形殼元素之研究 (頁 47-57)