第三章 數值架構
3.2 數值差分式
本模式採用控制體積(control volume)法的觀念來離散控制方程式，控制 體積法的基本概念如圖3.1所示，其中(a)圖為實際區域，(b)圖為計算區域，
E、W、N、S 表相鄰格點，e、w、n、s 表控制面。在水理控制方程式中，
除了移流項採用一階精度混合型上風法(hybrid scheme)(Spalding 1972)差分 外，所有空間差分均採用二階精度的中央差分法。另外，時間項則採用簡
1 1 1 1
混合型上風法為上風法(upwind scheme)與中央差分法組合而成，當移 流效應重要時，採用上風法；移流效應不重要時，則採用中央差分法。至 於移流效應重要性的判斷，則採用格網雷諾數(mesh Reynolds number)
R
x、R
y
為了驗證本研究數值模式具有模擬上下游不同流況之能力，以下將分
模擬案例採用 Gharangik 和 Chaudhry(1991)的水躍試驗，試驗採用一水 平矩形渠道，長 14 m，寬 0.46 m。上游邊界條件為水深 0.064 m，流速 1.826 界條件相同。Gharangik 和 Chaudhry(1991)建議曼寧 n 值之範圍介於 0.008 至 0.011 之間，但經本研究測試結果得知，當曼寧 n 值為 0.015 時，模擬水
4.1.2 潰壩案例
本案例模擬一水平無摩擦之理想潰壩情況，並與 Stoker(1957)之解析解 比較。渠道長度為 3000 m，渠道寬度為 1250 m，壩址位置假設在渠道中央 移開後分別會形成一個向下游傳遞的正波
(positive wave)
及一個向上游傳遞的負波
(negative wave)
。此外，由於本模式在移流項的數值方法使用一階精度的上風法差分，因此模擬結果在不連續面處會產生數值消散
(numerical diffusion
)，誤差相對的變大。4.2 彎道
彎道中採用三組案例來驗證模式於不同流況模擬的能力，分別是
de Vriend(1977)
的亞臨界流案例、Knapp(1951)
的超臨界流案例及Ye(2006)
的超 亞臨界混合流流況案例。4.2.1 亞臨界流案例
寬為
1.7 m
，渠道中心線曲率半徑為4.25 m
，在彎道的出入口部分各連接長and Chaudhry,1995)
。Moll
和Chaudhry(1995)
與Lien(1999)
等建議以滑移邊 界作為急彎案例的模擬條件，模擬結果會比非滑移邊界條件好。本案例模擬採用
Knapp(1951)
之複合彎道，複合彎道是由三個定曲率半徑的彎道組成
(
如圖4.10)
，其中A
、C
段渠道中心線曲率半徑為15.24m
，蜿蜒角度 為7 4
；B
段渠道中心線曲率半徑為7.62m
，蜿蜒角度為39
°。底床縱向坡 度在上游直線段部分維持水平，在彎道內坡度為0.05
。° 5′
模擬參數設定上，格網數設定為
251 101 ×
，時間間隔為0.018
秒，曼寧福祿數為
1.24
的情況下，此不穩定的波動可能造成模擬上較大的模擬誤差 產生。另一方面，由圖4.15
可看出受到格網數大小與形狀的限制，對於實 際底床斜檻佈置方式(
角度、間距等)
，僅可用概略的方式建置網格，並無法 完全的與實際現象符合，這個原因亦會使模擬結果無法準確。圖4.17
為第 二個彎道模擬水位與實驗值比較圖，受到下游水位的抬升，使得第二個彎 道的流況由超臨界流轉換為亞臨界流，比較模擬結果在水躍的發生位置與 實驗值相比相當接近，而水深方面雖較實驗值為高，但大體上與試驗結果 接近。顯示本模式可針對彎道中超亞臨界混合流變化的情況進行模擬。Distance (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Depth (m)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
experiment simulation
圖
4.1
水躍案例模擬與試驗水位沿渠道中心線比較圖圖
4.2
潰壩案例初始條件示意圖Distance (m)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Depth (m)
0
exact solution simulation
圖
4.3
潰壩案例第20
秒水深狀態Distance (m)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Depth (m)
0
exact solution simulation
圖
4.4
潰壩案例第40
秒水深狀態Distance (m)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Velocity (m/s)
0
exact solution simulation
圖
4.5
潰壩案例第20
秒流速分佈圖Distance (m)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Velocity (m/s)
0
exact solution simulation
圖
4.6
潰壩案例第40
秒流速分佈圖6m
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ye and McCorquodale(1997)(3D)
S
outer
center
inner
圖
4.10 Knapp(1951)
案例模擬渠道示意圖Θ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
h/ho
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
experiment simulation
圖
4.11 Knapp(1951)
案例外岸模擬水位與實驗結果比較圖Θ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
h/ho
0.0 0.5 1.0 1.5
experiment simulation
圖
4.12 Knapp(1951)
案例內岸模擬水位與實驗結果比較圖Flow
0.00 m 70.00 m
9. 13 64 m
19 64 9.
m 270.92 m
The first curved conduit
The second curved conduit
Straight section
S0=0.048
S0=0.181
18m
圖
4.13 Ye(2006)
案例渠道形狀示意圖(a) (b)
圖
4.14 Ye(2006)
案例彎道斜檻佈置示意圖(a)
第一彎道(b)
第二彎道(a) (b)
圖
4.15 Ye(2006)
案例彎道斜檻計算網格建立示意圖(a)
第一彎道(b)
第二彎道Distance (m)
70 80 90 100 110 120 130 140
Water Level (m)
658
simulation(right bank) simulation(left bank) spillway bottom experiment(right bank) experiment(left bank)
圖
4.16 Ye(2006)
案例第一彎道模擬水位與實驗值比較圖Distance (m)
200 210 220 230 240 250 260 270
Water Level(m)
646
664 simulation(left bank)
simulation(right bank) spillway bottom experiment(right bank) experiment(left bank)
圖
4.17 Ye(2006)
案例第二彎道模擬水位與實驗值比較圖第五章 渠道中交波現象模擬與分析
當超臨界流流經束縮段渠道或彎道時，震波受邊牆的反射而交會，稱 之為交波(cross wave)。在工程實務上，若能將邊牆的走向做適度的布置，
便可以利用波的交互干擾特性來消除不需要的水面震波，避免造成損失。
直線道部分模擬採用 Ippen 和 Dawson(1951)之直線型邊牆束縮渠道，
渠道平面圖如圖 5.1 所示。其上游渠寬為 0.61 m，下游渠寬為 0.305 m，上 游水深為 0.0305m，上游流速 2.188 m/s，福祿數為 4。
5.1.1 參數敏感度分析
一、重要影響參數
由過去文獻得知，影響直線道模擬精度的因素有(1)控制方程式(Kruger, 2006)；(2)數值差分式(鄧,1997)；(3)調適格網(Rahman and Chaudhry, 1997)；
(4)格網細長比；(5)格網數目；(6)格網正交性。
Kruger(2006)引進垂向流速、流量與壓力分佈曲線，經由深度平均後得 到修正後的淺水波方程式，並應用於交波的模擬，模擬結果與實驗值相當 吻合，若要在本研究既有的模式進行以上之修改，則必須重新推導控制方 程式；鄧(1997)在數值方法上利用 MacCormack 結合 TVD 的方法，在模擬 直線道震波交會的位置有很好的效果，然而 TVD 在控制方程式上需為保守 形 式 (conservation form) ， 但 本 研 究 的 控 制 方 程 式 為 非 保 守 形 式
(Non-conservation form)，因此若在數值方法上要使用 TVD，除了必須重新 推導控制方程式，程式亦須重新改寫；Rahman 和 Chaudhry(1997)利用調適 格網的方式以增進模擬的精度，但利用此方法必須修改座標系統，目前暫
為展示各影響因子的敏感度，在此採用均方根差(root mean square error)
E
rms、相關係數(Correlation)ρ
c與信賴指標(reliability index)k
g /k 來表示
s視為模擬結果與實驗值之平均誤差，其值越小表示模擬結果越接近實驗 (1997)採用的 n＝0.01。在進行敏感度分析時，僅改變欲分析的參數，其餘 參數則維持不變。
為了解正交與非正交格網對於正交曲線座標模式中模擬結果之影響。
位發生位置比較圖，由圖中可知隨著曼寧 n 值變大，最高水位的發生位置 Rahman 和 Chaudhry(1997)的模擬結果比較，可看出本模式模擬結果與 Rahman 和 Chaudhry(1997)模擬結果相似。其中 Rahman 和 Chaudhry(1997) 之數值方法為二階精度 MacCormack 法(顯示法)，並採用調適網格以增加模 擬精度；而本研究所採用的數值方法為一階精度上風法(隱式法)，格網間彼
流況中，水面線劇烈變化的過程中產生垂向加速度，在該處就不再符合靜 水壓力分佈，且容易因為局部水面的不連續而發生夾氣的現象；另外，在 數值方法上，由於本研究所採用之模式其數值方法僅為一階精度上風法，
對於震波位置捕捉的表現，會出現較大的誤差。
5.2 彎道
彎道中超臨界流交波模擬採用 Reinauer 和 Hager(1997)之單一曲率半徑 水平矩形渠道，渠道示意圖如圖 5.14。渠道寬為 0.25 m，中心線曲率半徑 為 3.607 m，蜿蜒角度為 51°，上游水深為 0.05 m，福祿數介於 2.5～8。
5.2.1 參數敏感度分析
一、重要影響參數
由前述可知增加精度的方式有改變控制方程式、改變數值差分式、調 適格網、格網細長比、格網數目變化、格網正交性影響等方式，除此之外，
二次流效應也是彎道中相當重要的因素。
因此，以下將針對彎道中格網細長比、格網數目變化、格網正交性影 響與二次流效應的影響進行探討
二、分析結果說明
進行敏感度分析前，本研究首先設計一組合理參數作為模擬的基準，
採用較密的格網數目 101×101，且格網間彼此正交，模擬時考慮二次流效 應，此外，由於 Reinauer 和 Hager(1997)的實驗渠道為平滑渠道，且文獻中 並無建議其曼寧 n 值，故首先假設渠道材質為透明合成樹脂(Lucite)，周文 德博士建議其曼寧 n 值為 0.008。在進行敏感度分析時，僅改變欲分析的參 數，其餘參數則維持不變。
(1) 格網細長比
例 2、3 為非正交格網。
由過去的文獻中(Hsieh and Yang, 2003)得知，二次流效應在彎道中是相 當重要的因子，因此透過 Reinauer 和 Hager(1997)案例討論考慮與不考慮二 次流效應對於模擬結果的影響。
由 2.2 節可知 de Vriend(1977)流速剖面的適用範圍為(1)水深遠小於渠道 寬度；(2)渠道寬度遠小於渠道之曲率半徑；(3)單一二次流(single secondary eddy only)；(4)完全發展流況(developed flow)。而超臨界流在彎道中受到震
波的影響，在內外岸處會產生高低水位變化的現象(詳細說明於 5.2.4 節)，
此時渠道流況為非完全發展流；此外，計算 Reinauer 和 Hager(1977)之試驗 渠道其寬深比（b/h0）僅為 5，對於水深須遠小於渠道寬度的適用條件並不 太符合。
因此，引用第四章 Knapp(1951)案例，渠道寬度為 0.457 m、水深為 0.034 m，計算其寬深比為 13.44，符合水深須遠小於寬度的適用條件；且渠道主
由敏感度分析得知，為避免格網效應所造成的影響，採用格網數為 101
×121、格網間彼此正交，且不考慮二次流效應作為模擬之條件。
由於實驗中未明確給定渠道的糙度係數，故須對曼寧 n 值進行檢定。
首先選用 Fr＝3 為案例並設計兩組不同曼寧 n 值作為測試，案例 1 與案例 2 分別為固定渠道曼寧 n 值為 0.008 與 0.016，測試結果如圖 5.28 與圖 5.29 所 示，可得知外岸模擬水位隨曼寧 n 值增加而變大；而在內岸的模擬結果中，
呈現低曼寧 n 值在最低水位前模擬誤差較小，高曼寧 n 值則在最低水位後 的模擬誤差較小。故以此現象作為檢定曼寧 n 值之原則，在最低水位發生 位置前固定曼寧 n 值為 0.008，而在最低水位發生位置後則由外岸至內岸逐 漸調整曼寧 n 值，其範圍介於 0.008~0.016。
曼寧 n 值檢定後的模擬結果如圖 5.30 與圖 5.31，其結果與實驗值已較 為接近，以下將以此組曼寧 n 值作為參數進行分析。
選用 Fr＝4 為案例作為曼寧 n 值檢定後之驗證。圖 5.32 為 Fr＝4 時模 擬水位立體圖，由圖可清楚看出受到震波的影響，在邊牆部分水面呈現高 低起伏的形狀，此現象持續出現在下游直線渠道中，說明模式合理模擬出 渠道交波的流況。
此外，圖 5.33 與圖 5.34 分別為彎道外岸與內岸的模擬結果，由圖可知 外岸模擬結果與實驗結果相當吻合；內岸在模擬水位最低點前與實驗值接 近，但在水位最低點後上升段模擬結果出現誤差。Wilson(1941)指出當超臨 界流流經彎道時，水面在垂直方向變化劇烈，水面急遽變化過程中產生相 當大的垂向加速度，使得渠道水理條件不符合靜水壓力分佈，這一些現象 在越高福祿數下越明顯，造成模擬結果的誤差越大。
表 5.1(a) 束縮渠道格網數目影響均方根差比較表
表 5.1(c) 束縮渠道格網數目影響信賴指標比較表
表 5.1(c) 束縮渠道格網數目影響信賴指標比較表