第 4 章 結果與討論
4.4 時間軸溫度分佈
【表4】明白地呈現出，當無因次雷射半徑小於 5時，其影響會 逐步擴大。以金為例，無因次雷射半徑 5則實際尺寸約為95 nm。若 以95nm的雷射半徑對金的薄膜加工，則在時間等於一倍脈衝時程時
1 p
β = β ，相對於一維模型，已有29.2%的溫度相對誤差產生。在時
間等於五倍或是十倍脈衝時程時，誤差甚至達到 70%左右。而當無因 次雷射半徑等於1時，其誤差更達到97%左右,將近兩倍之差。故若 使用一般預測的一維模型，必有其精密度控制上的疑慮存在。
二維效應將造成能量往徑向擴散，故若以一維情形模擬，則溫度分佈 皆有高估的情形存在，且差距隨時間越益增大，因此對加工精度控制 產生影響。
【圖 17】B=0.0，δ =1.0，γ0改變下溫度分佈圖
【圖 18】B=0.2，δ =1.0，γ0改變下溫度分佈圖
【圖 19】B=0.5，δ =1.0，γ0改變下溫度分佈圖
【圖 20】B=1.0，δ =1.0，γ0改變下溫度分佈圖
【圖 21】B=5.0，δ =1.0，γ0改變下溫度分佈圖
【圖22】B=10.0，δ =1.0，γ0改變下溫度分佈圖
第五章 結 論
由於以往研究皮秒及飛秒級的脈衝雷射加熱過程，皆因統御方程 式的複雜而處於一維的範疇，然其在計算實際情形的溫度分佈仍嫌有 所缺失，故本論文提供了一個方法來解此問題。本文以雷射加熱軸對 稱來將問題簡化成二維，並模擬雷射半徑1到80間的薄膜熱傳遞情 形。深入地考慮三種不同的熱傳遞模型，比較彼此異同，清楚地展示 二維效應對於材料溫度分佈的變化，並探究其間差異對高精度雷射加 工所締造之影響層面。
由徑向溫度分佈探討，顯示了傳統傅立葉模型與熱波模型相對於 雙相延遲模型的差異，尤其是當 B 值極大的情況下，差距更是明顯。
由溫度分佈趨勢可知，三種模型模擬的能量到達薄膜下表面的時間皆 有不同。雙相延遲模型最快，傳統傅立葉模型次之，而熱波模型則最 慢。故若以熱波模型或是傳統傅立葉模型來模擬雷射加工情形，會有 雷射脈衝時間控制上的疑慮。
由軸向的預估結果更進一步地顯示了二維效應對溫度預測所產
生的誤差。依照【表4】所得結果可知，當以雷射半徑小於95奈米 對金薄膜加工，若仍使用一維模型預測溫度分佈，則在時間等於十倍 的雷射脈衝時，其相對誤差已達70%。而當雷射半徑小於19奈米，
相對誤差更達到97%。
固定薄膜下表面中心點溫度隨時間變化的預測，也表示了使用一 維模型的有所不足。因為能量會由徑向擴散，使得一維模擬的溫度分 佈會高估了二維模擬的溫度分佈。而且隨B值的增加，使得誤差更 快發生。由【圖22】指出，當B=10時，在β =0.1 ~ 0.2間一維模型 所預測的溫度還在上昇，而二維模型卻已經下降，且隨著時間增加，
誤差也隨之擴大。所以當以一維來模擬雷射加溫溫度分佈時，勢必達 不到要求的加工精度。
參考文獻
1. Kafka, J. D., Watts, M. L. and Pieterse, J. J., “Picosecond and Femtosecond Pulse Generation in a Regeneratively Mode-Locked Ti:Sapphire Laser,” IEEE J. Quantum Electronics, Vol. 28, pp.
2151,-2162, 1992.
2. Paul, P. M., Toma, E. S. and Breger, P., Mullot, G., Augé, F., Balcou, Ph., Muller H. G. and Agostini, P., “Observation of a Train of Attosecond Pulses from High Harmonic Generation,” Science, Vol.
292, pp. 1689-1692, 2001.
3. Hentschel, M., Kienberger, R., Spielmann, Ch., Reider, G. A., Milosevic, N., Brabec, T., Corkum, P., Heinzmann, U., Drescher, M.
and Krausz, F., “Attosecond Metrology,” Nature, Vol. 414, pp.
509-513, 2001.
4. Tzou, D. Y., Beraun, J. E. and Chen, J. K., “Ultrafast Deformation in Femtosecond Laser Heating,” ASME J. Heat Transfer, Vol. 124, pp.
284-292, 2002.
5. Tzou, D. Y., Chen, J. K. and Beraun, J. E., “Hot-electron blast induced by ultrashort-pulse lasers in layered media,” Int. Heat ＆ Mass Transfer, Vol. 45, p p. 3369-3382, 2002.
6. Fujimoto, J. G., Liu, J. M., Ippen, E. P. and Bloembergen, N.,
“Femtosecond Laser Interaction with Metallic Tungsten and Nonequilibrium Electron and Lattice Temperatures,” Physical Review Letters, Vol. 53, pp. 1837-1840, 1984.
7. Elsayed-Ali, H. E., Juhasz, T., Smith, G. O. and Bron, W. E.,
“Femtosecond Thermoreflectivity and Thermotransmissivity of
Polycrystalline and Single-Crystalline Gold Films,” Physical Review B, Vol. 43, pp. 4488-4491, 1991.
8. Juhasz, T., Elsayed-Ali, H. E., Hu, X. H. and Bron, W. E.,
“Time-Resolved Thermoreflectivity of Thin Gold Films and Its Dependence on The Ambient Temperature,” Phys. Rev. B, Vol. 45, pp. 13819-13822, 1992.
9. Brorson, S. D., Kazeroonian, A., Moodera, J. S., Face, D. W., Cheng, T. K. and Ippen, E. P., “Femtosecond Room-Temperature Measurement of The Electron-Phonon Coupling Constant λ in Metallic Superconductors,” Physical Review Letters, Vol. 64, pp.
2172-2175, 1990.
10. Kaganov, M. I., Lifshitz, I. M. and Tanatarov, M. V., “Relaxation Between Electrons and Crystalline Lattices,” Soviet Physical JETP, Vol. 4, pp. 173-178, 1957.
11. Anisimov, S. I., Kapeliovich, B. L. and Perel’man, T. L., “Electron Emission from Metal Surfaces Exposed to Ultrashort Laser Pulses,”
Soviet Physical JETP, Vol. 39, pp. 375-377, 1974.
12. Qiu, T. Q. and Tien, C. L., “Heat Transfer Mechanisms during Short-Pulse Laser Heating of Metals” ASME J. Heat Transfer, Vol.
115, pp. 835-841, 1993.
13. Elsayed-Ali, H. E., Norris, T. B., Pessot, M. A. and Mourou, G. A.,
“Time-Resolved Observation of Electron-phonon Relaxation in copper,” Physical Review Letters, Vol. 58, pp. 1212-1215, 1987.
14. Brorson, S. D., Fujimoto, J. G. and Ippen, E. P., “Femtosecond Electronic Heat-Transport Dynamics in Thin Gold Films,” Physical
15. Sun, C. K., Vallee, F., Acioli, L., Ippen, E. P. and Fujimoto, J. G.,
“Femtosecond Investigation of Electron Thermalization in Gold,”
Physical Review B, Vol. 48, pp. 12365-12368, 1993.
16. Qiu, T. Q., Juhasz, T., Suarez, C., Born, W. E. and Tien, C. L.,
“Femtosecond Laser Heating of Multi-Layer Metals-Ⅱ Experiments,” Int. J. Heat and Mass Transfer, Vol. 37, pp. 2799-2808, 1994.
17. Tzou, D. Y., “Experimental Support for the Lagging Behavior in Heat Propagation,” AIAA J. Thermophysical Heat Transfer, Vol. 9, pp.
686-693, 1995.
18. Guyer, R. A. and Krumhansl, J. A., “Solution of the Linearized Phonon Boltzmann Equation,” Physical Review, Vol. 148, pp.
766-778, 1966.
19. Tzou, D. Y., Macro-to Microscale Heat Transfer-The Lagging Behavior, Taylor & Francis, Washington, DC, 1995.
20. Cattaneo, C., “A form of Heat Conduction Equation which Eliminates The Paradox of Instantaneous Propagation,” Compte Rendus, Vol. 247, pp. 431-433, 1958.
21. Vernotte, P., “Les Paradoxes de la theorie continue de l’equation de la chaleur,” Compte Rendus, Vol. 246, pp. 3154-3155, 1958.
22. Sneddon, I. N., The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill, New York, 1972.
23. Patel, V. A., Numerical Analysis, Saunders College Publishing, New York, 1944.
24. Stroud, A. H., Gauss quadrature formulas. Prentice-Hall, Englewood