本章主要說明本論文數值計算所使用之所有模式。首先第一節介紹的是 MUSCL 法，
主要是處理網格之間的物理量。第二節為黎曼解〈Riemann solver〉中的 ROE 法〈Roe scheme〉，利用 ROE 法計算出非黏滯的通量。第三節為 LES model，利用 LES Model 中的 Smargorinsky model 求出次格點尺度〈subgrid scale〉的黏滯性項。第四節 為 Preconditioning 法，當計算低速可壓縮流時，因速度和音速的數量及上差距過 大，所以為彌補此一缺點須使用 Preconditioning 法。最後第五節為 LUSGS Scheme，
在使用 Preconditioning 時已破壞了整個統御方程式。因此需使用 dual time stepping 疊代使其在 artificial domain 收斂時才能進入下一個真實時階，將在此 小節做詳細的解說。綜合上述，本論文在數值上的計算過程為，利用 MUSCL 法算出 網 格 間 的 物 理 量 ， 再 利 用 ROE 法 求 出 非 黏 滯 的 通 量 ， 在 計 算 通 量 時 加 入 Preconditioning 法。接下來使用 LES 模式求出黏滯項，其與 ROE 法求出的通量結 合得到真正的物理通量。最後使用 LUSGS 疊代以求出下一時階的物理量。
3-1、Monotonic Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws(MUSCL)：
本論文使用的是採用I. Abalakin etl.[14]中所使用的插分法。其方程式如下：
到不同的精度。本論文則是使用五階精度，以減少數值計算的消散性。
表 3-1 精度係數值。
3-2、Roe scheme： 方程式(3-6)稱為 canonical form 或 characteristic form。
將以上的結果簡單整理如下：
參照圖(3-1)，可以進一步推導出 題上，Roe 利用常數 Jacobian 矩陣取代原本的 Jacobian 矩陣使方程式由非線性轉
變成線性，但是初始條件並沒有改變，因此可以得到方程式(3-11)的近似解。為了
條件 3.則是為了符合守恆定律（conservation law）與 Rankine-Hugoniot 條件。
線性黎曼問題的解析解，可以直接從(3-8)與(3-9)式得到， 1
再根據(3-14)式與(3-15)式可以推導出：
2 2 接著選定 parameter vector
1
2 2 u 為 Roe averaged velocity
L L R R
y
x< 0 x= 0 x> x 0 圖 3-1 黎曼問題特徵值結構圖。
λ m 1
λm−
λi 1
λp+
λ i
λp
λ 1
λ2
3-3、LES model〈Smagorinsky model〉：
LES 將流體物理量區分為大尺度〈large-scale〉與次格點尺度〈subgrid-scale〉
兩部分。對於大尺度的物理量在 LES 中直接由 Navier-Stokes 方程式求解，而在次 格點尺度內的物理量則需要模式化。
目前大部分的次格點尺度流體剪應力模式〈subgrid-scale stress model〉是 以流體剪應力假設為基礎，其中最常被引用的模式為 Smagorinsky 次格點尺度流體
〈filter〉，用 filter function 將計算範圍確定：
( , ) ( , ) ( , )
(1) Gussian filter function：
1 6( 2 )
(3) sharp cutoff filter function：
1
因為c2 =γRT 所以(3-52)經移項後可以改寫為：
(3-58)為原始方程式，接著將保守形式（conserved variables）轉變成主要變數形
其中 C 為聲速
在計算時所造成的奇異點（singular point）現象。對於黏制性流體而言，U 必須r 大於流體的當地擴散速度（local diffusion velocity），因此U 還需加入下列限r 制：
經過上述推導之後，方程式從(3-58)式轉變如下： 決不連續面問題的 artificial viscosity term 1
2 A UΔ 所組成。加入
preconditioning 的方程式只需在 artificial viscosity term 做改變即可，其推 導如下：
1
所以 artificial viscosity terms 改寫如下：
1
首先，先在原始 Navier-Stokes 方程式加入一虛擬時間項，稱為 artificial time term。方程式改變如下：
接著在 artificial time term 加入 preconditioning 的方法：
p 0 最後對 artificial time term 採一階的有限差分離散，對 physical time term 採 二階的後項差分離散，可得
1 1 1
上述方程式，當 artificial time term 收斂至
1
1 , , 1, ,
2. (D U+ )ΔUp = ΔD Up∗ ΔUp = ΔUp∗−D U U−1 Δ p 3. Ukp+1=Upk + ΔUp
第三個步驟求出的Ukp+1即為 pseudo time domian 的下一個時階物理量。