本章主旨在說明本論文的數值計算所使用的所有模式。 第一節整理所求解 的Navier-Stokes 方程式。將 Navier-Stokes 方程式拆解為非黏滯項與黏滯項。第 二節介紹的為黎曼解中的ROE 法，利用 ROE 法來求出非黏滯項的通量。 接著 第三節介紹MUSCL 法，此法是為了要解出 ROE 法中使用的網格之間的物理量，
然後為了防止在高階插分時產生震盪現象，在MUSCL 法插分的結果方程式中 加入Minmod limiter 以確保程式不會發散。第四節為介紹 Preconditioning 法，
因為當計算低速可壓縮流時，因速度和音速的數量級上差距過大，在數值分析時 造成計算的困難，所以為彌補此一缺點須使用Preconditioning 法。 最後第五節 為LUSGS Scheme，為了加快收斂速度並且避免能量耗散問題，因此利用 LUSGS Scheme，而程式因為在使用 Preconditioning 時，加入 Artificial time term 時，已 破壞了整個統御方程式，因此需使用Dual time stepping 疊代使其在 Artificial domain 收斂時才能進入下一個真實時階，將在此小節做詳細的解說。 第六節為 座標的轉換，本研究為了要觀察邊界的地方流場及熱傳的變化及邊際效應的影響，
在靠近壁面的網格部份做了加密的動作，因此當程式作計算時使用曲線座標系做 計算，但是當插分時是在直角座標系做插分的動作，因此對於方程式座標的轉換 在此節做說明。綜合上述，本論文在數值上的計算過程為，首先將Navier-Stokes 方程式拆解為非黏滯項與黏滯項。利用MUSCL 法算出 ROE 法所需要的網格間 物理量並搭配Minmod limiter 以確保程式不會發散，求解出非黏滯性項的通量，
並且在計算通量時加入Preconditioning 法，以拉近與音速的數量級。 接下來利 用二階中央插分法對黏滯項做插分進而求出黏滯性項；然後再與ROE 法求出的 非黏滯性項通量做結合得到真正的物理通量。最後使用LUSGS Scheme 疊代以求 出下一時階的物理量。
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γ=1.4，R=287J/kg/K ，Pr=0.72。
上式可拆解為黏滯性項與非黏滯性項：
m inviscid viscid m m m
m m m
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3-2、Roe scheme：
在雙曲線的守恆形式方程式中，若其初始條件包含有不連續的片段連續
接著定義特徵變數W〈characteristic variables〉，其定義如下：
( , ) 方程式(3-5)稱為 canonical form 或 characteristic form。
將以上的結果簡單整理如下：
19 此問題，一般皆求解近似黎曼問題〈approximation Riemann problem〉解而不直 接求其exact solution。在求解近似黎曼問題中最被廣泛應用的方法為 Roe 所提出，
亦即為Roe scheme，其內容如下：
假設一維尤拉方程式：
U F 0 t x
∂ +∂ =
∂ ∂ (3-23) 根據chain rule，可將方程式(3-23)改寫如下：
U F U 0
20 之外，條件3.則是為了符合守恆定律（conservation law）與 Rankine-Hugoniot 條 件。
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22 接著選定parameter vector Q
1
23 u為Roe averaged velocity
L L R R
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3-3、Monotonic Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws(MUSCL)：
本論文使用的是採用I. Abalakin中所使用的插分法。其方程式如下：
本研究在MUSCL 法插分出來的方程式中加入 minmod limiter，用來確保程式不 會發散。
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3-4、Preconditioning 法：
為了增加 N‐S 方程式於低馬赫速可壓縮流的準確度與效率，因此於方程式中 增加 preconditioning 法。本程式採用 Weiss and Smith 的 preconditioning method []，
撰寫於三維曲線座標，其方程式如下：
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U 必須大於流體的當地擴散速度（local diffusion velocity）r ，因此U 還需加入下r 列限制：
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2 A UΔ 所組成。加入 preconditioning 的方程式只需在 artificial viscosity term
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所以artificial viscosity terms 改寫如下：
1
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圖3-2：差分示意圖
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方程式(3-71)中的 Navier-Stokes 方程式在時間項方面遭到修改，利用修改後 的方程式來計算暫態結果並不恰當，因此本程式再加入dual time stepping，不僅 讓程式在計算暫態結果方面較準確，更提高程式的效率，縮短計算時間。首先，
接著在artificial time term 加入 preconditioning method：
Up U F G H
34 用LUSGS implicit 法計算時間方程式(3-84)，此法的優點除了收斂快速外，還有 不需額外的Artificial Dissipation 來幫助程式收斂。
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3-5、LUSGS implicit method：
由Yoon 等人提出 LUSGS implicit method
1 k
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由上式可以知道在physical domain 和 computational domain 之間存在一個轉換矩 陣，稱為Jacobian 轉換矩陣，三維的轉換矩陣如下：
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上式即為本研究在做計算時所使用的統御方程式，在計算時一樣使用Roe scheme 來解非黏滯性項的答案，並且加入Preconditioning 法以及最後使用 LUSGS implicit 法來做 Dualtime steping 的暫態計算。
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