數學乙 I 包括機率統計 II 以及三角函數，這些課題是銜接大學的微積分與機 率統計的題材。在學習新的題材時，同時可統整複習數學 II 的機率統計以及數 學 III 的三角學，以強化學生的基礎。
一、機率統計 II
生活中所接觸的變量（variables）常常具有隨機現象，比如甲乙兩人猜拳 n 次，甲贏乙的次數；投擲銅板 n 次，出現正面的次數；由電話簿隨機抽 n 個樣本，
調查支持某一候選人的人數；股票的市場價值；台北市的房價；學測的成績；班 上同學的身高體重；麥當勞一個月所賣出的漢堡個數等等。這些具有隨機性（不 確定性）的變量就稱作隨機變量（也叫隨機變數）。它可能是離散型的（取值為 離散的），也可能是連續型的。老師可在教學活動中請同學舉出隨機變數的例子，
但隨機變數不需用機率空間上的函數來嚴格定義。隨機現象對自然組與社會組的 學生同等重要。
對於機率與統計而言，重點在讓學生了解隨機的本質，並能學到估計的概 念，而不只是學到數學的計算。各種概念產生的背後原因，如：機率的性質，期 望值、變異數及信賴區間等，更應闡釋清楚。
首先需對隨機變數進行數據資料的整理，也就是製作次數圖（X 軸為隨機變
量的值，Y 軸為次數）。將次數除以總次數，所得的函數就稱為機率質量函數（離 散型），或機率密度函數（連續型）。高中課程只處理離散型的隨機變數。
人們常想粗略知道某一隨機變數的值有多大，而期望值的角色，就是用單一 數值來代表隨機現象中變量的大小。期望值就像是隨機變數的核心，隨機變數所 有可能的值，都散佈在期望值的左右。變異數是用來度量隨機變數的隨機性，變 異數愈小，愈多隨機變數的值會落在期望值附近。當變異數為 0 時，所有隨機變 數的值都是確定的值（也就是期望值）。反之，變異數愈大，反應了隨機變數的 隨機性（不確定性）愈大。某項測驗的成績的變異數大，表示該測驗比較能夠區 隔學生能力的差異。變異數的正平方根稱為標準差，用來表示隨機變數的可能值 偏離期望值的大小。
1.隨機的意義 1.1 隨機的意義
以生活上的實例說明，如：
․班上同學的學測級分相對次數圖（X 軸為學測級分，Y 軸為該成績的相對次 數）。
․投銅板三次，正面出現的機率質量函數圖（X 軸為正面出現的次數
（X=0,1,2,3），Y 軸為該次數出現的機率）。
2.期望值、變異數、標準差
人們常想粗略知道某一隨機變數的值有多大，而期望值的角色，就是用單一 數值來代表隨機現象中變量的大小。期望值就像是隨機變數的核心，隨機變數所 有可能的值，都散佈在期望值的左右。變異數的正平方根稱為標準差，用來表示 隨機變數的可能值偏離期望值的大小。
3.獨立事件 4.二項分布
4.1 重複試驗、二項分布、二項分布的性質
說明此分布的由來，並且強調處處可見。給出其機率質量函數，並以二項式 定理驗證確為機率質量函數。
․擲銅板出現正面、反面的機率各為 1/2，投 n 次出現 k 次正面的機率為 1
2
n n
Ck⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ 。
․繪出二項分布的圖形，求期望值np；變異數np
(
1− p)
及標準差的計算可置於教科書的附錄。
5.抽樣與統計推論
5.1 抽樣方法：簡單隨機抽樣
說明經常需要收集資料，以便對隨機現象做推論或預測。說明何時要普查，
何時要抽樣調查，並介紹隨機抽樣法。
5.2 亂數表
介紹亂數表的使用，並說明何時可使用。
5.3 常態分布、信賴區間與信心水準的解讀
高中程度的統計推論只做隨機變數期望值的估計，它的背後理論是中央極限 定理。要介紹中央極限定理，就需要引入常態分布。此部分僅做通識性的介紹，
以活動方式建立學生對於中央極限定理的直觀。
並以此解讀，何以大多數的學生所得的信賴區間都會涵蓋p？ ․二項分布Ckn
( ) (
p k 1−p)
n k− ,p=0.4,n=100。․常態分布
( )
( )
2
2 2
1 , , 1 , 2.718 2
x
e np np p e
μ
σ μ σ
σ
− −
= = − = L，常態分布可介紹它 的表示法。
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
二項分布 常態分布
二、三角函數
在三角函數裡首先介紹弧度的觀念，並以圓心在原點的圓介紹廣義角的三角 函數及其週期性質。討論它們的倒數關係、商數關係、平方關係，但三角恆等式 不宜過度操作。
1.弧度、弧長
1.1 弧度、弧長及扇形面積公式
複習弧度、弧長及扇形面積公式。
2.一般三角函數的性質與圖形 2.1 倒數關係、商數關係、平方關係
2.2 三角函數的定義域、值域、週期性質與圖形 包括六種三角函數。
․由cos2θ +sin2θ =1，以及倒數關係及商數關係推導出1 tan+ 2θ =sec2θ。
數學乙 II（選修）
數學乙 II 的目標是對函數作一統整學習。
一、極限與函數
本章的用意是要對函數作一統整的學習並延伸到函數的操作，特別是合成函 數的操作，合成函數應與平移與伸縮作連結。夾擠定理應透過幾何圖形建立直 觀，並利用不等式做上下界的估計，不等式型式的數學歸納法亦在此學習。
1.數列及其極限 1.1 兩數列的比較
․不等式型式的數學歸納法 1.2 數列的極限及極限的性質
以圖形、電腦展示的範例讓學生認識極限的概念。
2.無窮等比級數 2.1 無窮等比級數
․無窮等比級數的應用範例：如下圖，ABCD 為邊長等於 1 的正方形，連接 ABCD 各邊中點可得一個內接正方形，如此繼續作下去，會得到無限多個正方形，
求這些正方形的面積總和。
A B
D C 2.2 循環小數
․證明循環小數是有理數。
2.3 夾擠定理
可用圖形或面積來建立夾擠定理的直觀，例如：
․圓面積可用內接與外切正 n 邊形的面積夾擠而得。
3.函數的概念
3.1 函數的定義、四則運算、合成函數
․合成函數學習的重點在將重要函數寫成簡單函數的合成，或是將函數標準 化。例如：利用平移將y=
(
x−h)
3化成y= 的標準式，透過學習x3 y= 的函x3 數性質，了解y=(
x−h)
3的函數性質。函數的例子及繪圖：這裡的繪圖是指圖形的描點，是要建立學生對於圖形 的直觀。
․絕對值函數 y= 、簡單有理函數x y cn
= x ,n=1,2，以及這些函數的平移。
․根式函數與隱函數，如：y= x y, = ax2 +bx+ 、c x2+y2 = 。 1 4.函數的極限
4.1 函數的極限
4.2 連續函數、介值定理