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但經由上一章節 2×2 列聯表時之驗證結果得知式子
(
3.2.9)
的目標函式不為凸函數，故在此 3×2 列聯表時我們即可不需經由驗證就能得知式子
(
4.1.9)
亦非為一凸函數最佳化問題，因此我們只得放棄此種定義。與上一章節相同的作法，為了比較起見
，在後續章節中我們將仍針對此最佳化問題進行數值分析。
第二節 實際資料驗證分析
在上一節我們已經針對 3×2 列聯表聯合機率的最大概似估計問題，若給定限制 條件為兩個區域勝算比OR1≥ 1 及OR2 ≥ 1 時，其相對應的凸函數最佳化問題之定義
，與其透過Karush-Kuhn-Tucker 條件所分析得出之最佳解。此節將探討在給定實際 資料下，來驗證其理論最佳解與實際最佳解是否吻合。
針對
(
4.1.1)
的凸函數最佳化問題，我們首先考慮固定n
=50下，分別設定九種 不同區域勝算比(OR 與1 OR 各自2 > = < )情境下的資料組1, 1, 1( x
11,x
12,x
21,x
22,x
31,x
32)
，使其兩個觀測區域勝算比各自 1, 1,> = < ，另外探討在給定不同的1
λ
0時，其所獲 得的最佳解(p11,p12,p21,p22,p31,p32)之變化情形，詳細結果如表 4-1 所示。當兩個觀測區域勝算比皆大於 1 時，則所獲得之(p11,p12,p21,p22,p31,p32)的最佳
解將符合
(
4.1.8)
中的第二種結果；當兩個觀測區域勝算比皆不大於 1 時，則理論上(p11, p12,p21,p22,p31,p32)的最佳解必須符合
(
4.1.8)
中的第一種結果；當observed OR 1≤ 1 且observed OR2 > 時，則理論上1 (p11, p12,p21,p22,p31,p32)的最佳解必須符合
(
4.1.8)
中的第三種結果；當observed OR1> 1 且observed OR2 ≤ 時，則理論上1(p11, p12,p21,p22, p31,p32)的最佳解必須符合
(
4.1.8)
中的第四種結果。由表 4-1 中也 確實得出其程式輸出結果皆符合所期望的結果。當
λ
0 = 時，我們得出前一節中所探討特例的結果：0 p11 = p12 = p21 = p22 = p31 =‧
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得發現，因為當
n
愈大時，( x
11,x
12,x
21,x
22,x
31,x
32)
之值也傾向變大，故目標函式中的 第一項比重增大。而由於 , , , , ,A B C D E F 皆≤0，因此若希望 ( , , , , , )f A B C D E F 之值 愈小，則A
,B C D E F
, , , , 必須愈小才能使目標函式中的−[x A11 +x B12 +x C21 +22 31 32 ]
x D+x E+x F 之值愈小，即p 愈大。另外ij
λ
0 ≥ 雖為固定值，但若0 p 太大將造ij 成[(eA+eB +eC+eD + eE +eF) 1]− 2的值變大，不利於目標函式的極小化，故當n
愈大 時，(p11,p12,p21,p22,p31,p32)之最佳解雖然預期也隨之增加，但此時其值只會些微增 加而已。而從表 4-4 中我們確實也可發現當n
愈大時，(p11,p12,p21,p22,p31,p32)的值 也愈大，但與表 4-2 相較之下，只是些微增加而已。‧
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.7000 0.7000 0.9500 0.9500 0.8500 0.8500 50 0.1400 0.1400 0.1900 0.1900 0.1700 0.1700 100 0.0700 0.0700 0.0950 0.0950 0.0850 0.0850 1000 0.0070 0.0070 0.0095 0.0095 0.0085 0.0085當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1400, 0.1400, 0.1900, 0.1900, 0.1700, 0.1700)
11 6, 12 10, 21 8, 22 9, 31 8, 32 9 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.7040 0.8960 0.7480 0.9520 0.7480 0.9520 50 0.1408 0.1792 0.1496 0.1904 0.1496 0.1904 100 0.0704 0.0896 0.0748 0.0952 0.0748 0.0952 1000 0.0070 0.0090 0.0075 0.0095 0.0075 0.0095
當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1408, 0.1792, 0.1496, 0.1904, 0.1496, 0.1904)
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11 6, 12 10, 21 8, 22 9, 31 7, 32 10
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 154
OR =80< 且 2 80 observed 1
OR = 63>
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.6788 0.9212 0.7212 0.9788 0.7000 1.0000 50 0.1358 0.1842 0.1442 0.1958 0.1400 0.2000 100 0.0679 0.0921 0.0721 0.0978 0.0700 0.1000 1000 0.0068 0.0092 0.0072 0.0098 0.0070 0.0100當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1358, 0.1842, 0.1442, 0.1958, 0.1400, 0.2000)
11 8, 12 9, 21 8, 22 9, 31 10, 32 6
x = x = x = x = x = x = ，
observed 1OR1= 且 2 48 observed 1
OR =90<
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.8840 0.8160 0.8840 0.8160 0.8320 0.7680 50 0.1768 0.1632 0.1768 0.1632 0.1664 0.1536 100 0.0884 0.0816 0.0884 0.0816 0.0832 0.0768 1000 0.0088 0.0082 0.0088 0.0082 0.0083 0.0077當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1768, 0.1632, 0.1768, 0.1632, 0.1664, 0.1536)
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‐ 49 ‐
11 8, 12 8, 21 9, 22 9, 31 8, 32 8
x = x = x = x = x = x = ， observed 1OR1 = 且observed 1OR2 =
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.8000 0.8000 0.9000 0.9000 0.8000 0.8000 50 0.1600 0.1600 0.1800 0.1800 0.1600 0.1600 100 0.0800 0.0800 0.0900 0.0900 0.0800 0.0800 1000 0.0080 0.0080 0.0090 0.0090 0.0080 0.0080當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1600, 0.1600, 0.1800, 0.1800, 0.1600, 0.1600)
11 9, 12 8, 21 9, 22 8, 31 7, 32 9
x = x = x = x = x = x = ，
observed 1OR1= 且 2 81 observed 1
OR =56>
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.9000 0.8000 0.9000 0.8000 0.7000 0.9000 50 0.1800 0.1600 0.1800 0.1600 0.1400 0.1800 100 0.0900 0.0800 0.0900 0.0800 0.0700 0.0900 1000 0.0090 0.0080 0.0090 0.0080 0.0070 0.0090當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1800, 0.1600, 0.1800, 0.1600, 0.1400, 0.1800)
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11 9, 12 8, 21 8, 22 10, 31 8, 32 7
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 190
OR = 64> 且 2 56 observed 1
OR =80<
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.9000 0.8000 0.8727 0.9273 0.7273 0.7727 50 0.1800 0.1600 0.1745 0.1855 0.1455 0.1545 100 0.0900 0.0800 0.0873 0.0927 0.0727 0.0773 1000 0.0090 0.0080 0.0087 0.0093 0.0073 0.0077當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1800, 0.1600, 0.1745, 0.1855, 0.1455, 0.1545)
11 10, 12 6, 21 9, 22 8, 31 9, 32 8
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 180
OR =54> 且observed 1OR2 =
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 1.0000 0.6000 0.9000 0.8000 0.9000 0.8000 50 0.2000 0.1200 0.1800 0.1600 0.1800 0.1600 100 0.1000 0.0600 0.0900 0.0800 0.0900 0.0800 1000 0.0100 0.0060 0.0090 0.0080 0.0090 0.0080當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2000, 0.1200, 0.1800, 0.1600, 0.1800, 0.1600)
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‐ 51 ‐
11 10, 12 7, 21 9, 22 8, 31 7, 32 9
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 180
OR = 63> 且 2 81 observed 1
OR =56 >
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 1.0000 0.7000 0.9000 0.8000 0.7000 0.9000 50 0.2000 0.1400 0.1800 0.1600 0.1400 0.1800 100 0.1000 0.0700 0.0900 0.0800 0.0700 0.0900 1000 0.0100 0.0070 0.0090 0.0080 0.0070 0.0090當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2000, 0.1400, 0.1800, 0.1600, 0.1400, 0.1800)
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表 4-2 固定
λ
0 =60之下，(p11,p12,p21,p22,p31,p32)之最佳解observed 1OR1< 且observed 1OR2 <
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 3 5 5 6 7 4 0.0667 0.0667 0.0917 0.0917 0.0917 0.0917 60 6 10 10 12 14 8 0.1333 0.1333 0.1833 0.1833 0.1833 0.1833 90 9 15 15 18 21 12 0.2000 0.2000 0.2750 0.2750 0.2750 0.2750當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1333, 0.1333, 0.1833, 0.1833, 0.1833, 0.1833)
observed 1OR1< 且observed 1OR2 =
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 3 7 4 6 4 6 0.0611 0.1056 0.0611 0.1056 0.0611 0.1056 60 6 14 8 12 8 12 0.1222 0.2111 0.1222 0.2111 0.1222 0.2111 90 9 21 12 18 12 18 0.1833 0.3167 0.1833 0.3167 0.1833 0.3167當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1222, 0.2111, 0.1222, 0.2111, 0.1222, 0.2111)
observed 1OR1< 且observed 1OR2 >
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 3 7 4 5 4 7 0.0614 0.1053 0.0553 0.0947 0.0667 0.1167 60 6 14 8 10 8 14 0.1228 0.2105 0.1105 0.1895 0.1333 0.2333 90 9 21 12 15 12 21 0.1842 0.3158 0.1658 0.2842 0.2000 0.3500當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1228, 0.2105, 0.1105, 0.1895, 0.1333, 0.2333)
‧ 國
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‐ 53 ‐
observed 1OR1= 且observed 1OR2 <
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 4 6 4 6 7 3 0.0833 0.0833 0.0833 0.0833 0.0833 0.0833 60 8 12 8 12 14 6 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 90 12 18 12 18 21 9 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1667)
observed 1OR1 = 且observed 1OR2 =
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 4 4 7 7 4 4 0.0667 0.0667 0.1167 0.1167 0.0667 0.0667 60 8 8 14 14 8 8 0.1333 0.1333 0.2333 0.2333 0.1333 0.1333 90 12 12 21 21 12 12 0.2000 0.2000 0.3500 0.3500 0.2000 0.2000當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1333, 0.1333, 0.2333, 0.2333, 0.1333, 0.1333)
observed 1OR1= 且observed >1OR2
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 6 4 6 4 3 7 0.0100 0.0667 0.0100 0.0667 0.0500 0.1167 60 12 8 12 8 6 14 0.2000 0.1333 0.2000 0.1333 0.1000 0.2333 90 18 12 18 12 9 21 0.3000 0.2000 0.3000 0.2000 0.1500 0.3500當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2000, 0.1333, 0.2000, 0.1333, 0.1000, 0.2333)
‧ 國
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observed >1OR1 且observed 1OR2 <
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 6 5 5 7 4 3 0.0100 0.0833 0.0947 0.1053 0.0553 0.0614 60 12 10 10 14 8 6 0.2000 0.1667 0.1895 0.2105 0.1105 0.1228 90 18 15 15 21 12 9 0.3000 0.2500 0.2842 0.3158 0.1658 0.1842當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2000, 0.1667, 0.1895, 0.2105, 0.1105, 0.1228)
observed 1OR1 > 且observed 1OR2 =
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 7 3 6 4 6 4 0.1167 0.0500 0.1000 0.0667 0.1000 0.0667 60 14 6 12 8 12 8 0.2333 0.1000 0.2000 0.1333 0.2000 0.1333 90 21 9 18 12 18 12 0.3500 0.1500 0.3000 0.2000 0.3000 0.2000當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2333, 0.1000, 0.2000, 0.1333, 0.2000, 0.1333)
observed 1OR1 > 且observed 1OR2 >
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 7 3 6 5 4 6 0.1167 0.0500 0.1000 0.0833 0.0667 0.1000 60 14 6 12 10 8 12 0.2333 0.1000 0.2000 0.1667 0.1333 0.2000 90 21 9 18 15 12 18 0.3500 0.1500 0.3000 0.2500 0.2000 0.3000當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2333, 0.1000, 0.2000, 0.1667, 0.1333, 0.2000)
‧
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.3022 0.3022 0.4101 0.4101 0.3669 0.3669 50 0.1912 0.1912 0.2595 0.2595 0.2322 0.2322 100 0.1690 0.1690 0.2294 0.2294 0.2052 0.2052 100000 0.1400 0.1400 0.1900 0.1900 0.1700 0.1700當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1400, 0.1400, 0.1900, 0.1900, 0.1700, 0.1700)
11 6, 12 10, 21 8, 22 9, 31 8, 32 9 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.3039 0.3868 0.3229 0.4109 0.3229 0.4109 50 0.1923 0.2448 0.2044 0.2601 0.2044 0.2601 100 0.1700 0.2163 0.1806 0.2298 0.1806 0.2298 100000 0.1408 0.1792 0.1496 0.1904 0.1496 0.1904
當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1408, 0.1792, 0.1496, 0.1904, 0.1496, 0.1904)
‧ 國
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11 6, 12 10, 21 8, 22 9, 31 7, 32 10
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 154
OR =80< 且 2 80 observed 1
OR = 63>
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.2930 0.3977 0.3113 0.4225 0.3022 0.4317 50 0.1854 0.2517 0.1970 0.2674 0.1912 0.2732 100 0.1639 0.2224 0.1741 0.2363 0.1690 0.2414 100000 0.1358 0.1843 0.1443 0.1958 0.1400 0.2001當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1358, 0.1842, 0.1442, 0.1958, 0.1400, 0.2000)
11 8, 12 9, 21 8, 22 9, 31 10, 32 6
x = x = x = x = x = x = ，
observed 1OR1= 且 2 48 observed 1
OR =90<
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.3816 0.3522 0.3816 0.3522 0.3591 0.3315 50 0.2415 0.2229 0.2415 0.2229 0.2273 0.2098 100 0.2134 0.1970 0.2134 0.1970 0.2009 0.1854 100000 0.1768 0.1632 0.1768 0.1632 0.1664 0.1536當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1768, 0.1632, 0.1768, 0.1632, 0.1664, 0.1536)
‧ 國
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‐ 57 ‐
11 8, 12 8, 21 9, 22 9, 31 8, 32 8
x = x = x = x = x = x = ， observed 1OR1 = 且observed 1OR2 =
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.3453 0.3453 0.3885 0.3885 0.3453 0.3453 50 0.2186 0.2186 0.2459 0.2459 0.2186 0.2186 100 0.1931 0.1931 0.2173 0.2173 0.1931 0.1931 100000 0.1600 0.1600 0.1800 0.1800 0.1600 0.1600當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1600, 0.1600, 0.1800, 0.1800, 0.1600, 0.1600)
11 9, 12 8, 21 9, 22 8, 31 7, 32 9
x = x = x = x = x = x = ，
observed 1OR1= 且 2 81 observed 1
OR =56>
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.3885 0.3453 0.3885 0.3453 0.3022 0.3885 50 0.2459 0.2186 0.2459 0.2186 0.1912 0.2459 100 0.2173 0.1931 0.2173 0.1931 0.1690 0.2173 100000 0.1800 0.1600 0.1800 0.1600 0.1400 0.1800當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1800, 0.1600, 0.1800, 0.1600, 0.1400, 0.1800)
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x11=9,x12 =8,x21 =8,x22 =10,x31=8,x32 = ， 7
1
observed 190
OR = 64> 且 2 56 observed 1
OR =80<
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.3885 0.3453 0.3767 0.4003 0.3139 0.3336 50 0.2459 0.2186 0.2384 0.2533 0.1987 0.2111 100 0.2173 0.1931 0.2107 0.2239 0.1756 0.1866 100000 0.1800 0.1600 0.1746 0.1855 0.1455 0.1546當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.1800, 0.1600, 0.1745, 0.1855, 0.1455, 0.1545)
11 10, 12 6, 21 9, 22 8, 31 9, 32 8
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 180
OR =54> 且observed 1OR2 =
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.4317 0.2590 0.3885 0.3453 0.3885 0.3453 50 0.2732 0.1639 0.2459 0.2186 0.2459 0.2186 100 0.2414 0.1449 0.2173 0.1931 0.2173 0.1931 100000 0.2001 0.1200 0.1800 0.1600 0.1800 0.1600當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2000, 0.1200, 0.1800, 0.1600, 0.1800, 0.1600)
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‐ 59 ‐
11 10, 12 7, 21 9, 22 8, 31 7, 32 9
x = x = x = x = x = x = ，
1
observed 180
OR = 63> 且 2 81 observed 1
OR =56 >
λ
0 p 11 p 12 p 21 p 22 p 31 p 32 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0.4317 0.3022 0.3885 0.3453 0.3022 0.3885 50 0.2732 0.1912 0.2459 0.2186 0.1912 0.2459 100 0.2414 0.1690 0.2173 0.1931 0.1690 0.2173 100000 0.2001 0.1400 0.1800 0.1600 0.1400 0.1800當
λ
0 = 時，其理論最佳解n (p11*,p12* ,p*21,p*22,p*31,p*32)=(
0.2000, 0.1400, 0.1800, 0.1600, 0.1400, 0.1800)
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表 4-4 固定
λ
0 =60之下，(p11,p12,p21,p22,p31,p32)之最佳解observed 1OR1< 且observed 1OR2 <
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 3 5 5 6 7 4 0.1609 0.1609 0.2213 0.2213 0.2213 0.2213 60 6 10 10 12 14 8 0.1821 0.1821 0.2504 0.2504 0.2504 0.2504 90 9 15 15 18 21 12 0.2000 0.2000 0.2750 0.2750 0.2750 0.2750observed 1OR1< 且observed 1OR2 =
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 3 7 4 6 4 6 0.1475 0.2548 0.1475 0.2548 0.1475 0.2548 60 6 14 8 12 8 12 0.1670 0.2884 0.1670 0.2884 0.1670 0.2884 90 9 21 12 18 12 18 0.1833 0.3167 0.1833 0.3167 0.1833 0.3167observed 1OR1< 且observed 1OR2 >
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 3 7 4 5 4 7 0.1482 0.2541 0.1334 0.2287 0.1609 0.2817 60 6 14 8 10 8 14 0.1678 0.2876 0.1510 0.2558 0.1821 0.3187 90 9 21 12 15 12 21 0.1842 0.3158 0.1658 0.2842 0.2000 0.3500observed 1OR1= 且observed 1OR2 <
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 4 6 4 6 7 3 0.2012 0.2012 0.2012 0.2012 0.2012 0.2012 60 8 12 8 12 14 6 0.2277 0.2277 0.2277 0.2277 0.2277 0.2277 90 12 18 12 18 21 9 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500‧ 國
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observed 1OR1 = 且observed 1OR2 =
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 4 4 7 7 4 4 0.1609 0.1609 0.2817 0.2817 0.1609 0.1609 60 8 8 14 14 8 8 0.1821 0.1821 0.3187 0.3187 0.1821 0.1821 90 12 12 21 21 12 12 0.2000 0.2000 0.3500 0.3500 0.2000 0.2000observed 1OR1= 且observed >1OR2
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 6 4 6 4 3 7 0.2414 0.1609 0.2414 0.1609 0.1207 0.2817 60 12 8 12 8 6 14 0.2732 0.1821 0.2732 0.1821 0.1366 0.3187 90 18 12 18 12 9 21 0.3000 0.2000 0.3000 0.2000 0.1500 0.3500observed >1OR1 且observed 1OR2 <
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 6 5 5 7 4 3 0.2414 0.2012 0.2287 0.2541 0.1334 0.1482 60 12 10 10 14 8 6 0.2732 0.2277 0.2558 0.2876 0.1510 0.1678 90 18 15 15 21 12 9 0.3000 0.2500 0.2842 0.3158 0.1658 0.1842observed 1OR1 > 且observed 1OR2 =
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 7 3 6 4 6 4 0.2817 0.1207 0.2414 0.1609 0.2414 0.1609 60 14 6 12 8 12 8 0.3187 0.1366 0.2732 0.1821 0.2732 0.1821 90 21 9 18 12 18 12 0.3500 0.1500 0.3000 0.2000 0.3000 0.2000‧ 國
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observed 1OR1 > 且observed 1OR2 >
n
x 11 x12 x21 x22 x31 x 32 p11 p12 p21 p22 p 31 p 32 30 7 3 6 5 4 6 0.2739 0.1174 0.2348 0.1956 0.1565 0.2348 60 14 6 12 10 8 12 0.3106 0.1331 0.2662 0.2219 0.1775 0.2662 90 21 9 18 15 12 18 0.3415 0.1464 0.2927 0.2439 0.1952 0.2927‧ 國
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‐ 63 ‐
第伍章 結論與建議
本文嘗試使用凸函數最佳化方法去求解在限制條件下之最大概似估計量。我們 首先介紹凸函數最佳化問題的理論與解題方法，對於任何的最佳化問題，我們必須 要先確認其目標函式與不等限制函式皆須為凸函數，而等式限制函式須為仿射函數
，如此後續才能藉由 Karush-Kuhn-Tucker 條件與互補充餘條件來求得最佳解。之後 我們利用凸函數最佳化的理論去求解在 2×2 列聯表中之受限最大概似估計量，最後 再探討當在 3×2 列聯表中之受限最大概似估計量。
其中在 2×2 列聯表中，限制函式為勝算比不小於 1 之下，欲求解其對應之受限 最大概似估計量，由於必須使原最佳化問題之目標函式與不等限制函式皆須滿足凸 函數，以及等式限制函式須為仿射函數，我們歷經無數次的修正調整，才使其最佳 化問題滿足凸函數最佳化問題的基本要求，但這也使我們發現到一個特別的結果：
經由將原始決策變數重新參數化的修正後，當懲罰項之相對應的係數
λ
0 =n
時，其 所求得之最佳解(p11,p12,p21,p22)即為受限最大概似估計量；而在 3×2 列聯表中，當 限制函式為兩個區域勝算比皆不小於 1 之情況下，欲求解其對應之受限最大概似估 計量，我們也得到與 2×2 列聯表中相同的結論，亦即經由重新參數化的調整，若懲 罰項之相對應的係數λ
0 =n
時，其所求得之最佳解(p11,p12,p21,p22,p31,p32)即為一般 統計上在限制條件下之最大概似估計量。現在我們將上述歸納結果推廣至對於任意
J
不小於 2 的J
×2 列聯表中之受限最 大概似估計量上，並嘗試推論其理論最佳解p 之特性。首先，在ijJ
×2 列聯表中，我們將會有
J
−1個區域勝算比OR1,OR2,...,ORJ−1，在限制式為所有的區域勝算比皆 不小於 1 之下，先考慮將原始決策變數重新參數化，即令qij =ln pij, 1,..., ,i= J1, 2
j= ，再將原始問題依照先前 2×2 與 3×2 列聯表時一樣的調整修正方式，使其新 的最佳化問題確實滿足凸函數最佳化問題的要求，接下來再利用凸函數最佳化問題 之解法，一一寫出其 Karush-Kuhn-Tucker 條件，藉由所有的互補差餘條件來求得理
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論最佳解p ，ij i= ..., J ，1, j=1, 2。依照先前的分析，我們預測此時所求得之最佳解 還是會與
λ
0相關，故此時所求得之最佳解並非原J
×2 列聯表中聯合機率之受限最大 概似估計量。而經由 2×2 與 3×2 列聯表的整理分析，我們預測當懲罰項之相對應的 係數λ
0 =n
時，其所求得之最佳解(p11,p12,...,pJ1,pJ2)即為J
×2 列聯表中之受限最大 概似估計量。在本研究中，我們只針對任意
J
不小於 2 的J
×2 列聯表中之受限最大概似估計 量的探討，但對於更廣泛的任意 ,J K 皆不小於 2 之J
×K
列聯表下，若限制式條件 還是所有的區域勝算比皆不小於 1 時，此時我們再依照之前的作法，將原始問題重 新定義與調整修正，使其新的最佳化問題滿足凸函數最佳化問題的基本假設，並利 用 Karush-Kuhn-Tucker 條件與互補差餘條件來求其受限最大概似估計量，我們就無 法確定當懲罰項之相對應的係數λ
0 =n
時，其所求得之最佳解(p11,p12,...,pJ K 1− ,pJK) 是否還會是一般統計上在限制條件下之最大概似估計量，此問題還有待後續的研究 來做驗證與確認，以期會有更佳、更完善的整理結果。
‧
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作業硏究
，華泰文化。‧
family of affine function)的一個點收斂之最大下界值(pointwise infimum)，因此我 們可得知 ( , )gλ ν
為一凹函數(concave function)。‧
‧
（ 由 David A. Harville. “Matrix Algebra From A Statistician’s Perspective.” 1997.
p.214 Corollary 14.2.13 ） 因為