第二章 文獻探討
第一節 利率模型之演進
利率模型之發展，可視為學者在尋找「如何能精準描述現行利率期間結構，使利 率商品的模型理論價值能與市場價格一致」的演進過程，而利率模型一般可分為 均衡模型（Equilibrium Models）與無套利模型（No Arbitrage Models）。
(一) 均衡模型
當資本市場之供給與需求達到均衡時，能決定唯一的利率解，這就是均衡模型所 隱含的經濟意義，此時利率期間結構模型為內生的，也就是利率是由模型產出 的，但由於參數的自由度不夠，不能完全符合市場的利率期間結構，以致於會產 生評價之理論價值與市場價格不符的問題。典型之均衡模型如下：
1. Vasicek（1977）
Vasicek 為短期利率模型的一種，為最早假設短期利率具有均數復歸
（Mean Reversion）特性的模型，其假設在風險中立下，短期利率 r 服從 Ornstein-Uhlenbeck（O-U）隨機過程：
其中，a 為利率均數復歸的速度，b 為短期利率的長期平均水準， 為短期 利率的波動度，dW 為布朗運動的變化量、dW~N(0,dt)。
在此設定之下只要利率偏離長期平均水準b 時，便會以 a 之速度收歛回復至
b，但由於 O-U 隨機過程為常態分配，故短期利率可能會出現負值，這與真實情
況並不相符。
2. CIR（1985）
Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型改進 Vasicek 模型中短期利率為負的缺 點，將擴散項（Diffusion）的係數重新定為 ，因此短期利率波動度 會隨利率上升而上升，其動態過程如下：
CIR 模型為在滿足效用極大化下所推導出的，利率的動態過程及風險 的市場價格都是內生決定，故CIR 模型會滿足一般均衡條件，但內生模型 難與現行利率期間結構一致，又因其短型利率服從非中央卡方分配，因此並 不利於模型參數的校準。
(二) 無套利模型
為了克服利率模型與市場利率期間結構並不一致的缺點，在無套利模型中，將目 前市場利率期間結構設為輸入值，且平移項(Drift term)設定為時間的函數，使利 率模型完全符合市場真實情況，讓期初零息利率曲線會影響模型中未來短期利率 的平均路線。大致包含以下幾種模型：
1. Ho and Lee （1986）
Ho and Lee 是最早提出的無套利模型，其假設短期利率動態如下：
其中，σ為固定常數，θ (t)為時間 t 之函數。Ho and Lee 模型雖然改善 了與市場利率期間結構不一致的問題，但此模型並不具備均數復歸特性，即 不論利率多高或多低，利率的平均走勢都相同，且利率可能會為負，與真實
情況並不符。
2. Hull and White （1990）
Hull and White 模型為 Vasicek 模型的延伸，此模型將漂移項的參數設 定為隨時間變動，以便能夠配適市場的期初利率期間結構，並且保留了均數 復歸的特性如下：
或是
其中a，σ為常數，σ為短期利率的波動度，θ(t)為使模型符合期初期
間結構的時間函數。此模型可視為Vasicek 模型加上隨時間變動的利率回歸 水準θ(t)/a。在時間 t，短期利率會以 a 的速率回復到 θ(t)/a 的利率水準，θ (t)可由期初期間結構推出
( )
2 2
( ) (0, ) (0, ) 1 2
at
t ft t af t e
a
θ
= + +σ
− −其中f(0,t)為在 0 時間零觀察到，於時間 t 到期的瞬間遠期利率，下標 t 表對t 做偏微分。最後一項通常非常小，如果將之忽略，這個式子隱含利率 r 在 t 瞬間的漂浮項為 ft(0, )t +a f
(
(0, )t − ，因此利率 r 的平均變動會遵循r)
期初瞬間遠期利率曲線的斜率。
3. HJM （1992）
遠期利率模型中最具代表性的就是由Health、Jarrow、Merton（HJM）
所提出的以瞬間遠期利率為基礎之多因子模型，其模型表達如下：
其中，f (t, T)為在 t 時間所觀察 T 時間的瞬間遠期利率， 單指標利率的市場模型（LIBOR Market Model）。
這類的研究，根據描述的利率不同，一般可分成兩派：一派為Brace、
Gatarek、Musiela 的遠期 LIBOR 利率，稱為 BGM 模型，或稱為 LIBOR 市 場模型(LIBOR market model，LMM)；另一派為 Jamshidian 的遠期交換利率，
稱為交換市場模型(Swap market model，SMM)。
其中BGM 模型是令 Qi+1是以零息債券P( t ,Ti+1 )為計價單位的風險中
Qi+1- Martingale 過程：
由(3)式與(4)式
利用尤拉吉米斯旦定理(Euler and Milstein Schemes)進行斷續化(Discretization)，
得 (drift term)介紹離散的 BGM 模型。會分成兩部分，先介紹遠期利率協定(Forward Rate Agreements; FRAs)，再透過此利率商品在發行時價值為零，推導無套利的離 散時間之LIBOR 市場模型期望值。