理論模式與數值演算分析方法

為了初步了解 ACOP 的溫度場與流場狀況，於是先利用模擬軟體分析，希 望藉此先觀察熱流場的情況。而隨著電腦的計算能力不斷加強與數值方法的推陳 出新，數值分析方法已被廣泛地使用於流體力學中以及熱與質量傳遞的模擬上

［1］。本論文的模擬分析，所選用的軟體是 FLOTHERM，原因是此軟體廣泛應 用於電子設備系統之分析，而 ACOP 電腦便是需要模擬一個完整的電腦系統，

即為一個較為巨觀的系統分析，所以 FLOTHERM 非常適合作為本論文模擬之工 具。這個小節裡，將先簡介在 FLOTHERM 中所使用的數學理論模式與數值演算 分析方法。

2.1.1 數值方法理論

在一個實際的流場裡，工作流體的流動與熱傳遞行為是相當複雜的，因此如 何有效率與準確的預測出流場型態，使其預測結果逼近實際流場的行為狀態模式 是必要的。熱傳遞行為與流體流動過程的預測方式，可透過實驗研究與理論數值 計算這兩種方式達成。實驗的測量雖然可以直接的取得重要而可靠的研究數據資 料，但在進行熱設計的工作上，系統若需要經過不斷地實驗測試與改良，這些很 容易會耗費大量的製造時間、人力和物力。至於理論數值計算，相較之下，成本 低、速度快、資料完整、具有模擬真實與理想條件的能力為其主要優點。因此對 於一個熱設計工作者而言，應適當地結合理論數值計算與實驗研究，才能使預測 過程達到最理想的水準。

所謂的數值計算方法，是將流場中熱傳遞、流體的流動與其他有關過程的規 律行為表達成微分方程的形式，接著使用許多方案推導出所要求的離散化方程，

如有限差分法（Finite difference method）、能量平衡法（Energy balance method）、

控制體積積分（Integrating the control volume）或泰勒級數展開（Taylor series expansion）等方式將微分方程予以離散化成為代數方程式（Algebraic equations）， 即為離散化方程式（Discretization equations）。根據文獻［2］，可以瞭解微分方 程式離散化的程序。之後可以使用各種適合的數值演算法對這些過程進行疊代運 算，直到所分析的各狀態性質達到收斂所要求的條件為止，即完成數值演算工作。

以 FLOTHERM 而言［3］，計算的區域（Solution domain）是以有限體積法

（Finite volume）來作切割，其網格以直角座標來切割成數個小的控制體積。而 FLOTHERM 使用的數值計算方式是以 SIMPLE 法［5］（Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations）來進行疊代運算。

2.1.2 交錯式網格系統

當使用數值分析去計算評估一不可壓縮流場中的流體狀態時，最主要的困難 發生在處理流場中不可預知的壓力梯度上，由於壓力梯度構成動量方程式中源項 的一部份，對於一個已給定的壓力場，求解動量方程式沒有特別的困難，然而如 何有效地去確定一個壓力場則是非常模糊的。

數學上來說，要定義一個合理的壓力解才能滿足連續方程式。不幸的，沒有 明顯的方程式可代替這個壓力場。因此，早期有很多先進致力研究與求解這個問 題，其中以 Patankar 與 Spalding 所提出的 SIMPLE（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations）演算法於當時為最出名的一個方法［5］。SIMPLE 演 算法為壓力解成功使連續性方程式轉變成直接演算法。而由於 SIMPLE 演算法的 收斂率（Convergence rate）較為緩慢，為了提高使用效率，一些相關的數值演算 法如 SIMPLER［6］、SIMPLEC［7］、SIMPLEST［8］、SIMPLEM［9］、PISO

［10］、PRIME［11］和 SIMPLEX［12］等則陸續出現，這些相關的數值演算法 稱為 SIMPLE 的變形（Variant）法則。需要注意的是，SIMPLE 與其相關的變形 演算法皆需要一個壓力修正方程式（Correction equation）。此外，它們都只能被 使用於交錯式網格（Staggered cell）之中（如圖 2-1 與圖 2-2），這也是為什麼 FLOTHERM 只能使用交錯式網格進行數值分析的主要原因。

交錯式網格具有三個方面的重要優點：(1)無需對有關的速度分量進行任何 內插運算，就可以計算出通過控制體積表面的質量流量。(2)兩相鄰網格點之間 的壓力差現在成了位於這兩個網格點之間的速度分量的自然驅動力，因此如圖 2-3 所示的那種棋盤式壓力場不再會被當成一個均勻的壓力場。(3)離散化的連續 方程式將含有相鄰速度分量的差，這樣就可避免如圖 2-4 所示的那種波形速度場 會滿足連續性方程式的情況，因此在交錯式網格系統中只有合理的速度場才有可 能滿足連續性方程式。

由此可知，使用交錯式網格的優點主要是能夠避免產生一個無法控制的棋盤 壓力（Checkerboard pressure）（如圖 2-3）。但是當所要分析的區域為一任意不規 則外形時，使用這些交錯式網格的數值分析方法不易在不規則的邊界上做有效的 處理。交錯式網格系統不同於一般網格系統，它將速度分量（u、v 及 w）分別 放在與其它變量不同的網格上，也就是說不一定要在同樣的網格點上計算所有的 變量。

參考文獻［4］的第六章，可瞭解交錯式網格配合 SIMPLE 方法來求解之流 程，以及 SIMPLE 法疊代之程序。

圖 2.1 二維交錯式網格系統圖

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S W

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圖 2.2 三維交錯式網格系統圖

圖 2.3 棋盤式壓力（Checkerboard pressure）示意圖

圖 2.4 波形分佈速度場示意圖

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