3-1 建構離散時間系統最大穩定度之方法
圖 3-1-1 典型回饋控制系統
圖 3.1 所示的單一輸入單一輸出控制系統，圖中 代表受控制的轉移函 數，可表示：
) G(z
) (
) ) A(
( D z
z z
G = (3-1-1)
其A(z)和D(z)分別為n階和m階
A(z)=anzn +an-1zn-1+ +a1z+a0 D(z)=dmzm +dm-1zm-1+ +d1z+d0
若採用 PID 控制器，則其轉移函數為：
) 1 ) (
( 1 0
2 2
− +
∗ +
= ∗
z z
K z K z z K
C (3-1-2)
建構 PID 控制器穩定區域的問題就是計算能穩定圖 3.1 系統之所有 PID 控制器參
數 ，也就是說穩定區域的邊界為直線。依據這樣的性質衍伸出許多快速
計算的方法來建構 PID 控制器的穩定區域。首先，圖 3.1 所示閉環路控制系統之 特徵方程式為：
) ,K ,K (K0 1 2
0
若要判斷系統特徵函數p z k( ; )所有的根是否全部位於 平面上直徑為z Z = ∗z r的單
2
0
1 2
( ) ( A( ) A( ) B( ) B( )) ( (1 2)
3-3 範例
範例（一）
考慮文獻[25]中的一個數位的 3 階無時延系統函數方程式G(z)
0.003 z
0.506 z
1.502 z
0.00025 z
0.0059 z
0.00401 D(z)
G(z) A(z) 3 2 2
−
∗ +
∗
−
+
∗ +
= ∗
= (3-3-1)
取樣時間T =0.2，控制器C(z)為 PID 控制器，轉移函數為：
1) z(z
K z K z
C(z) K 1 0
2 2
− +
∗ +
= ∗
此回饋控制系統的特徵方程式如下：
p(z)=z(z−1)(z3 −1.502∗z2 +0.506∗z−0.003)
+(K2∗z2 +K1∗z+K0)(0.00401∗z2 +0.0059∗z+0.00025) (3-3-2)
由(3-3-1)的系統函數方程式，代入K3 −θ 的關係性求解過程，求得之K3值 K3值= 96.0165402425468
代入朱利穩定性測試方法，判斷是否穩定並求得K1、K2中心值 線性方程式 aK2 + bK1 = C
線性方程式 a b C
C1 = 0.73942 1.00000 -76.05268 C2 = 0.73874 1.00000 -76.23294
C3 = 2.00000 1.00000 96.01654
C4 = 2.00000 -1.00000 -3575.93468
系統穩時K1、K2的中心值
= -208.926987048817 K1
K2= 179.660770889314
將求得之K1、K2、K3函數代入特徵方程式(3-3-2)求根的解
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.36954 0.92921 0.99999994 ROOT2= 0.36954 -0.92921 0.99999994 ROOT3= 0.54196 0.45926 0.71037959 ROOT4= 0.54196 -0.45926 0.71037959 ROOT5= -0.04144 0.00000 0.04143765
系統函數方程式(3-3-1)求得之K0、K1、K2、K3函數 K0= 83.6442306467674
K1= -208.926987048817 K2= 179.660770889314 K3= 96.0165402425468
轉換成T、KP、KI、KD函數
T= 0.200000000000000
KP= 8.32770515105641 KI= 438.444175457452 KD= 16.7288461293535
-1200 -800 -400 0
+(K2(z∗r)2 +K1(z∗r)+K0)(0.00401(z∗r)2 +0.0059(z∗r)+0.00025) (3-4-4)
採用二分法將單位圓之半徑縮小並代入(3-3-3)的系統函數方程式K3 −θ的關係性 求解過程，取得系統穩定時之最小r(min)及求得之K3值
K3值= 3.414948538073311E-009
代入朱利穩定性測試方法，判斷是否穩定並求得K1、K2中心值
線性方程式 aK2 + bK1 = C
線性方程式 a b C
C1 = 1.77641 1.00000 -6.11498
C2 = 1.77639 1.00000 -6.11541
C3 = 2.00000 1.00000 -1.32379
C4 = 2.00000 -1.00000 -684.31134
系統穩定性時K1、K2的中心值 K2= 22.95895
K1= -46.89941
系統穩定時之最小r 二分法分割次數
= 0.64408 TIMES= 35 r*
求得穩定狀態下之K1、K2、K3參數值 K3= 3.414948538073311E-009 K1= -46.8994075199927
K2= 22.9589502824210
將求得之K1、K2、K3函數代入新特徵方程式(3-3-4)求根的解
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.91072 0.25812 0.94659672 ROOT2= 0.91072 -0.25812 0.94659672 ROOT3= 0.88820 -0.45946 1.00000000 ROOT4= 0.88820 0.45946 1.00000000 ROOT5= -0.05779 0.00000 0.05779252
新系統函數方程式(3-3-3)求得之K0、K1、K2、K3函數 K0= 22.9589502790060
K1= -72.8164108143423 K2= 55.3446763009960 K3= 3.414948538073311E-009
轉換成 、T KP*、KI*、KD*函數
T= 0.200000000000000
*
KP = 5.37970205126605
*
KI = 135.030119853620
*
KD = 4.59179005580121
轉換為原系統函數方程式(3-3-1)之K0、K1、K2、K3函數 K0= 22.9589502790060
K1= -72.8164108143423 K2= 55.3446763009960 K3= 32.3857260219900
帶回原特徵方程式(3-3-2)測試其根的落點
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.58658 0.16625 0.60968159 ROOT2= 0.58658 -0.16625 0.60968159 ROOT3= 0.57207 -0.29593 0.64407744 ROOT4= 0.57207 0.29593 0.64407744 ROOT5= -0.03722 0.00000 0.03722286
-150 -100 -50 0
0 100 200 300
-150 -100 -50 0
0 100 200 300
-150 -100 -50 0
0 100 200 300
-150 -100 -50 0
k2 0
100 200 300
k1
圖 3-3-2 範例一 徵方程式穩定區域、r*=0.64408
範例（二） K3值= 0.578173033304872
K1= -0.894301422726419 K2= 0.871533463613276
將求得之K1、K2、K3函數代入特徵方程式(3-3-6)求根的解
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.54581 0.83723 0.99943382 ROOT2= 0.54581 -0.83723 0.99943382 ROOT3= 0.53642 0.30546 0.61729729 ROOT4= 0.53642 -0.30546 0.61729729 ROOT5= -0.06446 0.00000 0.06446258 ROOT6= 0.00000 0.00000 0.00000000
系統函數方程式(3-3-5)求得之K0、K1、K2、K3函數 K0= 0.293360430308404
K1= -0.894301422726419 K2= 0.871533463613276 K3= 0.578173033304872
轉換成 、T KP、KI、KD函數
T= 1.00000000000000
KP= 0.307580562109611 KI= 0.270592471195261 KD= 0.293360430308404
圖 3-3-3 範例二 徵方程式穩定區域、r=1
將原系統函數方程式G(z)的 變數再乘一個特殊函數z r產生一個新的系統函數方 程式G(Z)：
0048 . 0 )
* ( 076 . 0 )
* ( 44 . 0 )
* ( 1 . 1 )
* (
) 1 . 0 )
* )((
* (
4− ∗ + ∗ − ∗ +
= +
= z r z r z r z r
r z r z D(Z)
G(Z) A(Z) 3 2
(3-3-7)
將原回饋控制系統的特徵方程式p(z)的 變數再乘一個特殊函數z r產生一個新的 套徵方程式q ：
) r z r
z 1)(
r z ( r z r z p
q(Z)= ( ∗ )=( ∗ ) ( ∗ )− ( ∗ )2 +0.1∗( ∗ )
) r
z r
z r
z r
z )(
K r z K r z
(K2( ∗ )2 + 1( ∗ )+ 0 ( ∗ )4 −1.1∗( ∗ )3 +0.44∗( ∗ )2 −0.076∗( ∗ )+0.0048 +
(3-3-8)
採用二分法將單位圓之半徑縮小並代入(3-3-7)的系統函數方程式K3 −θ的關係性 求解過程，取得系統穩定時之最小r(min)及求得之K3值
K3值= 3.059959822139909E-002
代入朱利穩定性測試方法，判斷是否穩定並求得K1、K2中心值 線性方程式 aK2 + bK1 = C
線性方程式 a b C
C1 = 1.99999 1.00000 0.03984
C2 = 1.20679 1.00000 -0.08026
C3 = 2.00000 1.00000 0.03984
C4 = 2.00000 -1.00000 -2.24522
系統穩定時K1、K2的中心值 K2= 0.10357
K1= -0.16729
系統穩定時之最小r 二分法分割次數
r*= 0.66638 TIMES= 35
求得穩定狀態下之K1、K2、K3參數值 K3= 3.059959822139909E-002 K1= -0.167290337243976
K2= 0.103565534712766
將求得之K1、K2、K3函數代入新特徵方程式(3-3-8)求根的解
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 1.00000 0.00183 0.99999728 ROOT2= 1.00000 -0.00183 0.99999728 ROOT3= 0.58886 0.61217 0.84941323 ROOT4= 0.58886 -0.61217 0.84941323 ROOT5= -0.02633 0.00000 0.02633390 ROOT6= 0.00000 0.00000 0.00000000
新系統函數方程式(3-3-7)求得之K0、K1、K2、K3函數 K0= 7.296593649136662E-002
K1= -0.251044929636570 K2= 0.233225722503807 K3= 3.059959822139909E-002
轉換成 、T KP*、KI*、KD*函數
T= 1.00000000000000
*
KP = 0.105113056653837
*
KI = 5.514672935860354E-002
*
KD = 7.296593649136662E-002
轉換為原系統函數方程式(3-3-5)之K0、K1、K2、K3函數 K0= 7.296593649136662E-002
K1= -0.251044929636570 K2= 0.233225722503807
K3= 0.160259786012441
帶回原特徵方程式(3-3-5)測試其根的落點
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.66637 0.00122 0.66637 ROOT2= 0.66637 -0.00122 0.66637 ROOT3= 0.39240 0.40793 0.56603 ROOT4= 0.39240 -0.40793 0.56603 ROOT5= -0.01755 0.00000 0.01755 ROOT6= 0.00000 0.00000 0.00000
-0.6 -0.4 -0.2 0 0
0.4
-0.6 -0.4 -0.2 0
0 0.4
-0.6 -0.4 -0.2 0
0 0.4
-0.6 -0.4 -0.2 0
k2 0
0.4
k1
圖 3-3-4 範例二 徵方程式穩定區域、r* =0.66638
範例（三）
考慮文獻[27]中的一個數位的 3 階無時延系統G(z)：
6065 . 0 2131 . 2 6065
. 2
0023 . 0 01048 . 0 00296
.
0 2
−
∗ +
∗
−
+
∗ +
= ∗
= z z z
z z
D(z)
G(z) A(z) 3 2 (3-3-9)
取樣時間T =0.1，控制器C(z)為 PID 控制器，轉移函數為：
1) z(z
K z K z
C(z) K 1 0
2 2
− +
∗ +
= ∗
此回饋控制系統的特徵方程式如下：
) z
z 1)(
z(z
p(z)= − 0.00296∗ 2 +0.01048∗ +0.0023
+(K2 ∗z2 +K1∗z+K0)(z3 −2.6065∗z2 +2.2131∗z−0.6065) (3-3-10)
由(3-3-9)的系統函數方程式，代入K3 −θ 的關係性求解過程，求得之K3值 K3值= 2.66738437652936
代入朱利穩定性測試方法，判斷是否穩定並求得K1、K2中心值 線性方程式 aK2 + bK1 = C
線性方程式 a b C
C1 = 1.79052 1.00000 -0.74325
C2 = 1.78972 1.00000 -0.76754
C3 = 2.00000 1.00000 2.66738
C4 = 2.00000 -1.00000 -2459.43990
系統穩定時K1、K2的中心值
K1= -38.4147908223784
K2= 21.0373748089836
將求得之K1、K2、K3函數代入特徵方程式(3-3-10)求根的解
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.90124 0.24749 0.93460460 ROOT2= 0.90124 -0.24749 0.93460460 ROOT3= 0.89506 -0.44595 0.99999947
ROOT4= 0.89506 0.44595 0.99999947 ROOT5= -0.04837 0.00000 0.04837059
系統函數方程式(3-3-9)求得之K0、K1、K2、K3函數 K0= 18.3699904324543
K1= -38.4147908223784 K2= 21.0373748089836 K3= 2.66738437652936
轉換成T、KP、KI、KD函數
T= 0.100000000000000
KP= 0.167480995746982 KI= 24.9990338078238 KD= 1.83699904324543
-600 -400 -200 0
+(K2(z∗r)2 +K1(z∗r)+K0)((z∗r)3 −2.6065∗(z∗r)2 +2.2131∗(z∗r)−0.6065) (3-3-12)
採用二分法將單位圓之半徑縮小並代入(3-3-11)的系統函數方程式K3 −θ的關係 性求解過程，取得系統穩定時之最小r及求得之K3值
K3值= 1.014561694273900E-008
代入朱利穩定性測試方法，判斷是否穩定並求得K1、K2中心值 線性方程式 aK2 + bK1 = C
線性方程式 a b C
C1 = 1.92795 1.00000 -0.47512
C2 = 1.92790 1.00000 -0.47564
C3 = 2.00000 1.00000 0.00630
C4 = 2.00000 -1.00000 -2123.12133
系統穩定時K1、K2的中心值 K2= 7.88757
K1= -15.68203
系統穩定時之最小r 二分法分割次數
= 0.93434 TIMES= 35 r*
求得穩定狀態下之K1、K2、K3參數值 K3= 1.014561694273900E-008 K1= -15.6820274200483
K2= 7.88756708886611
將求得之K1、K2、K3函數代入新特徵方程式(3-3-12)求根的解
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.96505 0.15152 0.97687545 ROOT2= 0.96505 -0.15152 0.97687545 ROOT3= 0.96396 0.26604 1.00000000 ROOT4= 0.96396 -0.26604 1.00000000 ROOT5= -0.02670 0.00000 0.02669787
新系統函數方程式(3-3-11)求得之K0、K1、K2、K3函數
K0= 7.88756707872049
K1= -16.7841373722853 K2= 9.03517771620193 K3= 1.014561694273900E-008
轉換成 、T KP*、KI*、KD*函數
T= 0.100000000000000
*
KP = 0.100900321484434
*
KI = 10.4671031599700
*
KD = 0.788756707872049
轉換為原系統函數方程式(3-3-9)之K0、K1、K2、K3函數 K0= 7.88756707872049
K1= -16.7841373722853 K2= 9.03517771620193 K3= 1.14761063748144
帶回原特徵方程式(3-3-10)測試其根的落點
特徵方程式根的解 根的實部 根的虛部 單位圓內的位置
ROOT1= 0.90168 0.14157 0.91273 ROOT2= 0.90168 -0.14157 0.91273 ROOT3= 0.90067 0.24857 0.93434 ROOT4= 0.90067 -0.24857 0.93434 ROOT5= -0.02494 0.00000 0.02494
-400 -200 0
0 400 800
-400 -200 0
0 400 800
-400 -200 0
0 400 800
-400 -200 0
k2 0
400 800
k1
圖 3-3-6 範例三 徵方程式穩定區域、r*=0.93434