第二章 文獻探討
第三節 粒子群演算法
壹、 粒子群演算法概述
傳統的人工智慧（Artificial Intelligence, AI），僅在探討生物個體複雜構造之組
成，進而衍生的ㄧ門計算技術。若仔細觀察大自然現象，諸如螞蟻群落、侯鳥遷徙與 覓食、魚群為躲避捕食者侵略所產生的群流效應等，看似簡單個體所組成的族群中，
僅憑著個體在環境裡與其他個體間的互動行為之簡單規則，竟隱涵了許多不可預估的
「群體智慧」 (蔡清欉，2003)。與傳統人工智慧不同的是，群體智慧強調的並非只是 研究組成個體之複雜構造，而是藉由個體間的社會行為(Social Behavior)及自我組織 (Self-Organization)之智慧，使其系統更能充分展現符合需求的整體性行為，具有進ㄧ 步探索(Exploration)與開掘(Exploitation)新方法之動力。與傳統人工智慧不同的是，群 體智慧強調的並非只是研究組成個體之複雜構造，而是藉由個體間的社會行為(Social Behavior)及自我組織(Self-Organization)之智慧，使其系統更能充分展現符合需求的整 體性行為，具有進ㄧ步探索與開掘新方法之動力。相較之下，更能突顯出群體智慧之 自我組織、分散(Distributedness)以及並行(Parallelism)等特性(Kennedy et al., 2001)。
粒子群演算法(Particle Swarm Optimization, PSO)是由Kennedy & Eberhart(1995)年所 提出，它的靈感是來自於鳥類飛行聚集的行為，理論是循著一群鳥在一個區域隨機的 搜尋食物，一開始不曉得食物在哪，鳥群會尋著自己的經驗和群體間訊息的交換，選 擇最好的方案去接近食物。粒子群演算法即是學習這樣的行為來解決最佳化的問題。
每一個單一解就像一隻鳥在空間中搜尋，也稱為「粒子」，所有的粒子有利用適應函數 去計算出適應值，並使得適應值最佳化，且粒子群也描述著飛行的速度，沿著目前最 好的解飛行穿越問題的空間(Hu, et al.,2004)。
貳、 PSO 基本模式
PSO是一種全域搜尋法(Kennedy & Eberhart, 1995)，此法具備一項重要特點，那就 是「記憶(Memory)」功能，這是其他啟發式搜尋法所無法比擬的，因此近十幾年來，
被廣泛應用於各領域中。PSO 在初始搜尋階段是以隨機方式產生一組初始粒子群，經 由反覆迭代搜尋後找到問題的最佳解。而在每一次的迭代中，每個粒子是透過兩個極 值來改變自己的搜尋方向：第一種就是粒子本身曾經找到適應值最佳的解，這個解稱 之為自身最佳解Pbest，另一種則是全部粒子群目前所找到適應值最佳的解，稱為整體最
佳解Gbest。假設粒子群係由m個粒子所組合而成，在搜尋過程中，粒子i的速度及位置 乃根據下列二式進行更新：
V V c r P X c r PG x (式2.16) X X V (式2.17) 式中，k為迭代次數，V 及X 分別為粒子i於第k代之速度與位置，而P 為粒子i於第 k代之自身最佳解，PG為第k代之整體最佳解，其更新後粒子i於第k+1代之速度為 V ，則X 為粒子i於第k+1代之位置，r1、r2為介於0~1之間的均勻亂數，c1和c2稱為 學習因子(Acceleration Constants)，Eberhart和Kennedy建議將c1、c2皆取值為2。PSO 的 搜尋如圖2.15所示。
圖2.15 粒子速度及位置之搜尋示意圖 資料來源：(Kennedy & Eberhart, 1995)
在式2.16中的第二部份稱為粒子本身之認知模式，而第三部份則是粒子群中所謂的 群體模式。每一粒子之速度及移動位置，均受限於最大速度Vmax與最大位置Xmax，一旦 粒子更新後之速度及位置超出所設定的最大限制時，則需將其分別限定為Vmax及 Xmax 。
Y
X X
V
VP VG V
參、 線性慣量遞減(Linear Inertia Reduction)
為了解決不易選取合理之常數慣性權重的困難，Shi & Eberhart於1998年繼而提出 將慣性權重以線性遞減方式加以處理之方法，即將式2.18中的w以下列式子決定：
式中 為使用者設定的慣性權重上限值， 為慣性權重下限值，一般建議慣性權 重w之範圍為0.8~1.4。
Shi & Eberhart所提出之線性遞減慣性權重的概念，使得初始搜尋階段較高的慣性 權重值，藉以保持搜尋初期全域搜尋的靈活性，並隨著進化迭代之過程逐漸調降慣性 權重，進而轉入局部搜尋之動作，加強粒子之局部搜尋能力。但許多測試結果發現並 不是所有問題皆適合使用此一線性處理方式，因此使用慣性權重之線性遞減作法，仍 然有其改善空間(Shi & Eberhart, 1998)。
肆、 最大速度限制(Limitation of Maximum Velocity)
為了避免各粒子在使用式2.19後產生過大移動步幅，Shi & Eberhart (1998)亦建議給 予各粒子最大移動速度之限制，其最大速度計算公式如下所示：
V γ X X (式2.19) 式中Xub及Xlb分別為搜尋空間中設計變數之上、下限值， 則是用於取決搜尋空間中最 大速度的移動距離。
針對各粒子在更新其速度及位置時，有過大移動步幅之疑慮，經研究證實，一旦 採用最大速度限制加以約束後，使得粒子在搜尋成效上更為可靠，且可減少不必要的 計算時間(Shi & Eberhart, 1998; Carlisle & Dozier, 2001)。
伍、 動態慣量及最大速度遞減
動態慣量及最大速度遞減(Dynamic Inertia and Maximum Velocity Reduction)由於使 (式 2.18)
用線性慣量遞減的搜尋策略仍受問題之特性不同而影響其求解效能，求解品質的好壞 主要取決於線性調降之比例。一般而言，要使其能夠在初始搜尋階段以及接近最佳解 之搜尋時均有合適的w值，並不是件容易的事，且使用線性遞減易造成搜尋初期下降速 率過快，以及後期搜尋階段收斂速率過慢之現象，導致需花費較多的迭代次數才有機 會搜尋到問題之最佳解。另外，考量搜尋後期粒子會隨距離整體最佳解Gbest愈近，其 搜尋速度亦會逐漸下降，一旦搜尋初期及後期皆使用相同之最大速度限制下，不但會 造成後期搜尋效率不佳，且會浪費過多的結構分析次數。為了克服上述問題，Fourie &
Groenwold(2002)提出將慣性權重及最大速度限制予以動態遞減方式處理，其使用時機 為：當整體最佳解經過連續t世代後，其適應值仍無法改善時，則需進行動態遞減處 理，亦即：
(式2.20) 式中 和 分別為慣性權重及最大速度之動態調整係數，通常建議取值在0~1之間。
為第k+1代整體最佳解Gbest之適應值， 則代表第k世代整體最佳解Gbest之適 應值。其中，初始最大速度 則以式2.20加以定義。
上述作法之優點在於：僅需依據搜尋過程中整體最佳解Gbest 之適應值加以判斷是 否須調降慣性權重及最大速度，如此作法除了可節省過多的結構分析次數，更能提昇 粒子之搜尋效率，進而展現不錯的搜尋性能。故本文在慣性權重及最大速度方面，即 採用此動態遞減策略加以處理，而 和 兩者動態遞減係數則採用Fourie & Groenwold (2002)的建議值，即 = 0.99， = 0.95。另外，在初始最大速度方面，保留原始解空間之 搜尋範圍，故將 取值為1。
陸、 粒子群演算法架構
粒子群演算法初始化產生的粒子為一群隨機的粒子，透過迭代以找到近似最佳 解，在每一次的迭代中，粒子的移動受到自身目前為止所搜尋到的最佳適應值 Pbest， 以及社交鄰居中目前為止所搜尋到的最佳適應值記憶 Nbest 影響，我們也可以把母體中
所有的粒子都視為鄰居，則群體所搜尋到的最佳適應值記憶為 Gbest，Gbest 可視 Pbest 的 特例(李維平、江正文，2007)。
粒子群演算法最佳化的原始架構是非常的簡單，詳細步驟如下(Eberhart & Kennedy, 1995)：
步驟一：在D 個維度的空間中，產生粒子的初始位置和速度。
步驟二：利用適應函數計算每個粒子在D 維度中的適應值。
步驟三：將粒子先前最好的適應值Pbest和目前搜尋到的適應值做比較，如果目前搜尋 到的適應值較優於Pbest，則用此粒子的新適應值和位置來更新Pbest。
步驟四：將母體中所有粒子的Pbest和目前搜尋到的做比較，如果目前搜尋到的適應值 優於Gbest值，則更新Gbest值與位置。
步驟五：利用式2.21、式 2.22 來更新粒子的速度和位置：
)) ( (
() ))
( (
() )
( )
(t 1 V t C rand P X t C rand G X t
V 1 best 2 best (式 2.21) )
( ) ( )
(t 1 X t V t 1
X (式 2.22) 其中，V(t+1)為下一回合的速度，V(t)為現在的速度；C1、C2 為學習因子，通常被 設定為 2.0 或 1.49445，當學習因子被設為相同值時，意味著粒子在自我搜尋以及社會 方面的搜尋具有同樣比重；Rand ()為介於 0～1 之間的隨機亂數；Pbest為目前經歷過的 最佳解位置，Gbest 為所有粒子找過最佳解位置；X(t)為目前粒子本身位置，X(t+1)為粒 子下一回合位置。
步驟六：返回步驟二繼續重覆執行，直到滿足終止條件。
在粒子群演算法中，粒子於解空間中的移動方向是受到粒子本身目前為止所搜尋 到的最佳解，以及全域最佳解所影響。Hu, et al. (2004)認為原始架構無法保證粒子能快 速收斂且避免局部最佳解的發生。因此，提出線性慣性權重因子，使粒子群能在初始 保持多樣性，並且也能在後期有效的收斂。模式改變之後如式2.23：
)) ( (
() ))
( (
() )
( ) 1
(t wV t C1 rand P X t C2 rand G X t
V best best (式 2.23) 其中，增加了 w 之後，改善了許多應用的表現，w 在過去的研究實驗中通常被設 置由 0.9 線性遞減至 0.4。合適的 w 設定將可以提供局部和全域一個平衡的探索 (Exploitation) 及開發(Exploration)能力(李維平、江正文，2007)。
柒、 吸引與互斥粒子群演算法
吸引與互斥粒子群演算法(Attractive and Repulsive Particle Swarm Optimization, ARPSO)採用以分散度為導向的搜尋(Diversity-Guided Search)策略，將分散程度區分為 吸引階段與互斥階段，並利用這兩個階段的交互交替來控制群體多樣性的變化，進而 避 免 於 求 解 的 初 期 陷 入 區 域 最 佳 解 ，ARPSO 的速度更新公式如式 2.24 (Riget &
Vesterstrøm, 2002)：
id
id id
gd id
id t w V dir c Rand P X c Rand P X
V 1 1 2 (式 2.24)
其中dir參數代表粒子移動的方向，dir會根據整體粒子的分散程度(Diversity)與上下 限比較，判斷目前是屬於吸引階段或是互斥階段，如圖2.16：
iS Nj pij pj L
S S
diversity 1 1 1 2
(式 2.25)
若Diversity小於dLow時，代表原本是吸引階段但開始出現過於集中的現象，則dir設 為-1；若Diversity大於dHigh時，代表原本是互斥階段但開始出現過於發散的現象，則dir 設為1。
圖2.16 吸引階段與互斥階段的關係 資料來源：Riget & Vesterstrom, 2002
吸引階段與互斥階段的狀態會不斷地交替，這樣的意義在於適時地保持群體的多 樣性，避免群體過早收斂於區域最佳解，因此參數dlow與dhigh是ARPSO演算法得以發揮 效用的重要參數，使用者可依照各自的需求透過Training的方式來訂定，建議將dlow設 為5×10-6，dhigh設為0.25(Riget & Vesterstrøm, 2002)。
Riget & Vesterstrøm所提出的ARPSO只考慮分散程度大於上限或小於下限值，並未 考慮當值若於上、下限值間，粒子將如何移動的方向；Pant et al. (2007)提出ATRE-PSO，改進ARPSO未考慮分散程度介於上、下限值間，其粒子更新速度公式如式
Riget & Vesterstrøm所提出的ARPSO只考慮分散程度大於上限或小於下限值，並未 考慮當值若於上、下限值間，粒子將如何移動的方向；Pant et al. (2007)提出ATRE-PSO，改進ARPSO未考慮分散程度介於上、下限值間，其粒子更新速度公式如式